货币的时间价值

货币的时间价值
第二章货币的时间价值
货币的时间价值是企业财务管理的一个重要概念，在企业筹资、投资、利润分配中都要考虑货币的时间价值。

本讲是以后各讲学习的基础，本章着重介绍了货币时间价值的概念、计算。

运用货币时间价值的基本原理可以解决不等额系列、分段年金、年金和不等额等复杂情况的现金流量；也可以解决货币时间价值的一些特殊问题，如复利计息频数、分数计息期、贴现率、利息率等。

一、货币时间价值的概念
在商品经济中，货币的时间价值是客观存在的。

如将资金存入银行可以获得利息，将资金运用于公司的经营活动可以获得利润，将资金用于对外投资可以获得投资收益，这种由于资金运用实现的利息、利润或投资收益表现为货币的时间价值。

由此可见，货币时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称资金的时间价值。

由于货币的时间价值，今天的100元和一年后的100元是不等值的。

今天将100元存入银行，在银行利息率10%的情况下，一年以后会得到110元，多出的10元利息就是100元经过一年时间的投资所增加了的价值，即货币的时间价值。

显然，今天的100元与一年后的110元相等。

由于不同时间的资金价值不同，所以，在进行价值大小对比时，必须将不同时间的资金折算为同一时间后才能进行大小的比较。

在公司的生产经营中，公司投入生产活动的资金，经过一定时间的运转，其数额会随着时间的持续不断增长。

公司将筹资的资金用于购建劳动资料和劳动对象，劳动者借以进行生产经营活动，从而实现价值转移和价值创造，带来货币的增值。

资金的这种循环与周转以及
因此实现的货币增值，需要一定的时间。

随着时间的推移，资金不断周转使用，时间价值不断增加。

在公司财务活动中，公司经营者会充分利用闲置资金，购买股票、债券等投资活动以获得投资收益。

通常情况下，只有当所获得的投资收益大于或等于利息收入时，即投资利润率等于同期银行利息率时，公司才进行投资活动，否则宁愿把资金存在银行中，而不愿进行有一定风险的投资活动。

由此可见，货币的时间价值从价值量上看，是在没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率，货币的时间价值是公司资金利润率的最低限度。

二、货币时间价值的计算
计算货币时间价值量，首先引入“现值”和“终值”两个概念表示不同时期的货币时间价值。

现值，又称本金，是指资金现在的价值。

终值，又称本利和，是指资金经过若干时期后包括本金和时间价值在内的未来价值。

通常有单利终值与现值、复利终值与现值、年金终值与现值。

（一）单利终值与现值
单利是指只对借贷的原始金额或本金支付（收取）的利息。

我国银行一般是按照单利计算利息的。

在单利计算中，设定以下符号：
P──本金（现值）；i──利率；I──利息；F──本利和（终值）；t──时间。

1.单利终值。

单利终值是本金与未来利息之和。

其计算公式为：
F＝P＋I＝P＋P×i×t＝P(1+ i×t)
例：将100元存入银行，利率假设为10%，一年后、两年后、三年后的终值是多少？（单利计算）
一年后：100×（1+10%）＝110（元）
两年后：100×（1+10%×2）＝120（元）
三年后：100×（1+10%×3）＝130（元）
2.单利现值。

单利现值是资金现在的价值。

单利现值的计算就是
确定未来终值的现在价值。

例如公司商业票据的贴现。

商业票据贴现时，银行按一定利率从票据的到期值中扣除自借款日至票据到期日的应计利息，将余款支付给持票人。

贴现时使用的利率称为贴现率，计算出的利息称为贴现息，扣除贴现息后的余额称为贴现值即现值。

单利现值的计算公式为：
P＝F－I＝F－F×i×t＝F×（1－i×t）
例：假设银行存款利率为10%，为三年后获得20000现金，某人现在应存入银行多少钱？
P＝20000×（1－10%×3）＝14000（元）
（二）复利终值与现值
复利，就是不仅本金要计算利息，本金所生的利息在下期也要加入本金一起计算利息，即通常所说的“利滚利”。

