二分法教学设计

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计
教学目标
1.理解并掌握用二分法求函数零点近似解的基本方法，并能用计算器求简单方程的近似解。

2.进一步体会函数与方程之间的联系，以及在用函数的观点下处理问题的函数思想，包括
其中的逼近思想、近似思想和算法思想等。

3.通过用二分法求零点近似解的过程，使学生进一步感受用数学观点处理问题时的思想和
精神．进而培养学生良好的数学意识。

教学重难点
教学重点：用二分法求函数零点的近似解.
教学难点：理解二分法的一般算法.
学情分析及教学内容分析
在本册2.4.1中，学生已经学习了函数零点的概念及几何意义，“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点的概念（为了给二分法减轻负担，可以将“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点的概念的学习提前在2.4.1中完成）.学生已经能够利用初中学过的知识（包括十字相乘、分组分解法、图像法等）求一次函数、二次函数及某些可以分解因式的三次函数的零点，还可以利用两个函数的图像的交点情况判断一个方程的解的情况.虽然三次、四次的函数有求根公式，但是它们的表示相当复杂，一般来讲不适于作具体计算.况且高于四次的代数方程不存在求根公式.因此，对于高次多项式函数及其他函数求零点，学生用已有的知识就无能为力了，因此有必要探寻一种可以操作的求零点的近似解的方法.
二分法是必修数学1（B版）函数与方程中的教学内容.在大纲版的教科书中没有，是新课标补充的内容.其基本思想是利用“零点存在性定理”，求定义在区间D上的函
数在D上满足给定的精确度的零点的近似值的一种计算方法.这种算法比较抽象，学生不易理解.但它是一种通法，只要按部就班地去做，总会借助计算器（包括图形计算器）或计算机软件算出结果.通过对“二分法”的学习，可为必修3中算法的学习提供一些素材，同时做一些必要的思想铺垫. 同时，通过对二分法的学习，还可以加深对函数思想、数形结合思想的理解.
通过猜1G优盘的价格，学生对二分法有了初步的了解.但是究竟怎样将二分法用于求方程的近似零点，对学生却是一个比较困难的问题，主要有以下问题：
1．如何确定初始区间，才能使二分的次数尽可能少？为了解决这个问题，应该充分利用数形结合的思想方法，确定函数零点的大致位置；此外初始区间的端点应尽可能为整数值，且区间的长度尽可能短.
2．计算到什么程度停止，取决于精确度的要求.为了降低难度，本节课的设计按教材上给出的“精确到”处理，而不是给出“精确度”的精确解释.
3．如何用数学的语言叙述二分法的步骤？为了便于学生理解，本设计采取先用一个具体的例子来引导学生探究，再给出一般理论的做法（教材是先讲二分法的概念、解题步骤，再讲例题，若按这种安排进行教学，学生容易停滞在对“生涩”的二分法步骤的理解，上不利于中等水平的学生的接受）.
教学过程
1.导入新课
教师：问题一:上节课我们学习了函数的零点，请同学们求函数的零点.
学生：有一个变号零点0.
教师：若将函数改为，这个函数有没有零点？若有，有几个，你能求出所有的零点吗？
学生1：函数的图像是由的图像向下平移1个单位得到的，因此函数应该有零点；
学生2：函数在R上是单调递增的，因此函数的零点应该有且只有一个，而且是一个正值.
教师：这个零点是多少呢？
教师：简要介绍有关三次、四次及其他高次方程求解的数学史料（用PPT给出）.
意图：直求函数的零点的形式切入主题，简单明快，承上启下，也符合最近发展区原理；介绍数学史，可以可以丰富学生的知识，提高学生的学习兴趣；上述引入的过程同时复习了函数的图像平移、函数的性质、函数的零点与函数的图像、方程的解之间的关系.
师生：复习（1）方程的根与函数零点的关系；（2）零点存在性定理.
教师：问题二：我手里的4G优盘是最近买的，你能猜出大致价格吗？要求猜的次数不能超过4次.
意图：虽然多数学生都有优盘，但这种设问方式对学生还是很新奇的，借此调动学生的学习积极性，同时让学生对二分法有一个感性认识.
教师：板书：二分法
2.讲授新课
教师：用PPT展示例题：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）
意图：这里不用教材所给函数（），因为该函数可以利用因式分解的方法求出精确解，容易产生干扰，本节课的目标是求函数的“够用的”近似零点.
教师：问题三：对所给函数，怎样能够给出一个较好的包含零点的区间？
学生1：最好能画出函数的图像，可是我不会画；
学生2：既然这个零点是正值，只需确定左端点为0的一个区间，其右端点的函数值与异号即可.
教师：利用几何画板直接做出函数的准确图形，学生观察图象，确信函数的零点只有一个，并且在内.
意图：复习“零点存在性定理”进一步体会数形结合思想在解题过程中的应用.
教师：问题四：如何用二分法求函数的近似零点（即方程的近似解）？
探究1.零点的初始区间的确定
师生共同从所画图象（用几何画板直接画出）上选择一个最优区间，作为初始
区间.
探究2.缩小区间的方法（逼近）:找中点，二分区间.（假如满足精确度要求的近似零点为）
学生：四人一组，三人计算（用计算器），一人记录（每算一次，校对一次），逐步缩小零点的存在区间（计算8次）：
第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：；
第六次：；
第七次：；
第八次：
.
探究3.零点的精确化
教师：比如要求精确到0.1、0.01，结果是多少？算几次即可？
