微积分下册期末试卷及答案

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14、用拉格朗日乘数法求 在满足条件 下的极值.
评 分
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15、计算.
评 分
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16、计算二重积分
,其中
是由
轴及圆周
所围成的在第一象限内的区域.
评 分
评 阅 人
17、解微分方程.
评 分
评 阅 人
18、判别级数的敛散性.
评 分
评 阅 人
19、将函数展开成的幂级数.
评 分
也收敛。
证：，
…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为,
…（2分）
…（4分）
所以.
…（5分）
评
阅
一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，且当
时，
，则
.
2、计算广义积分
.
3、设，则
. 4、微分方程具有
形式的特解.
5、级数的和为
.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
故 在 下的极小值点为
,极小值为
(6分)
15、计算. 解：
(6分)
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域. 解： ＝ ＝
分
评 分
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21、设级数
收敛，证明
也收敛.
评 分
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22、设,证明:.
07年（B）卷参考答案
卷 人
1、设，且当时，，则
.
2、计算广义积分=
.
3、设，则
.
4、微分方程具有
5、设 ，则 _________
形式的特解.
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A)
(B) (C)
(D)不存在
7、和存在是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
。（）
4、微分方程具有
形式的特解.（）
5、设
，则
_________。（1） 二、选择题(每小题3分,共15分) 1、
的值为 （ A ）
A.3
B.0
C.2
D.不存在
2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
分
评 分
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21、设正项级数 收敛,证明级数 也收敛.
评 分
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22、设,其中为可导函数, 证明 .
07（A）卷参考答案
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则
。
（
） 2、计算广义积分=
。（
）
3、设，则
并由题设知与都收敛,则收敛, 从而收敛。
(6分)
06年B卷
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一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，则_____________.
2、已 知，则
＝___________.
3、设函数 在点 取得极值，则常数 .
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
__________________.
发散. 故
的收敛区间是, 那么
…（5分）
的收敛区间为
.
…（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条
件收敛。
解：因为
由比值判别法知
…（2分）
收敛(
)，
…（4分）
从而由比较判别法知
收敛，所以级数
绝对收敛. …（6分） 四、证明题(每小题5分,共10分) 1、设正项级数
收敛,证明级数
解：显然本题要求:在条件下,求的最大值.
令,
…（3分）
解方程组
…（5分）
得:, 所以,若提供的广告费用为万元,应将万元全部用在报纸广告费用是最优 的广告策略. …（6分） 6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域； 解：
.
…（4分）
7、已知连续函数满足，且，求。
解：关系式两端关于求导得：
即
…（2分）
9、设二阶常系数非齐次微分方程 有三个特解
，，，则其通解为( ). (A) (B)
(C)
(D)
10、无穷级数
(为任意实数) ( ).
(A) 无法判断 (B) 绝对收敛
(C) 收敛
(D) 发散
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求极限
.
评 分
评 阅 人
12、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体 的体积.
9、方程具有特解( ).
(A)
(B)
(C) (D)
10、级数收敛，则级数( ).
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 敛散性不定
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评 分
评 阅 人
12、求二重极限.
评 分
评 阅 人
13、设,求.
(B)
(C) (D)
9、方程具有特解( ).
(A)
(B)
(C) (D)
10、设收敛，则( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评 分
评 阅 人
12、求二重极限 .
评 分
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16、计算二重积分,其中是由, 及所围成的闭区域.
评 分
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17、已知连续函数满足，求.
评 分
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18、求微分方程的通解.
评 分
评 阅 人
19、求级数的收敛区间.
评 分
评 阅 人
20、判定级数
是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收 敛.
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
，
求最优广告策略.
解：公司利润为
令即
得驻点,而
(3分)

,,,
,
所以最优广告策略为：
电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分) 21、设
，证明：
. 证：
(3分)
(6分)
22、若与都收敛,则收敛. 证：由于, (3分)
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20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产
单位甲产品,生产
单位乙产品的总费用为
,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
分
评 分
评 阅 人
21、设,证明
.
评 分
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22、若与都收敛,则收敛.
