九年级数学下册第二十九章29.1 投影 课时2
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投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
投影线集 中于一点
投影线互相平行， 且斜着照射投影面
投影线垂直 于投影面
中心投影
斜投影பைடு நூலகம்
正投影
平行投影
投影
如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同
位置：
(1) 铁丝平行于投影面；(2) 铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
29.1 投影
第2课时
初中数学 九年级下册 RJ
知识回顾
由平行光线形成的投影叫做平行投影． 由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
太阳发出的光照在物体上是 平行投影 ， 车灯发出的光照在物体上是 中心投影．
学习目标
1.了解正投影的概念.
2.掌握线段、平面图形的正投影规律.
3.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影， 并进行相关计算.
对接中考
1.(2021·南京中考)如图，正方形纸板的一条对角线垂
直于地面，纸板上方的灯（看作一点）与这条对角线
所确定的平面垂直于纸板.在灯光照射下，正方形纸
板在地面上形成的影子的形状可以是( D )
A. B.
C.
D.
离灯光越近物体的影子越长
2.(绥化中考)正方形的正投影不可能是( D )
A．线段 B．矩形
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
BA
BA
B
A1
B1 A2
B2 A3(B3)
通过观察、测量，我们可以发现：
(1) 当线段AB平行于投影面时,它的正投影是线段A1B1， 线段与它的投影的大小关系为AB___=__A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面时,它的正投影是线段A2B2， 线段与它的投影的大小关系为AB___>___A2B2;
课堂导入
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个
是平行投影？哪个是中心投影? 图(2)(3)的投影线与投影
面的位置关系有什么区别?
光线与地面的夹 角有何区别？
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
中心投影
平行投影
图(2)(3)中投影线与投影面所成的夹角不同，图(3)中
投影线垂直于投影面.
新知探究 知识点1：正投影的概念及性质
解：(1)该正方体在平面 H 上的正投影为如图所 示的矩形 MNPQ.
(2)计算投影的面积. 解：(2)∵ 正方体的棱长 为 2， ∴ 由勾股定理得
BD =
2 2 + 2 2 =2，
∴ 投影 MNPQ 的面积为 2× 2 =2 2.
课堂小结
正 投 影
正投影的概念 正投影的性质 平面图形的正投影 几何体的正投影
平行物体的正 投影仍旧平行
C．正方形
D．梯形
3.(百色中考)如图，长方体的一个底面 ABCD 在投影面 P 上，M，N 分别是侧棱 BF，CG 的中点，矩形EFGH 与矩形 EMNH 的投影都是矩形 ABCD，设它们的面积 分别是 S1，S2，S，则 S1，S2，S 的关 系是 S1=S＜S2 .(用=、＞或＜连起来)
(3) 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一 个点A3(B3) ．
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD) 放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面；
(2) 纸板倾斜于投影面； (3) 纸板垂直于投影面．
A
D
B
CD A
B
CA
D C
三种情形下纸板的正投影
各是什么形状？
A′
D′ C′ D′ C′ B D′(C′) B′ A′ B′ A′(B′)
1.正投影是特殊的平行投影. 2.正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的，与 物体的位置无关. 3.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面 的位置有关，分物体平行、倾斜、垂直于投影面三 种情况.
例 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
(1) 正方体的一个面 ABCD 平行于投影面；
(2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面 ADEF
解：∵ 该立体图形是长方体， ∴ 底面 ABCD//底面 EFGH. ∵ 矩形 EFGH 的投影是矩形 ABCD， ∴ S1=S. ∵ EM＞EF，EH=EH， ∴ S1＜S2， ∴ S1=S＜S2．
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (2)投影线由物体左方照射到右方；
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (3)投影线由物体上方照射到下方.
3.如图，棱长为 2 的正方体的侧棱与平面 H 平行，其 上、下底面的对角线 AC，A1C1 与平面 H 垂直. (1)作出该正方体在平面 H 上的正投影；
通过观察、测量可知： (1) 当纸板 P 平行于投影面时，P 的正投影与 P 的
形状、大小一样 ；
(2) 当纸板 P 倾斜于投影面时，P 的正投影与 P 的 形状、大小不完全一样 ；
(3) 当纸板 P 垂直于投影面时,P 的正投影成为一条线段．
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正
投影与这个面的形状、大小完全相同．
垂直于投影面，并且其对角线 AE 垂直于投影面
A′ D′
F′ A′ D′
B′ C′ AD BC
G′ E
FA D
H
G B
C
B′ C′
新知探究 跟踪训练
如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影.