在复利的计算中，设定以下符号：F──复利终值；i──利率；P──复利现值；n──期数。

1．复利终值
复利终值是指一定数量的本金在一定的利率下按照复利的方法计算出的若干时期以后的本金和利息。

例如公司将一笔资金P存入银行，年利率为i，如果每年计息一次，则n年后的本利和就是复利终值。

如图1。

F=？
0 1 2 n－1 n
P
图1 复利终值示意图
如图1所示，一年后的终值为：
F1＝P+P×i＝P×（1+ i）
两年后的终值为：
F2＝F1+ F1×i＝F1×（1+ i）＝P×（1+ i）（1+ i）＝P×（1+ i）2
┇
由此可以推出n年后复利终值的计算公式为：
F＝P×（1+ i）n
例：将100元存入银行，利率假设为10%，一年后、两年后、三年后的终值是多少？（复利计算）
一年后：100×（1+10%）＝110（元）
两年后：100×（1+10%）2＝121（元）
三年后：100×（1+10%）3＝133.1（元）
复利终值公式中，（1+ i）n称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示。

例如（F/P，8%，5），表示利率为8%、5期的复利终值系数。

复利终值系数可以通过查“复利终值系数表”（见本书附录）获得。

通过复利系数表，还可以在已知F，i的情况下查出n；或在已知F，n的情况下查出i。

2．复利现值
复利现值是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值。

即为取得未来一定本利和现在所需要的本金。

例如，将n年后的一笔资金F，按年利率i折算为现在的价值，这就是复利现值。

如图2。

F
0 1 2 n－1 n
P=？
图2 复利现值示意图
由终值求现值，称为折现，折算时使用的利率称为折现率。

复利现值的计算公式为：
例：A钢铁公司计划4年后进行技术改造，需要资金120万元，当银行利率为5%时，公司现在应存入银行的资金为：
P＝F×（1+ i）-n＝1 200 000×（1+5%）-4＝1 200 000×0.8227
＝987 240（元）
公式中（1+ i）-n称为复利现值系数，用符号（P/F，i，n）表示。

例如（P/F ，5%，4），表示利率为5%，4期的复利现值系数。

与复利终值系数表相似，通过现值系数表在已知i，n的情况下查出P；或在已知P，i的情况下查出n；或在已知P，n的情况下查出i。

（三）年金终值与现值
年金是指一定时期内一系列相等金额的收付款项。

如分期付款赊购，分期偿还贷款、发放养老金、支付租金、提取折旧等都属于年金收付形式。

按照收付的次数和支付的时间划分，年金可以分为普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。

在年金的计算中，设定以下符号：A──每年收付的金额；i──利率；
F──年金终值；P──年金现值；n──期数。

1．普通年金
普通年金是指每期期末有等额的收付款项的年金，又称后付年金。

如图3所示。

0 1 2 3 4
100 100 100 100
图3 普通年金示意图
图3，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

上图表示4期内每年100元的普通年金。

（1）普通年金的终值
普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付款项的复利终值之和。

例如，按图3的数据，假如i＝6%，第四期期末的普通年金终
值的计算见图4。

0 1 2 3 4
100×（1＋6%）0 =100×1=100
100×（1＋6%）1＝100×1.06=106
100×（1＋6%）2＝100×1.1236=112.36
100×（1＋6%）3＝100×1.191=119.10
100×4.3746=437.46
图4 普通年金终值计算示意图
从4图可知，第一期期末的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；第二期期末的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；第三期期末的100元，有1个计息期，其复利终值为106元；而第四期期末的100元，没有利息，其终值仍为100元。

将以上四项加总得437.46元，即为整个的年金终值。

从以上的计算可以看出，通过复利终值计算年金终值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。

根据复利终值的方法计算年金终值F的公式为：
等式两边同乘（1+i），则有：
公式（2）－公式（1）：
公式中，通常称为“年金终值系数”，用符号（F/A，i，n）
表示。

年金终值系数可以通过查“年金终值系数表”获得。

该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。

相应的年金系数在其纵横交叉之处。

例如，可以通过查表获得（F/A，6%，4）的年金终值系数
为4.3746，即每年年末收付1元，按年利率为6%计算，到第4年年末，其年金终值为4.3746元。

例：某公司每年在银行存入4 000元，计划在10年后更新设备，银行存款利率5%，到第10年末公司能筹集的资金总额是多少？
在年金终值的一般公式中有四个变量F，A，i，n，已知其中的任意三个变量都可以计算出第四个变量。

