平移和几何最值问题-4.28

E F
P
C
B
A
平移和几何最值问题
题型一：平移
解题思路：主要是使相等或有特殊关系的线段通过平移构造到同一三角形或四边形中
①若AB CD =，并相交，平移CD 与AB 共顶点，会出现平行四边形''CDD C 和等腰AD B '△；
平移CD
D
C
B
A
D '
A (C' )
D
C
B
②若AB CD =，无交点，平移CD 与AB 共顶点，同样会产生平行四边形''CDD C 和等腰ABD '△．
C
D
A
B
平移CD A (C' )C
B
D
D '
典例1：如图所示，ABC △为等边三角形，P 是ABC △内任一点，PD AB ∥，PE BC ∥，
PF AC ∥，若ABC △的周长为12，则PD PE PF ++等于多少？
解析：过F 作FN PE ∥，过D 作DM PF ∥
∵PD AB ∥，PE BC ∥，PF AC ∥
∴四边形FPEN 和四边形MDPF 是平行四边形 ∵△ABC 是等边三角形
∴60∠=∠=∠=∠=︒A B AFN MDB ∴△AFN 和△MBD 是等边三角形
∴PF =MD =MB ,PE =FN =AF ,PD =FM ∵等边ABC △周长为12 ∴PF +PD +PE =BM +MF +AF =AB =4
P
M N F
E
D
C B A
典例2：如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保
持EF ∥AB ，线段CF 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为( )
A
B
C
D
.N
M
H G F
E
D
C
B
A
.P O
N
M
H G F
E
D
C
B
A
P
N
M
H G F
E
D
C
B
A
解析：如图，B
【题型延伸】平移的辅助线构造方法 【延伸1】平移共端点 1. 两线段相交有交点
A
D
B
C
平移CD 至A 点
D '
D C
B
A
变式1：如图，5==CD AB ，︒=∠15A ，︒=∠15C ，︒=∠105D ，则线段AD 的长为 ．
O D
C
B
A
E
O D
C
B
A
解析：如图，3．
2. 两线段相交无交点
A
B
C
D
D '
平移CD 至A 点
D
C B
A
变式2：如图，3==CD AB ，︒=∠75A ，︒=∠45B ，︒=∠15D ，则线段AD 的长为 ．
D
C
B
A
E
D
C
B
A
解析：如图，62．
3. 过中点平移
点平移AB 、CD
A
B
C
D
E
F
G
D
C
B
A
过对角线BC 中
【延伸2】平移使重合 1. 平行
变式3：已知平行四边形ABCD 对角线上有点E ，连接AE 、CE ，且CE AE ，求证：平行
四边形ABCD 是菱形．
E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
:
解析：如图，四边形CEDF 为等腰梯形，对角线相等可得．
A B
C
D E
F
E
D
C
B
A 与CD 重合
平移AB ，使之
2. 共线
A
B
C
D
E F
E
D
C
B
平移AB ，使之与CD 重合
变式4：在凸四边形ABCD 中，∠BAD + ∠CBA ≤ 180°，点E 、F 为边CD 上的两点，且DE = FC ．求
证：AD + BC ≤ AE + BF ．
D
C
B
A
F
E
(1)
解析：利用平移，如图(1)，将△ADE 沿着DC 的方向平移，使得DE 和FC 重合得到△GFC ，
故AD + BC = GF + BC ，AE + BF = GC + BF ，可证AD + BC ≤ AE + BF .
