2017-2018学年枣庄市薛城区八年级下期中数学试卷(含答案解析)

2017-2018学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来,每小题3分，共36分）
1．不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
2．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC的度数是（）
A．70°B．44°C．34°D．24°
3．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE＝3，则BE的长是（）
A．3B．6C．2D．3
5．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
6．不等式组的非负整数解的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
7．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a﹣3＞b﹣3B．﹣3c＜﹣3d C．1﹣a＞1﹣c D．b﹣d＞0
8．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（）
A．①B．②C．③D．④
9．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S
＝BC•AH D．AB＝AD
△ABC
10．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．现有下列结论：①AD 平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB、AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
12．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）
A．B．C．D．不能确定
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为．
14．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设．
15．关于x的一元一次不等式的解集为x≥4，则m的值为．
16．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是．
17．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝58°，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△A'B'C，使点B恰好落在A'B'上，A'C交AB于点D，则∠ADC的度数为°．
18．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买个．
三、解答题（共7道大题，满分60分）
19．（8分）如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
（1）判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
（2）由此题你得到的结论是．
20．（8分）已知关于x的方程3x﹣（2a﹣3）＝5x+3（a+2）的解是非正数，求字母a的取值范围．21．（8分）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”
（1）请写出它的逆命题；该逆命题是一个命题（填“真”或“假”）
（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．
22．（8分）解不等式组
请结合题意，完成本题解答过程．
（1）解不等式①，得，依据是．
（2）解不等式②，得．
（3）解不等式③，得．
（4）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（5）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．
（6）根据不等式组的解集确立出该不等式组的最大整数解为．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）．请解答下列问题：
（1）画出△ABC向左平移6个单位得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
24．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
25．（10分）感知：
如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．判断DB与DC的大小关系并证明．
探究：
如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．
应用：
如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝．（用含a的代数式表示）
2017-2018学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来,每小题3分，共36分）
1．不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：3x≥9﹣6，
合并同类项，得：3x≥3，
系数化为1，得：x≥1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC的度数是（）
A．70°B．44°C．34°D．24°
【分析】由AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
3．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根据题意，由直线AB与直线A′B′的夹角是90°即可确定旋转角的大小．
【解答】解：如图：延长AB、A′B′，直线AB与直线A′B′的夹角是90°，故旋转角α为90°．
故选：C．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE＝3，则BE的长是（）
A．3B．6C．2D．3
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
【解答】解：已知∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB．
故∠B＝∠EAB＝22.5°，
所以∠AEC＝45°．
又∵∠C＝90°，
∴△ACE为等腰三角形
所以CE＝AC＝3，
故可得AE＝3．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．
5．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
【分析】观察图象可知，先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到．
【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选：B．
【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．
6．不等式组的非负整数解的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≥﹣，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为﹣≤x＜5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a﹣3＞b﹣3B．﹣3c＜﹣3d C．1﹣a＞1﹣c D．b﹣d＞0
【分析】依据实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置，即可得到a，b，c，d的大小关系，进而利用不等式的基本性质得出结论．
【解答】解：∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，故A选项错误；
∵c＜d，∴﹣3c＞﹣3d，故B选项错误；
∵a＜c，∴1﹣a＞1﹣c，故C选项正确；
∵b＜d，∴b﹣d＜0，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
8．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
9．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S
＝BC•AH D．AB＝AD
△ABC
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解答】解：A、正确．如图连接CD、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S