例：某公司计划在8年后改造厂房，预计需要400万元，假设银行存款利率为4%，该公司在这8年中每年年末要存入多少万元才能满足改造厂房的资金需要？
该公司在银行存款利率为4%时，每年年末存入43.41万元，8年后可以获得400万元用于改造厂房。

（2）普通年金的现值
普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。

例如，按图3的数据，假如i＝6%，其普通年金现值的计算如图5。

0 1 2 3 4
100×（1＋6%）-1＝94.34
100×（1＋6%）-2＝89
100×（1＋6%）-3＝83.96
100×（1＋6%）-4＝79.21
346.51
图5 普通年金现值计算示意图
从图5可知，第一期期末的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；第二期期末的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；第三期期末的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元；第四期期末的100元到第一期初，经历了4个计息期，其复利现值为79.21元。

将以上四项加总得346.51元，即为四期的年金现值。

从以上计算可以看出，通过复利现值计算年金现值比较复杂，但存在一定的规律性，由此可以推导出普通年金终值的计算公式。

根据复利现值的方法计算年金现值P的计算公式为：
等式两边同乘（1+ i），则有：
公式（2）－公式（1）：
公式中，通常称为“年金现值系数”，用符号（P/A，i，n）表示。

年金现值系数可以通过查“年金现值系数表”获得。

该表的第一行是利率i，第一列是计息期数n。

相应的年金现值系数在其纵横交叉之处。

例如，可以通过查表获得（P/A，6%，4）的年金现值系数为3.4651，即每年末收付1元，按年利率为6%计算，其年金现值为3.4651元。

例：某公司预计在8年中，从一名顾客处收取6 000的汽车贷款还款，贷款利率为6%，该顾客借了多少资金，即这笔贷款的现值是多少？
在年金现值的一般公式中有四个变量P，A，i，n，已知其中的任
意三个变量都可以计算出第四个变量。

2．先付年金
先付年金是指每期期初有等额的收付款项的年金，又称预付年金。

如图6所示。

0 1 2 3 4
100 100 100 100
图6 先付年金示意图
图6，横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

上图表示4期内每年100元的先付年金。

（1）先付年金的终值
先付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。

例如，按图6的数据，假如i＝6%，第4期期末的年金终值的计算见图7。

0 1 2 3 4
100×（1＋6%）=100×1.06=106
100×（1＋6%）2＝100×1.1236=112.36
100×（1＋6%）3＝100×1.191=119.10
100×（1＋6%）4＝100×1.2625=126.25
100×4.6371=463.71
图7 先付年金终值计算示意图
从图7可知，第一期期初的100元，有4个计息期，其复利终值为126.25元；第二期期初的100元，有3个计息期，其复利终值为119.1元；第三期期初的100元，有2个计息期，其复利终值为112.36元；而第四期期初的100元，有1个计息期，其复利终值为106元。

将以上四项加总得463.71元，即为整个的先付年金终值。

从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，
但由于其付款时间的不同，先付年金终值比普通年金终值多计算一期利息。

因此，可在普通年金终值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的终值。

先付年金的终值F的计算公式为：
公式中通常称为“先付年金终值系数”，它是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的，可表示为［（F/A，i，n+1）－1］，可通过查“普通年金终值系数表”，得（n+1）期的值，然后减去1可得对应的先付年金终值系数的值。

例如［（F/A，6%，4+1）－1］，（F/A，6%，4+1）的值为5.6371，再减去1，得先付年金终值系数为4.6371。

例：某公司租赁写字楼，每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，该公司计划租赁12年，需支付的租金为多少？
或：F＝A×［（F/A，i，n+1）－1］
＝5 000×［（F/A，8%，12+1）－1］
查“年金终值系数表”得：
（F/A，8%，12+1）＝21.495
F＝5 000×（21.495－1）＝102 475（元）
（2）先付年金的现值
先付年金现值是指一定时期内每期期初收付款项的复利现值之和。