学生1：若要求精确到0.1，则两个端点的近似值都为0.3，取，算5次就够了.
学生2：若要求精确到0.01，则，算8次就够了.
意图：“缩小区间、逼近零点”是二分法的核心环节，是本课的重点内容.因此这个计算过程一定要由学生完成.在计算过程中，学生会发现包含零点的区间越来越短，从而函数的零点也越来越精确，学生的热情越来越高.通过学生思考、探究和互动，反复触碰这个核心，不断深化对二分法的理解；通过精确度的控制，学生能够进一步感受精确与近似的相对统一；同时，在经历解决问题的过程中获得方法，建构新知，为下一步总结二分法的概念及步骤做了很好的铺垫.
教师：问题五：什么是二分法？
学生：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，按照一定的精确度的要求，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二（等分），使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
教师：问题六：用二分法求零点近似值的步骤是什么？
师生：用二分法求函数满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：
(1)确定初始区间，验证·；
(2)求区间的中点；
(3)计算：
①若=，则就是函数的零点，计算终止；
②若·<，则令（此时零点）；
③若·>，则令（此时零点）；
(4)判断区间是否达到精确度.若达到，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）（4），直到区间，使得函数的零点总位于这个区间，并且当和
按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.
意图：学生总结，教师多媒体演示定义及二分法的解题步骤.让学生总结二分法的定义以及求函数零点的步骤，可以帮助学生调理思路，养成独立思考，善于总结的学习习惯，并且学会用数学语言进行数学的表达，这也是本课的一个难点.
对于计算机水平较高的学生，还可以让他们在科学计算软件Scilab的界面上编制并调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似解（后面给出了相应程序）.
3．练习与巩固
（1）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）
选题意图：二分法使用的条件是函数的图像在零点附近连续不断并且零点是变号零点.
（2）求函数的一个正零点的近似值（精确到0.1）.
选题意图：怎样确定初始区间？若取，则二分两次就可得到零点3（满足精确度要求）.
（3）使用计算器或数学软件，用二分法求函数的正零点（精确到0.01）.
选题意图：通过此题，让学生进一步熟悉用二分法求函数零点的步骤.
4.小结
学生甲：本节课主要学习了二分法，以及用二分法求函数的近似零点的方法与步骤.
学生乙：使用二分法求函数的零点近似值，要选好初始区间，控制好精确度，计算一定要准确无误，特别是区间端点函数值符号的判断.
学生丙：本节课还学习了数学中的很多数学思想，即等价转化、函数与方程、数形结合，以及无限逼近等思想.
教师：
思考题：1、举几个二分法在实际生活中的例子；
2、类似于二分法，有没有三分法、四分法，怎么实施？二分法进行对比，孰优孰劣？
设计意图：对二分法的本质及好处增进理解.
教学反思
按新课程教育教学理念的要求，教学过程要倡导积极主动、勇于探索的学习方式.因此本节课在导入新课、讲授新课、练习与巩固的环节都有学生的积极参与，尤其是例题的求解过程，完全由学生相互配合完成，对培养学生动手实践、合作交流的能力起到了积极的作用.
新课程教育教学理念认为，提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一.
因此本设计在整堂课的教学过程中共提出了六个问题，按照学生的认知规律层层深入.在问题的解决过程中，提高了学生的数学思维能力.
新课程教育教学理念还提倡实现信息技术与课程内容的有机整合.本课在保证笔算训练的前提下，让学生使用科学型计算器完成相关计算，并且鼓励有能力的学生使用科学计算软件Scilab进行快速、精确的计算.在教学过程中，教师还充分利用了powerpoint、几何画板等软件提高了教学效率，实现了信息技术与课程内容的有机整合.
由于在上一节课做了铺垫（提前学习了“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点等概念），所及用一课时就能比较顺利地完成本设计的教学任务.
由于部分学生使用计算器进行大量计算的能力还比较差，因此很多组算得较慢.今后的教学中，在学习本课之前应该加强计算器使用的教学，让多数学生比较顺利地完成8次计算，以获得成功的快感.另外，本节课导入新课的环节有些拖沓，导致最后一个练习部分学生没有得到最后的结果，也是今后教学要改进的地方.
本教学设计另附课件（PPT）.
附：用科学计算软件Scilab求函数的一个正实数零点（精确到0.01）的程序及程序框图：
a=input("a=");
b=input("b=");
x1=a;
x2=b;
for i=1:7
t=(x1+x2)/2;
A=(x1)^3+(3*x1)-1;
B=t^3+3*t-1;
if A*B<0 then x1=x1;x2=t;
C=t^3+3*t-1;
else x1=t;x2=x2;
C=t^3+3*t-1;
if C>=0.005 then i=i+1;
else disp("gen shi",t);
end
end
end。