考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )
A．X与Y一定独立．
B．(X，Y)服从二维正态分布．
C．X与Y未必独立．
D．X+Y服从一维正态分布．
正确答案：C
解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．知识模块：概率论与数理统计
2．边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )
A．必为二维正态分布．
B．必为均匀分布．
C．不一定为二维正态分布．
D．由两个边缘分布确定．
正确答案：C
解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．知识模块：概率论与数理统计
3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )
A．a＞b．
B．a＜b．
C．a=b．
D．a，b大小不能确定．
正确答案：A
解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X 一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．知识模块：概率论与数理统计
4．设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概
率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( ) A．f1(x)f2(x)．
B．f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．
C．f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．
D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．
正确答案：C
解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计
5．设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为( ) A．fX(x)．
B．fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．
C．．
D．考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．
正确答案：A
解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．知识模块：概率论与数理统计
6．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )
A．X+Y服从E(2λ)．
B．X-Y服从E(2λ)．
C．min(X，Y)服从E(2λ)．
D．max(X，Y)服从E(2λ)．
正确答案：C
解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：概率论与数理统计
7．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )
A．0个．
B．1个．
C．2个．
D．3个．
正确答案：B
解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．知识模块：概率论与数理统计
8．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=( ) A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．知识模块：概率论与数理统计
9．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )
A．[F(x)F(y)]n
B．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]n
C．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．
D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．
正确答案：B
解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计
填空题
10．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。

正确答案：．
解析：由已知条件X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，1)，从而Z=X —Y服从N(0，2)，即fZ(x)=，一∞＜z＜+∞．知识模块：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，求(1)系数k；(2)边缘概率密度；(3)X和Y是否独立．
正确答案：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，有k∫0+∞xe-xdx∫0+∞e-xydy=k∫0+∞e-xdx=k=1，得k=1．(2)当x＞0时fX(x)=f(x，y)dy=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫0+∞xe-x(1+y)=e-x．当x≤0时，fX(x)=0．(3)当x＞0，y＞0时，f(x，y)≠fX(x).fY(y)，所以X与Y不相互独立．涉及知识点：概率论与数理统计
12．一电子仪器由两部分构成，以X和Y分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为F(x，y)=(1)问X和Y是否独立；
(2)求两部件的寿命都超过100小时的概率α。

正确答案：(1)关于X和Y的边缘分布函数为FX(x)=F(x，+∞)= 因为F(x，y)=FX(x)FY(y)，所以X和Y是相互独立的．(2)α=P{X＞0．1，Y ＞0．1}=P{X＞0．1}P{Y＞0．1}=[1一P{X≤0．1}][1一P{Y≤0．1}]=e-0.1．涉及知识点：概率论与数理统计
13．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，求fX(x)．
正确答案：．涉及知识点：概率论与数理统计
14．已知随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，求常数R，使得概率P{≤R}=0．5．
正确答案：．
解析：考查利用二维正态分布计算事件概率的方法．X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，可以得到(X，Y)的联合概率密度，在区域≤R上利用极坐标计算二重积分得到所求事件的概率．知识模块：概率论与数理统计
15．设随机变量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，令求(1)(X，Y)的联合概率分布；(2)Z=XY的概率分布．
正确答案：(1)(X，Y)可能取的值为(一1，一1)，(一1，1)，(1，一1)，(1，1)，涉及知识点：概率论与数理统计
16．设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为fX(x)=求Z=2X+Y的概率密度．
正确答案：由于X和Y相互独立，因此(X，Y)的概率密度为
解析：本题可以利用X和Y相互独立及它们的概率密度的已知条件，求出(X，y)的概率密度f(x，y)，再求出Z的分布函数FZ(z)，从而求得Z的概率密度fZ(z)；也可以直接利用卷积公式求得fZ(z)，但要注意对z的取值进行正确的分
段．知识模块：概率论与数理统计
17．设(X，Y)概率密度f(x，y)=求Z=2X—Y的概率密度．
正确答案：利用公式fZ(z)=∫-∞+∞f(x，2x—z)dx．由于涉及知识点：概率论与数理统计
18．设二维随机变量(X，Y)在区域b={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，求Z=｜X—Y｜的概率密度fZ(z)．
正确答案：由已知，(X，Y)的概率密度为f(x，y)= 设Z=｜X—Y｜的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{｜X-Y｜≤z}．当z＜0时，FZ(z)=0，涉及知识点：概率论与数理统计
19．设随机变量X和Y相互独立，都在(一a，a)上服从均匀分布，求Z=XY 的概率密度。

正确答案：如图3—10所示，因为X和Y相互独立，都在(一a，a)上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合概率密度为设Z=XY的分布函数为FZ(z)=P{XY≤z}=当z＜一a2时，FZ(z)=0；当z≥a2时，FZ(z)=1；当0≤z＜a2时，涉及知识点：概率论与数理统计
20．设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为Y的概率密度为f(y)，求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．
正确答案：设Z=X+Y的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y ≤z}=P{X=1}P{X+Y≤z｜X=1} +P{X=2}P{X+Y≤z｜X=2}+P{X=3}P{X+Y ≤z｜X=3} =0．4P{Y≤z-1}+0．2P{Y≤z一2}+0．4P{Y≤z一3}．设Y 的分布函数为FY(y)，则F’Z≥(z)=0．4FY(z-1)+0．2FY(z一2)+0．4FY(z一3)，从而fZ(z)=F’Z(z)=0．f(z一1)+0．2f(z一2)+0．4f(z一3)．
解析：独立情况下，考查一个离散型，一个连续型随机变量的函数的分布，用全概率公式来求分布函数，离散型随机变量取各值的事件为完备事件组．知识模块：概率论与数理统计
21．设随机变量X和Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)=，求U=X+Y 的概率密度fU(u)．
正确答案：显然X可能取值为0和1，由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为FU(u)=P{X+Y≤M}=P{X=0}P{X+Y≤u｜X=0}+P{X=1}P{X+Y≤u｜x=1}=．概率密度为fU(u)=
解析：X的分布函数为阶梯函数，因此X是离散型随机变量，Y是连续型的，因此先找到X的概率分布，再便用全概率公式求U的分布函数．知识模块：概率论与数理统计
22．设相互独立的两个随机变量X，Y服从相同的分布，且X的概率分布为又随机变量Z=min{X，Y}．(1)求(X，Z)的概率分布；(2)X与Z是否相互独立?
正确答案：(1)(X，Z)可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．故X与Z 不相互独立．涉及知识点：概率论与数理统计。