例如，按图6的数据，假如i＝6%，其先付年金现值的计算如图8。

0 1 2 3 4
100×（1＋6%）0＝100
100×（1＋6%）-1＝94.34
100×（1＋6%）-2＝89
100×（1＋6%）-3＝83.96
367.3
图8 先付年金现值计算示意图
从图2—8可知，第一期期初的100元，没有计息期，其复利现值仍然为100元；第二期期初的100元到第一期初，经历了1个计息期，其复利现值为94.34元；第三期期初的100元到第一期初，经历了2个计息期，其复利现值为89元；第四期期初的100元到第一期初，经历了3个计息期，其复利现值为83.96元。

将以上四项加总得367.3元，即为四期的先付年金现值。

从以上的计算可以看出，先付年金与普通年金的付款期数相同，但由于其付款时间的不同，先付年金现值比普通年金现值少折算一期利息。

因此，可在普通年金现值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的现值。

先付年金的现值P的计算公式为：
公式中，通常称为“先付年金现值系数”，
先付年金现值系数是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1求得的，可表示为［（P/A，i，n－1）+1］，可通过查“年金先现值系数表”，得（n－1）期的值，然后加上1可得对应的先付年金现值系数的值。

例如［（P/A，6%，4－1）+1］，（P/A，6%，4－1）的值为2.673，再加上1，得先付年金现值系数为3.673。

例：某人分期付款购买住宅，每年年初支付6 000元，20年还款
期，假设银行借款利率为5%，该项分期付款如果现在一次性支付，需支付现金是多少？
或：P＝A×［（P/A，i，n－1）+1］
＝6 000×［（P/A，5%，20－1）+1］
查“年金现值系数表”得：
（P/A，5%，20－1）＝12.0853
P＝6 000×（12.0853+1）＝78 511.8（元）
3、递延年金
递延年金是指第一次收付款发生时间是在第二期或者第二期以后的年金。

递延年金的收付形式如图9。

0 1 2 3 4 5 6
100 100 100 100
图9 递延年金示意图
从图9可以看出，递延年金是普通年金的特殊形式，第一期和第二期没有发生收付款项，一般用m表示递延期数，m＝2。

从第三期开始连续4期发生等额的收付款项，n＝4。

（1）延年金终值
递延年金终值的计算方法与普通年金终值的计算方法相似，其终值的大小与递延期限无关。

（2）递延年金现值
递延年金现值是自若干时期后开始每期款项的现值之和。

其现值计算方法有两种：
方法一，第一步把递延年金看作n期普通年金，计算出递延期末的现值；第二步将已计算出的现值折现到第一期期初。

例：如图9所示数据，假设银行利率为6%，其递延年金现值为多少？
第一步，计算4期的普通年金现值。

第二步，已计算的普通年金现值，折现到第一期期初。

0 1 2 3 4 5 6
100 100 100 100
308.39 346.51
图10
方法二，第一步计算出(m+n)期的年金现值；第二步，计算m期年金现值；第三步，将计算出的(m+n)期扣除递延期m的年金现值，得出n期年金现值。

的计算步骤为：
0 1 2 3 4 5 6
183.34 100 100 100 100
491.73
308.39＝491.73－183.34
图11
1．永续年金
永续年金是指无限期支付的年金，如优先股股利。

由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。

永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。

其现值的计算公式可由普通年金现值公式推出。

永续年金现值P计算公式为：
在企业价值评估和企业并购确定目标企业价值时用到。

三、货币时间价值的应用
（一）不等额系列现金流量
0 1 2 3 4
100 200 150 300
图12 不等额系列现金流量示意图
从图12中看出，每期的收入或付出是不等额的。

不等额现金流量的终值为各期终值之和；其现值也是各期现值之和。

（一）不等额现金流量终值的计算
方法一，见图13计算。

0 1 2 3 4
300×（1＋5%）=300×1.05=315
150×（1＋5%）2＝150×1.1025=165.38
200×（1＋5%）3＝200×1.1576=231.52
100×（1＋5%）4＝100×1.2155=121.55
833.45（万元）
图13 不等额系列现金流量终值计算示意图
0 1 2 3 4
100×（1＋5%）0＝100
200×（1＋5%）-1＝190.48
150×（1＋5%）-2＝136.05
300×（1＋5%）-3＝295.14
721.67（万元）
图14 不等额现金流量现值计算示意图
（二）分段年金现金流量
在公司现金流入和流出中，某个时期现金流量保持在一个水平上，而过一时期又保持在另一水平上，通常称为分段年金现金流量。