随堂练习
1.如图是一个三棱柱，它的正投影是( B )
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (1)投影线由物体前方照射到后方；
投影线集 中于一点
投影线互相平行， 且斜着照射投影面
投影线垂直 于投影面
中心投影
斜投影பைடு நூலகம்
正投影
平行投影
投影
如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同
位置：
(1) 铁丝平行于投影面；(2) 铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).
29.1 投影
第2课时
初中数学 九年级下册 RJ
知识回顾
由平行光线形成的投影叫做平行投影． 由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．
太阳发出的光照在物体上是 平行投影 ， 车灯发出的光照在物体上是 中心投影．
学习目标
1.了解正投影的概念.
2.掌握线段、平面图形的正投影规律.
3.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影， 并进行相关计算.
对接中考
1.(2021·南京中考)如图，正方形纸板的一条对角线垂
直于地面，纸板上方的灯（看作一点）与这条对角线
所确定的平面垂直于纸板.在灯光照射下，正方形纸
板在地面上形成的影子的形状可以是( D )
A. B.
C.
D.
离灯光越近物体的影子越长
2.(绥化中考)正方形的正投影不可能是( D )
A．线段 B．矩形
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
A
BA
BA
B
A1
B1 A2
B2 A3(B3)
通过观察、测量，我们可以发现：
(1) 当线段AB平行于投影面时,它的正投影是线段A1B1， 线段与它的投影的大小关系为AB___=__A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面时,它的正投影是线段A2B2， 线段与它的投影的大小关系为AB___>___A2B2;
课堂导入
下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个
是平行投影？哪个是中心投影? 图(2)(3)的投影线与投影
面的位置关系有什么区别?
光线与地面的夹 角有何区别？
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
中心投影
平行投影
图(2)(3)中投影线与投影面所成的夹角不同，图(3)中
投影线垂直于投影面.
新知探究 知识点1：正投影的概念及性质
解：(1)该正方体在平面 H 上的正投影为如图所 示的矩形 MNPQ.
(2)计算投影的面积. 解：(2)∵ 正方体的棱长 为 2， ∴ 由勾股定理得
BD =
2 2 + 2 2 =2，
∴ 投影 MNPQ 的面积为 2× 2 =2 2.
课堂小结
正 投 影
正投影的概念 正投影的性质 平面图形的正投影 几何体的正投影
平行物体的正 投影仍旧平行
C．正方形
D．梯形
3.(百色中考)如图，长方体的一个底面 ABCD 在投影面 P 上，M，N 分别是侧棱 BF，CG 的中点，矩形EFGH 与矩形 EMNH 的投影都是矩形 ABCD，设它们的面积 分别是 S1，S2，S，则 S1，S2，S 的关 系是 S1=S＜S2 .(用=、＞或＜连起来)
(3) 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一 个点A3(B3) ．
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD) 放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面；
(2) 纸板倾斜于投影面； (3) 纸板垂直于投影面．
A
D
B
CD A
B
CA
D C
三种情形下纸板的正投影
各是什么形状？
A′
D′ C′ D′ C′ B D′(C′) B′ A′ B′ A′(B′)
1.正投影是特殊的平行投影. 2.正投影只要求投影线与投影面之间是垂直的，与 物体的位置无关. 3.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面 的位置有关，分物体平行、倾斜、垂直于投影面三 种情况.
例 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
(1) 正方体的一个面 ABCD 平行于投影面；
(2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面 ADEF
解：∵ 该立体图形是长方体， ∴ 底面 ABCD//底面 EFGH. ∵ 矩形 EFGH 的投影是矩形 ABCD， ∴ S1=S. ∵ EM＞EF，EH=EH， ∴ S1＜S2， ∴ S1=S＜S2．
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (2)投影线由物体左方照射到右方；
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (3)投影线由物体上方照射到下方.
3.如图，棱长为 2 的正方体的侧棱与平面 H 平行，其 上、下底面的对角线 AC，A1C1 与平面 H 垂直. (1)作出该正方体在平面 H 上的正投影；
通过观察、测量可知： (1) 当纸板 P 平行于投影面时，P 的正投影与 P 的
形状、大小一样 ；
(2) 当纸板 P 倾斜于投影面时，P 的正投影与 P 的 形状、大小不完全一样 ；
(3) 当纸板 P 垂直于投影面时,P 的正投影成为一条线段．
归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正
投影与这个面的形状、大小完全相同．
垂直于投影面，并且其对角线 AE 垂直于投影面
A′ D′
F′ A′ D′
B′ C′ AD BC
G′ E
FA D
H
G B
C
B′ C′
新知探究 跟踪训练
如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影.
随堂练习
1.如图是一个三棱柱，它的正投影是( B )
2.画出如图摆放的物体(正六棱柱)的正投影： (1)投影线由物体前方照射到后方；