＝•BC•AH．
△ABC
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．
10．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，
∵不等式组的解集为x＜5，
∴m≥5，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．现有下列结论：①AD 平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB、AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线的逆定理可知①正确，利用等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线三线合一，可得②④正确；利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得③．
【解答】解：①∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，
故①正确；
②∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．
故②正确；
③∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等．
故③正确；
④∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
即AD是BC的垂直平分线，
∴AD上任意一点到BC两端点的距离相等；
故④正确．
所以①、②、③、④均正确，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识．根据相关知识对各选项进行逐个验证是正确解答本题的关键．
12．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）
A．B．C．D．不能确定
【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．
【解答】解：如图，∵等边三角形的边长为3，
∴高线AH＝3×＝，
S
＝BC•AH＝AB•PD+BC•PE+AC•PF，
△ABC
∴×3•AH＝×3•PD+×3•PE+×3•PF，
∴PD+PE+PF＝AH＝，
即点P到三角形三边距离之和为．
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为70°或55°．
【分析】分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可．
【解答】解：
当110°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣110°＝70°；
当110°外角为顶角的外角时，则其顶角为：70°，则其底角为：＝55°，
故答案为：70°或55°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．
14．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都
小于．
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【解答】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五
个数都小于，
故答案为：这五个数都小于
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．关于x的一元一次不等式的解集为x≥4，则m的值为2．
【分析】先用含有m的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m的方程，解之可得m的值．
【解答】解：解不等式得：x≥，
∵不等式的解集为x≥4，
∴＝4，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
16．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x≤ax+3的解集是x≥﹣1．
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x≤ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2），
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＜ax+3的解集为x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
17．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝58°，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△A'B'C，使点B恰好落在A'B'上，A'C交AB于点D，则∠ADC的度数为84°．
【分析】首先由旋转的性质可知：△BB′C是等腰三角形，由三角形内角和定理可求得∠BCB′的度数，进而可求得∠BCD的度数，即可根据三角形的外角性质求得∠ADC的度数．
【解答】解：由旋转的性质知：∠ABC＝∠B′＝58°，BC＝B′C；
在等腰△BCB′中，由三角形内角和定理知：
∠BCB′＝180°﹣2∠B′＝64°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCB′＝26°；
∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝58°+26°＝84°；
故∠ADC的度数为84°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，还涉及到三角形内角和定理及三角形的外角性质，难度不大．18．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮
球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买16个．
【分析】设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，根据总价＝单价×购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，
根据题意得：80x+50（50﹣x）≤3000，
解得：x≤．
∵x为整数，
∴x最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
三、解答题（共7道大题，满分60分）
19．（8分）如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．
（1）判断AP能否平分∠BAC？请说明理由．
（2）由此题你得到的结论是三角形的三条内角平分线相交于一点．
【分析】如图，作辅助线；证明PK＝PL即可解决问题．
【解答】解：（1）AP能平分∠BAC；理由如下：
如图，过点P作PQ⊥BC、PK⊥AB、PL⊥AC；
∵△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
∴PK＝PQ，PL＝PQ，
∴PK＝PL，
∴AP平分∠BAC；
（2）结论：三角形的三条内角平分线相交于一点．
故答案为：三角形的三条内角平分线相交于一点．
【点评】该题主要考查了三角形的内角平分线的性质及其应用问题；作辅助线是解决该题的关键．20．（8分）已知关于x的方程3x﹣（2a﹣3）＝5x+3（a+2）的解是非正数，求字母a的取值范围．【分析】依次移项，合并同类项，系数化为1，得到x关于a的解，根据方程的解为非正数，得到关于a 的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：3x﹣（2a﹣3）＝5x+3（a+2），
移项得：3x﹣5x＝3a+6+2a﹣3，
合并同类项得：﹣2x＝5a+3，
系数化为1得：x＝﹣，
∵方程的解是非正数，
∴﹣≤0，
解得：a，
即字母a的取值范围为：a．
【点评】本题考查解一元一次不等式和一元一次方程的解，正确掌握解一元一次不等式和解一元一次方程的方法是解题的关键．
21．（8分）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”
（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；该逆命题是一个真命题（填“真”或“假”）
（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．【分析】（1）写出逆命题，并判断是真命题；
（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．【解答】解：（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该逆命题是一个真命题；
故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，真；
