高中数学必修第一册《1-2集合间的基本关系》课时同步训练试题

1-2集合间的基本关系 同步训练
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．（2018·浙江高一课时练习）设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B
B ．B ⊆A
C ．B ∈A
D ．A ＝B
2．（2021·全国）下列命题中，正确的有（ ）
①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆.
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 3．（2018·佛山市第二中学）集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）
A ．4a <
B ．4a >-
C ．1a >-
D ．14a -<≤
4．（2019·华东师范大学第一附属中学）已知集合{}
2430,A x x x x R =-+<∈，(){}
12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1-- C ．[]1,0- D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 5．（2017·浙江）集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≥
B ．4a ≥
C ．5a <
D ．4a < 6．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知{}1,2,3A =，
{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ）
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
二、多选题
7．（2021·江苏）给出下列选项，其中正确的是（ ）
A ．{}{}∅∈∅
B ．{}{}∅⊆∅
C ．{}∅∈∅
D ．∅⫋{}∅ 8．（2021·全国高一专题练习）已知集合{12}A x
x =<<∣，{232}B x a x a =-<<-∣，下列命题正确的是
A ．不存在实数a 使得A
B =
B ．存在实数a 使得A B ⊆
C ．当4a =时，A B ⊆
D ．当04a 时，B A ⊆
E.存在实数a 使得B A ⊆
第II 卷（非选择题）
三、填空题
9．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k
-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.
10．（2021·全国）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 11．（2019·全国高一课时练习）某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．
12．（2021·全国）已知{}{}1,21,2,3,4,5,6,7A ≠
⊆⊂，满足上述条件的集合A 的个数是______．
四、解答题
13．（2021·全国高一课时练习）已知全集
(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .
14．（2017·湖南长沙一中高一期中）已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合
1{|2}2
B x x =-<<. （1）若1a =；求A
C B ；
（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.
15．（2020·黑龙江哈九中高三期末（文））已知()1f x x a x =-++.
（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.
16．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）写出集合P 的所有子集，其中
(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先确定集合A 的特征，据此确定A 与B 的关系即可.
【详解】
由题意可知集合A 中的元素为集合B 的子集，据此可得：B A ∈.
本题选择C 选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，集合与元素的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．C
【分析】
运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；
由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．
【详解】
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.
【点睛】
本题考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质，考查判断能力，属于基础题． 3．A
【分析】
据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围．
【详解】
{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，
∵A B ⋂≠∅，
∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题.
4．B
【分析】
首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，
求a 的取值范围.
【详解】
{}13A x x =<<，
A B ⊆，
即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立，
即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立，
即()1min 2x a -≤- ，()1,3x ∈
而12x y -=-是增函数，
当1x =时，函数取得最小值1-，
1a ∴≤-
且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，
()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩
，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.
故选B
【点睛】
本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化
为根的分布问题，列不等式组求解.
5．A
【解析】
因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，
则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=．
6．A
【分析】
由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集.
【详解】
由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6， 又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4，
当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =，
其子集个数为5232=个，所以真子集31个.
故选：A
【点睛】
此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.
7．BCD
【分析】
利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断
【详解】
对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.
故答案为：BCD .
8．AE
【分析】
利用集合相等判断A 选项错误，由A B ⊆建立不等式组，根据是否有解判断B 选项； 4a =时求出B ，判断是否A B ⊆可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D
选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.
【详解】
A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩
解得2a =且4a =，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；
B 选项由A B ⊆，得23122a a -≤⎧⎨-≥⎩即24a a ≤⎧⎨≥⎩
，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当4a =时，得{52}B x
x =<<∣为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误； D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需
满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩
解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误；
E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确.
综上AE 选项正确.
故选：AE.
【点睛】
本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.
9．16
【分析】
先求出集合M 它非空子集A 的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．
【详解】
因为{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A 共有15个， 分别是{}{}{}{}123412{},
,,,，, 1,31,42,32,43,41,2,31,2,4{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,42,3,41,2,34,,,,,,,,,,其中数字1,2,3,4都出现了8
次． 依题意得：()()()()123481121314116⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦
. 故答案为：16.
【点睛】
本题主要考查了集合的非空真子集的概念，理解本题中的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题.
10．2≤a ≤4
【分析】
根据集合A 解出a ﹣1＜x ＜a +1，利用包含关系求解参数范围.
【详解】
由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，
由A 是B 的真子集，得1115
a a ->⎧⎨+<⎩ ，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．
故答案为：2≤a ≤4
11．0
【分析】
根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.
【详解】
解：∵集合既可以表示成{b ，b a
，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1} ∴a ＋b 一定等于0
在后一种表示的集合中有一个元素是1
只能是b .
∴b ＝1，a ＝－1
∴a 2015＋b 2015＝0.
【点睛】
本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 12．31
【分析】
集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集，则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致，求出集合{}3,4,5,6,7的真子集个数，即可得出答案.
【详解】
由题意可知，集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集 则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致
则满足上述条件的集合A 的个数为52131-=
故答案为：31
【点睛】
本题主要考查了集合的包含关系，求集合的真子集个数，属于中档题.
13．{0,2,4,6,8,9,10}
【分析】
计算{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，根据(){1,3,5,7}U A B ⋂=计算得到答案.
【详解】
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，(){1,3,5,7}U A B ⋂=，
{1,3,5,7}U B ∴=.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==.
【点睛】
本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.
14．（1）1{|12
A C
B x x =-<≤-或2}x =；（2）(,4)[2,)-∞-+∞ 【解析】
试题分析：（1）1a =时求出集合A ，根据补集的定义写出A B ；（2）A B A ⋂=得A B ⊆，A 中不等式解集分三种情况讨论：0a =、0a <和0a >时，求出对应集合A ，根据A B ⊆求出a 的取值范围.
试题解析：（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12
A C
B x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：
①0a =，则,A R A B =⊆不成立；
②0a <，则21{|}A x x a a =≤<-，由A B ⊆得12,12,2a a
⎧-≤⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩得4a <-；
③0a >，则12{|}A x x a a =-≤<，由A B ⊆得11,222,a a
⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得2a ≥. 综上所述：a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞.
点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为0,0,0a a a =><三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.
15．（1）[]1,0-（2）(),0-∞
【分析】
（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；
（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；
【详解】
解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，
2x a ∴-< ，
22a x a ∴-+<<+，
由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩
， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.
（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，
当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，
所以()f x 的最小值为1a +.
故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，
所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩
，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 16．{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，
{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
【分析】
依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集.
【详解】
由题(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，
所有子集分为：
没有元素：∅；
一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)；
两个元素：
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}；
三个元素：
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；
四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
所以，所有子集为：
{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，
{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，
{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，
{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
【点睛】
此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，
根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.
答案第9页，总9页。