人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件

课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
知识探究 知识点 2
第二十二章 二次函数
二次函数y=ax2的图象性质
问题2 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
关系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反， 大小相同，它们关 于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
问题3 1.观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
知识探究
二次函数y=ax2的性质
轴
(0,,顶0)点是
;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
y x
O
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第二十二章 二次函数
y
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
的取值范围是 k>1.
O
x
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上 y轴 （0,0）
说明二次项的系数大于0.
因此，k
k
2 k4 2＞0
2
，解得k=2
.
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
知识探究 素养考点 2 函数y=ax2的实际应用
第二十二章 二次函数
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= c2 （c＞0）
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 4 二次函数y = ax2的实际应用 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
h 1 gt 2 2
E 1 mv2 2
物体自由下落的高 度h与下落时间t之 间的关系（g代表重 力加速度，为定值）
质量为m的物体运 动时的能量E与其 运动速度v之间的 关系（m为定值）
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
y 1 x2
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
2 ···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2
-8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
···
···
知识探究
第二十二章 二次函数
【思考】二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
巩固练习
连接中考
第二十二章 二次函数
（2017•江苏连云港）已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的 是（ C ）． A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
解析 ∵抛物线y=ax2(a＞0)，∴A（-2，y1）关于y轴的 对称点的坐标为（2，y1），又∵a＞0，∴ 当x＞0时，y 随x的增大而增大，又∵0＜1＜2， ∴ 0＜y2＜y1.
回顾旧知
二次函数的图 象是什么样子的？
第二十二章 二次函数
一次函数的图象 一条直线
双曲线 反比例函数的图象
新知导入
（1） 你们喜欢打篮球吗？
第二十二章 二次函数
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么 曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
S 1 at 2 2
物体做匀加速运动 时，行驶路程与时 间的关系（a代表 加速度，为定值）
知识探究
第二十二章 二次函数
素养考点 1 利用函数y=ax2的定义确定字母的值
例1 已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式 解: 依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
a的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
第二十二章 二次函数
的图象开口大小与
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
知识探究
第二十二章 二次函数
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的
三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标
值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.
因此
S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝ 12×4×1+ 12×4×4＝10.
是 (0,0) ;
,顶点
（2）函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点
是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点. （3）函数y= 3 x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 （4）函数y= －0.2x2的图象的开口向下 ,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) .
y 1 x2
8 4.5
2 ···
2 0.5
0 0.5
23
2 4.5
4 ···
8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2
8 4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
···
···
知识探究
【思考】二次函数
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD
的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B
点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
巩固练习
第二十二章 二次函数
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
y 3x 2
y 1 x2 3
y 1 x2 3
向下 向上 向下

y轴 （0,0） y轴 （0,0） y轴 （0,0）
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能力提升题
第二十二章 二次函数
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求
实数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
知识探究 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y 9
第二十二章 二次函数
6
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点.
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
知识探究
第二十二章 二次函数
且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白
部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
知识探究
第二十二章 二次函数
方法点拨
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
第二十二章 二次函数
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识探究
第二十二章 二次函数
问题4
在同一直角坐标系中，画出函数
y 1 x2, y 2x2 2
的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1
第二十二章 二次函数
二次函数y=ax²的图像和性质
学习目标
第二十二章 二次函数
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的 特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶 点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是 最低点.
第二十二章 二次函数
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
知识探究
第二十二章 二次函数
2.观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
知识探究
二次函数y=ax2的性质
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 因此 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，y随 x增大而增大，则k= 2 .
分析 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
a>0
y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0
yx O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
知识探究
第二十二章 二次函数
填一填 （1）函数y=4x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y=-x2
知识探究
第二十二章 二次函数
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
知识探究
第二十二章 二次函数
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的
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拓广探索题
第二十二章 二次函数
1、已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、 B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
y 3x 4,
y
x2,
解得
x
y
4, 16,
或
x y
1, 1,
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
面积
周长 4
2
16
（2）画出它的图象；注意自变量的范围
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
知识探究
第二十二章 二次函数
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
C2
（4）若S ≥ 4cm2，即 16 ≥4，解得C ≥ 8，或c≤-8(舍去）. 因此C ≥ 8cm.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
y1___<__ y2；(填“>”“＝”或“<”)；