（2）已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°．
求证：BC＝AB．
证明：
证法一：如图1所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，易证AD＝AB，∠BAD＝60°．∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD，
∴BC＝CD＝AB，即BC＝AB．
证法二：如图2所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD＝AB＝AD＝DB，
∴∠DCA＝∠A＝30°，∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝AB，即BC＝AB．
证法三：如图3所示，在AB上取一点D，使BD＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB＝60°，∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°＝∠A．
∴DC＝DA，即有BC＝BD＝DA＝AB，
∴BC＝AB．
证法四：如图3所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C＝90°，AB为⊙O的直径，
连DC，有DB＝DC，∠BDC＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC＝DB＝DA＝AB，即BC＝AB．
【点评】本题考查的是直角三角形30度角的性质和等边三角形的判定、互逆命题的定义，熟练掌握直角三角形30度角的性质的证明是关键．
22．（8分）解不等式组
请结合题意，完成本题解答过程．
（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）解不等式②，得x＞﹣2．
（3）解不等式③，得x＜2．
（4）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（5）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集﹣2＜x＜2．
（6）根据不等式组的解集确立出该不等式组的最大整数解为x＝1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2）解不等式②，得x＞﹣2．
（3）解不等式③，得x＜2．
（4）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来如下：
（5）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集：﹣2＜x＜2．
（6）根据不等式组的解集确立出该不等式组的最大整数解为：x＝1；
故答案为：（1）x≥﹣3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
（2）x＞﹣2；
（3）x＜2；
（5）﹣2＜x＜2；
（6）x＝1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）．请解答下列问题：
（1）画出△ABC向左平移6个单位得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
【分析】（1）分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）分别画出A2、B2、C2的对应点A3、B3、C3即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1，如图所示；A1（﹣4，2）；
（2）△A2B2C2如图所示；并写出A2（4，0），
（3）△A3B3C3如图所示，A3（﹣4，0）、
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需
130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
【分析】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）
（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活
动方案即可得出w
活动一、w
活动二
关于m的函数关系式，再分别令w
活动一
＜w
活动二
、w
活动一
＝w
活动二
和w
活动一
＞w
活动二
，解出m的取值范围，此题得解．
（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）
（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活
动方案即可得出w
活动一、w
活动二
关于m的函数关系式，再分别令w
活动一
＜w
活动二
、w
活动一
＝w
活动二
和w
活动一
＞w
活动二
，解出m的取值范围，此题得解．
【解答】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一＝20m ×0.8+15（100﹣m ）×0.4＝10m +600；
w 活动二＝20m +15（100﹣m ﹣m ）＝﹣10m +1500．
当w 活动一＜w 活动二时，有10m +600＜﹣10m +1500，
解得：m ＜45；
当w 活动一＝w 活动二时，有10m +600＝﹣10m +1500，
解得：m ＝45；
当w 活动一＞w 活动二时，有10m +600＞﹣10m +1500，
解得：45＜m ≤50．
综上所述：当m ＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m ＝45时，选择两种活动费用相同；当m ＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．
（按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答）
解：（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意得：
，
解得：． 答：A 种魔方的单价为26元/个，B 种魔方的单价为13元/个．
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），总价格为w 元，则购进B 种魔方（100﹣m ）个，
根据题意得：w 活动一＝26m ×0.8+13（100﹣m ）×0.4＝15.6m +520；
w 活动二＝26m +13（100﹣m ﹣m ）＝1300．
当w 活动一＜w 活动二时，有15.6m +520＜1300，
解得：m ＜50；
当w 活动一＝w 活动二时，有15.6m +520＝1300，
解得：m ＝50；
当w 活动一＞w 活动二时，有15.6m +520＞1300，
不等式无解．
综上所述：当0＜m ＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m ＝50时，选择两种活动费用相同．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x 、y 的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出w 活动一、w 活动二关于m 的函数关系式．
25．（10分）感知：
如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．判断DB与DC的大小关系并证明．
探究：
如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．
应用：
如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝a．（用含a的代数式表示）
【分析】感知：判断出△ADC≌△ADB，即可得出结论；
探究：欲证明DB＝DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD＝EB即可解决问题．
【解答】感知：解：BD＝DC，
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB，
∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠C＝90°＝∠B，
在△ADC和△ADB中，，
∴△ADC≌△ADB（AAS），
∴BD＝DC；
探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC＝DB；
应用：
解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴AF＝AE，
∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，
∴BE＝BD＝a，
∴AB﹣AC＝2BE＝a．
故答案为a．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．。