07年A卷
评
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一、填空题(每小题3分,共15分) 分
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：
…（6分）
= 又，即，故，所以
8、求解微分方程=0 。 解：令
…（5分） …（6分）
，则
，于是原方程可化为：
…（3分） 即
，其通解为
…（5分） 即 故原方程通解为：
…（6分）
9、求级数
的收敛区间。 解：令
,幂级数变形为
,
.
…（3分）
当时,级数为
收敛； 当时,级数为
。 解：
…（3分）
…（6分） 2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。 解：
…（4分）
分） 3、求由所确定的隐函数的偏导数
。 解：方程两边对求导得: ,有
方程两边对求导得: ,有 4、求函数
…（3分） …（6分）
的极值。 解：
，则
，
，
，
，
…（6
求驻点，解方程组 得和
.
…（2分）
对有
，
，
. 若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.
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16、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域.
评 分
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17、已知连续函数满足，且，求.
评 分
评
阅 人
18、求解微分方程=0.
评 分
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19、求级数 的收敛区间.
评 分
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20、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收 敛还是条件收敛.
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D ）。
A. ； B.
； C、
； D.
4、设二阶常系数非齐次线性方程
有三个特解，，，则其通解为 （C ）。
A.；
B.；
C.；
D.
5、无穷级数(为任意实数) （D）
A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：
4已知ln均收敛则常数在原点间断是因为该函数在原点有二重极限但无定义d在原点二重极限存在但不等于函数值bxaxbxax不定一填空题每小题3分共15分所围成的在第一象限内的区域
中南民族大学06、07微积分（下）
试卷及参考答案
06年A卷
评
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卷
分
人
1、已知
,则_____________.
2、已知,则___________.
3、函数
在
点取得极值.
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________.
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6 知与均收敛, 则常数
的取值范围是( ). (A) (B) (C) (D)
7 数在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 , , ,则下列关系式成立的是( ). (A)
， 于是
，所以是函数的极大值点，且
…（4分） 对
有
，
，
， 于是
，
不是函数的极值点。
…（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资
料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间
的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广
告策略.
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19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
评 分
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20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广 告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的 及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
， 求最优广告策略.
评
四、证明题(每小题5分,共10分)
分
评 分
评 阅 人
13、由确定，求.
评 分
评 阅 人
14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值.
评 分
评 阅 人
15、计算.
评 分
评 阅 人
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域.
评 分
评 阅 人
17、解微分方程.
评 分
评 阅 人
18、判别级数的敛散性.
评 分
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面所围的体积是( ).
(A) (B)
(C)
(D)
9、设二阶常系数非齐次线性方程
有三个特解，，，则其通解为( ).
(A)
(B)
(C) (D)
10、无穷级数 (为任意实数) ( ).
(A) 收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 无法判断
(6分)
17、解微分方程.
解：令,,方程化为,于是 (3分)
(6分)
18、判别级数的敛散性. 解：
(3分) 因为
(6分)
19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于,已知 ,, (3分)
那么 ,.
(6分)
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广
告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、已知与均收敛, 则常数
的取值范围是( ).
(A) (B) (C) (D)
7、对于函数
,点 ( ).
(A) 不是驻点 (C) 是极大值点
8、已知 , ,其中为 ,则( ). (A) (B) (C) (D)
(B) 是驻点而非极值点 (D) 是极小值点
评 分
评 阅 人
21、设
，证明： .
评 分
评 阅 人
22、若与都收敛,则收敛.
答案
一、填空题(每小题3分,共15分) 1、
. 2、
. 3、. 4、1. 5、
. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ). 7、 (B). 8、(A ) . 9、(D). 10、(D).
三、计算题(每小题6分,共60分) 11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积. 解：
评
三、计算题(每小题6分,共60分)
分
评 分
评 阅 人
11、求极限
.
评 分
评 阅 人
12、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评 分
评 阅 人
13、求由所确定的隐函数的偏导数
.
评 分
评 阅 人
14、求函数 的极值.
评 分
评 阅 人
15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告. 根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸 广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
评
阅
二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、和在存在且连续是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面 所围的体积是( ). (A) (B) (C) (D)
评 分
评 阅 人
13、求由所确定的隐函数的偏导数 .
评 分
评 阅 人
14、求函数的极值.
评 分
评 阅 人
15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告. 根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸 广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式: