高中数学：2.3等差数列的前n项和公式(2)

2.3 等差数列的前n 项和公式(2) 课前预习 ● 温故知新 学前温习
1.等差数列的前n 项和公式
设等差数列{n a }的公差为d ，其前n 项和Sn= 或Sn= .
2.等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系 新课感知
1.在等差数列{n a }中，若1a ＞0，d ＜0，则Sn 是否存在最大值？若存在，如何求？
2. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：12186126,,S S S S S --也成等差数列。

由此推广，你能得到什么结论？ 课堂学习 ● 互动探究 知识精讲
1.等差数列的前n 项和有如下的性质．
(1)若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也为等差数列．
(2)等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬
⎫S n n 仍为等差数列．
(3)等差数列{a n }中，若S m ＝S p (m≠p)，则S m ＋p ＝0. (4)在等差数列{a n }中，
①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝n(a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n
a n ＋1.
②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n
n －1. (5)若数列{n a }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则a n b n ＝n n --21
21
S T
.
2.求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)利用二次函数的最值特征求解．
S n ＝n 1a ＋
n
n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n
＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a 1d 2－d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－a 1d 2
.
由二次函数的对称性及n∈N *
知，当n 取最接近12－a 1d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，
值得注意的是最接近12－a 1
d 的正整数有时有1个，有时有2个． (2)根据项的正负来定．
若1a >0，d<0，则数列前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 若1a <0，d>0，则数列前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 课堂点拨
1、在等差数列{ a n }中， 125a =，179s s =，求n s 的最大值．
解析：方法一：由S 17＝S 9，得
25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋9
2(9－1)d ， 解得d ＝－2，
∴S n ＝25n ＋n
2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， 由二次函数性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：先求出d ＝－2(同方法一)， ∵a 1＝25>0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ＝25－2n －1≥0
a n ＋1＝25－2n<0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
n≤1312n>1212
.
∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三：先求出d ＝－2(同方法一)，
1,..S S a a a a a a a a a a a a a d a a a ⋯<>∴><1791011171017111612151314131413140020000Q ，由＝得＋＋＋＝， 而＋＝＋＝＋＝ ＋故＋＝＝－，
，，
故n ＝13时，Sn 有最大值169.
方法四：先求出d ＝－2(同方法一)得S n 的图象如图所示，
由S 17＝S 9知图象对称轴n ＝9＋17
2＝13， ∴当n ＝13时，取得最大值169.
【点拨】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
（3）利用等差数列的前n 项和Sn=An 2+Bn （A 、B 为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.
2、已知数列{n a }为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27，求这个数列的通项公式．
解析：方法一：由等差数列的性质可知奇数项a 1，a 3，a 5，…，a 11与偶数项a 2，a 4，a 6，…，a 12仍然成等差数列，
设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 S 偶＝a 2×6＋6×5
2×2d＝6a 1＋36d ， S 奇＝a 1×6＋6×5
2×2d＝6a 1＋30d ， ⎩⎪⎨⎪
⎧
12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d ＝3227，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
d ＝5.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.
方法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
S 偶＋S 奇＝354，S 偶S 奇＝3227，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
S 偶＝192，S 奇＝162，
∴d＝192－1626
＝5， 又∵S 奇＝a 1＋a 11×62＝3(2a 1＋10d)＝162， ∴a 1＝2，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.
【点拨】等差数列{n a }中，a 1，a 3，a 5，…是首项为a 1，公差为2d 的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是首项为a 2，公差为2d 的等差数列．当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，方法2中运用到了这些，利用等差数列前n 项和公式列方程组求解或根据等差数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等差数列求解．
3、两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，求a n b n . 解析： 方法一：设a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1＋(n －1)e. 取n ＝1，则a 1b 1＝S 1T 1＝1
2，所以b 1＝2a 1.
所以S n T n ＝na 1＋n n －12d nb 1＋n n －12e ＝a 1＋n －12d b 1＋n －12e ＝a 1＋n 2d －d
22a 1＋n 2e －e 2＝2n
3n ＋1，
故en 2
＋(4a 1－e)n ＝32dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1－32d ＋d 2n ＋a 1－d 2.
从而⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1－d
2＝0，
4a 1
－e ＝3a 1
－d ，
e ＝32d.
即⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝2a 1，
e ＝3a 1.
所以a n b n ＝2n －1
3n －1.
方法二：设S n ＝an 2
＋bn ，T n ＝pn 2
＋qn(a ，b ，p ，q 为常数)， 则S n T n ＝an ＋b pn ＋q ＝2n
3n ＋1，所以3an 2＋(3b ＋a)n ＋b ＝2pn 2＋2qn ，
从而⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ＝2p ，3b ＋a ＝2q ，
b ＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2q ，
b ＝0，p ＝3q ，
所以S n ＝2qn 2，T n ＝3qn 2
＋qn.
当n ＝1时，a 1b 1＝S 1T 1＝12；当n≥2时，a n b n ＝S n －S n －1T n －T n －1＝2n －1
3n －1
方法三：1212112121
()
22()22
n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T ----+===
+
2(21)21=.3(21)131
n n n n --=-+- 【点拨】由S n T n ＝7n ＋2
n ＋3，设S n 与T n 时，如果设成S n ＝(7n ＋2)k ，T n ＝(n ＋3)k 则错误．从此 的性质方向讲是正确的．但要考虑到等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数，所以应设为S n ＝(7n ＋2)kn ，T n ＝(n ＋3)kn. , 当堂达标
1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a Λ， 则99963a a a a ++++Λ的值为 （ ） A. 78 B. 82 C. 148 D. 182
3. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=12
6
S S ( ) （A ）
103 （B ） 31 （C ）8 （D ）9
1
4. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，
*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100
5.等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 8
8＝2，则S 11＝( )
A ．－11
B ． 11
C ．10
D 。