其收入或付出形式如图2—13。

0 1 2 3 4 5 6
100 100 100 200 200 200
图15 分段年金现金流量示意图
终值的计算：先计算前三年年金终值，然后将计算结果乘以三年期的复利终值系数；再计算后三年的年金终值，最后将二者加总。

现值的计算：先计算前三年100元年金现值；再计算后三年的年金现值。

（后三年的年金现值是先计算后三年普通年金，再折现3年）；最后将二者加总。

（三）年金和不等额系列现金流量
年金和不等额现金流量是指每次收入或付出的款项既有年金又有不等额的混合情况。

如图2—14。

0 1 2 3 4 5 6 7 8
100 100 100 150 200 200 200 300
四、货币时间价值的特殊问题
（一）复利计息频数
复利计息频数是指利息在一年中复利多少次。

在前面的终值与现值的计算中，都是假定利息是每年支付一次的，因为在这样的假设下，最容易理解货币的时间价值。

但是在实际理财中，常出现计息期以半年、季度、月，甚至以天为期间的计息期，相应复利计息频数为每年2次、4次、12次、360次。

如贷款买房按月计息，计息为12个月。

如果给出年利率，则
计息期数和计息率均可按下列公式进行换算：
公式中，r为期利率，i为年利率，m为每年的计息次数，n为年数，t为换算后的计息期数。

其终值和现值的计算公式分别为：
例：存入银行1 000元，年利率为12%，计算按年、半年、季、月的复利终值。

1．按年复利的终值
F1＝1 000×（1+12%）＝1 120（元）
2．按半年复利的终值
F2＝1 000×［1+（12%/2）］2＝1 123.6（元）
3．按季复利的终值
F3＝1 000×［1+（12%/4）］4＝1 125.51（元）
4．按月复利的终值
F4＝1 000×［1+（12%/12）］12＝1 126.83（元）
从以上计算可以看出，按年复利终值为1 120元，按半年复利终值为1123.6元，按季复利终值为1 125.51元，按月复利终值为1126.83元，
一年中计息次数越多，其终值就越大。

一年中计息次数越多，其现值越小。

这二者的关系与终值和计息次数的关系恰好相反。

二、分数计息期
在前面的终值与现值的计算中，计息期都是整数。

但是在实际中，会出现计息期是分数的情况。

如n＝10/3。

1．分数计息期的年金现值
例：某公司半年后，需每年支付100万元的5年期的年金，折现
率为6%，其现值是多少？
第一步，公司要在半年后支付5年期的年金，若在半年前看，该年金是5年期的普通年金，可用年金现值公式计算：
第二步，将计算的结果看作是单一的现金流量，利用复利终值公式，复利半年（0.5年）。

F＝421.24×（1+6%）0.5＝421.24×1.0296＝433.71（万元）
以上计算见图2—15。

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
421.24 100 100 100 100 100
433.71
图17 分数计息期年金现值计算示意图
2．分数计息期的年金终值
例：某公司一年后，需每年支付100万元年金，折现率为6%，该公司3年期年金在3.5年的价值是多少？
318.36 327.78
100 100 100
0 1 2 3 3.5 4
图18 分数计息期年金终值计算示意图
三、求解折现率、利息率
内插法或插值法计算折现率、利息率。

例：某人现在向银行存入7 000元，按复利计算，在利率为多少时，才能在8年后每年得到1 000元？
P/A＝（P/A，i，n）
7 000/1 000＝（P/A，i，8）
7=（P/A，i，8）
查“年金现值系数表”，当利率为3%时，系数是7.0197；当利率为4%时，系数是6.4632。

因此判断利率应在3%～4%之间，设利
率为x，则用内插法计算x值。

利率年金现值系数
故：i＝3%+0.0354%≈3.04%
四、连续折现
在复利计息频数我们得出结论是：复利次数越多，终值越大；相反，折现次数越多，折现值越小。

在连续折现下，现值达到最小值。

其现值的计算公式为：
公式中，当m趋于无穷时，就是连续折现，而且公式趋向于，其中e近似等于2.71828。

因此，在利率为i ，终值为F时，连续折现下第n年年末收到的现金流量终值的现值为：
例某人在连续复利下，折现率为10%，第5、第10年年末收到的10 000元的现值是多少？。