题型二：面积 解题思路
O A B
C
D S 2
S 1S 4
S 3
S 2S
1S 4S 3S 1S 2
S 3
S 4
S 1S 2
S 3
S 4
S 4S 3
S 2
S 1
上图中的面积关系依次是：1324S S S S ⋅=⋅；1324S S S S ⋅=⋅；1234S S S S ===；1324S S S S ⋅=⋅； 1324S S S S +=+；ABC DBC S S =△△
典例:如图，在矩形ABCD 中，过BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 和PQ ，那么图中
矩形AMKP 的面积15S =，矩形QCNK 的面积2S = ．
解析：∵=ABD BCD S S △△，BMK BQK S S =△△，DPK DNK S S =△△，
∴AMKP ABD BMK DPK S S S S =--△△△5BCD BQK DNK QCNK S S S S =--==△△△．
K
N
M Q
P D C
B
A
O
D '
A
B
P D C
图 2
图 1
F
C
D P
B
E
A
变式：如图，矩形ABCD 内有一点P ．
求证：⑴ 1
2
PAD PBC PAB PCD ABCD S S S S S +=+=W △△△矩形；⑵2222PA PC PB PD +=+．
解析：⑴如图1，过点P 作EF AB ⊥，分别交AB 、CD 于点E 、F ．
1111
2222
PAB PCD ABCD S S AB PE CD PF AB EF S +=
⋅+⋅=⋅=△△矩形， 同理可证1
2
PAD PBC ABCD S S S +=△△矩形．
⑵方法一：如图1，在Rt AEP △、Rt BPE △、Rt CPF △、Rt FPD △中
222AP AE EP =+，222BP EP BE =+，222CP CF PF =+，222DP FP DF =+ ∵AE DF =，BE CF =，∴2222AP CP BP DP +=+．
方法二：如图2，过点P 作PD AD '∥且PD AD '=，连接DD '、CD '．
可知四边形APDD
'、BPD C '是平行四边形，∴DD AP '=，CD BP '=，∵CD PD '⊥ ∴利用任意对角线垂直的四边形的对边平方和相等的结论可得
2222PC DD PD CD ''+=+，即2222AP CP BP DP +=+．2222PC AP PD PB +=+
P
D
C
B A
题型三：最值问题
解题思路：最值问题主要是利用三大变换实现线段的集散，解题核心思想：①两点之间线段最
短；②点到直线之间垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边．
典例:如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任
意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN AM CM 、、． （1）证明：ABM EBN △△≌
（2）当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；
（3）当AM BM CM ++的最小值
为1时，则正方形的边长为 ．
解析：⑴∵ABE △是等边三角形，∴BA BE ＝，60ABE ∠︒＝.
∵60MBN ∠︒＝，∴MBN ABN ABE ABN ∠∠∠∠－＝－，即BMA NBE ∠∠＝. 又∵MB NB ＝，∴AMB ENB △△≌（SAS ）
⑵如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小． 理由如下：连接MN ，由⑴知，AMB ENB △△≌，∴AM EN ＝. ∵60MBN ∠︒＝，MB NB ＝，∴BMN △是等边三角形，∴
∴AM BM CM EN MN CM ++++＝
根据“两点之间线段最短”，得EN MN
CM EC ++＝最短
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长 E 点作EF BC ⊥交CB 延长线于F ，∴EBF ∠＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ，2
x
EF ＝. 在Rt EFC △中，∵222
EF FC EC +＝，∴)
2
2
2
12x x ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
解得，x .∴
F
A D
B C
【分析】本题实质为寻找三角形的费马点，而找费马点的过程即为旋转的过程，其旋转角为60°，而60°旋转不论是在三角形还是四边形中都为常考内容，需要同学们熟练掌握．此题在题干部分已提示作法，并通过⑴⑵两问进行了逐步引导，具有很强的可操作性和训练价值，程度好的班级可适当拓展费马点的相关知识点．
变式：
⑴ 如图1所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
⑵ 如图2，边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=°，E 、F 分别为BD 、BC 边上的动点，则
CE EF +的最小值为 ．
⑶ 如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点C ，需要爬行的最短距离是（ ）
A
． B ．25 C
．5 D ．35
P
E
D
C
B
A
F E
D
C B
A
A
图1 图2 图3
解析：⑴
A
．分析：PD PE PB PE BE AB +=+===≥
．
⑵ C 对称到点A ，过点A 作BC 垂线，垂足即为
F ，交
BD 于点E ．CE EF AF +==．
⑶
先把问题转化成平面上两点间线段最短问题．故需要把长方体的表面展开，有三种可能：
按右上展开AC
按右前展开25AC
==
按后上展开AC ==B ．
F E
D C B
A
巩固提升
平移巩固1：如图:,将一块斜边长为12cm ，60B ∠=︒的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°到'''A B C △的位置，再沿CB 向右平移，使点'B 刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离为__________．
解析：62-3．
面积巩固2：如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点1O ，作□11BCD O ，连结1BD 交AC 于点2O ，作□22BCD O ，连结2BD 交AC 于点3O ，……，以此类推．若AC AD ⊥，1AD =，60ADC ∠=︒，则□n n BCD O 的面积是 ．
解析：
3
最值巩固3：如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．
N
M
P
B
A
O
解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，
显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，
由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长为P P '''， ∵30AOB =︒∠，3OP OP OP '''===，∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=．
C''
B''
B'
A'
C B
A D 1D 2
O 3
O 2
O 1D
C
B
A。