－10
6. 等差数列{}n a 中，4,184==S S ，则=+++20191817a a a a 。

7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 8、.已知等差数列{n a }中，1a ＝－3,115a ＝58a －13， (1)求公差d 的值；
(2)求数列{n a }的前n 项和S n 的最小值．
9.等差数列{a n }的奇数项的和为51，偶数项的和为421
2，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式．
10. 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
学后复习●自主测评 感悟●探究（六）（时间30分钟 ）
1． 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24
2．等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42
3. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n 为整数的正整数n 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，45627a a a ++=，则789a a a ++= （ ） A ．36 B ．45 C ．63 D ．81
5. 设S n 是等差数列{a n } (n∈N*)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________ 6．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，Tn 为数列{n
S n
}前n 项和，求Tn ．
7. 设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值
8.在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？
9.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令bn=21
1
n a -(n ∈N*)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
2.3 等差数列的前n 项和公式
第二课时 等差数列的前n 项和公式的性质与最值 当堂达标
1、A
2、 D
3、 A
4、C
5、A
6、9
7、67
66
8、解析：(1)由11a 5＝5a 8－13得11(a 1＋4d)＝5(a 1＋7d)－13 ∵a 1＝－3，∴d ＝5
9
.
(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×5
9
令a n ≤0得n≤32
5
∴a 1<a 2<…<a 6<0<a 7<…. ∴S n 的最小值为
S 6＝61a ＋6×52d ＝6×(－3)＋15×59＝－29
3
.
9、解析： 设等差数列{a n }的项数为2k ＋1，则数列的中间项为a k ＋1，偶数项有k 项，奇数
项有k ＋1项，于是
S 奇＝1
2(k ＋1)(a 1＋a 2k ＋1)＝(k ＋1)a k ＋1＝51，①
S 偶＝12k(a 2＋a 2k )＝ka k ＋1＝421
2，②
∴数列共有11项．
将k ＝5代入①，得a 6＝516＝172
.
又a 1＋a 11＝2a 6，∴a 11＝2a 6－a 1＝2×17
2－1＝16，
(或a 1＋5d ＝172，1＋5d ＝172，d ＝3
2.因此末项a 11＝16)
通项公式a n ＝1＋(n －1)d ＝
3n －12
(n ∈N *
，n≥1)． ①÷②，得k ＋1k ＝51
421
2
，解得k ＝5，
10、解析： 方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n
n －1
2
d. 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
10a 1＋10×92
d ＝100 ①100a 1
＋100×99
2
d ＝10 ②
①×10－②，整理得d ＝－11
50
.
代入①，得a 1＝1 099
100，
∴S 110＝110a 1＋110×109
2 d
＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1150
＝110×⎝
⎛⎭
⎪⎫1 099－109×11100
＝－110，
方法二：设S n ＝an 2
＋bn ，∵S 10＝100，S 100＝10，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
102
a ＋10
b ＝1001002
a ＋100
b ＝10
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－11
100b ＝111
10
，
∴S n ＝－11100n 2＋111
10
n ，
∴S 110＝－11100×1102
＋11110
×110＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
方法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为D ，前10项的和
10S 10＋10×9
2
·D＝S 100＝10⇒D ＝－22，
∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.
方法四：∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝
90a 11＋a 1002
＝
90
a 1＋a 110
2
.
又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2， ∴S 110＝
110
a 1＋a 110
2
＝－110.
方法五：设数列{a n }的公差为d.
由于S n ＝na 1＋n n －12d ，则S n n ＝a 1＋d
2
(n －1)．
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等差数列，公差为d
2.
∴
S 100100－S 1010＝(100－10)d 2，且S 110110－S 100100＝(110－100)d
2
， 将已知数值代入上式，消去d ，可得S 110＝－110. 感悟●探究（六）
1、 选B 解析: 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.
2、选C 解析： (1)S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，即2,8，S 6－10成等差数列，S 6＝24.
3、选 D 解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12()a 1＋a 2n －112
()b 1＋b 2n －1＝12()2n －1()a 1＋a 2n －112
()2n －1()b 1＋b 2n －1 ＝A 2n －1B 2n －1＝7()2n －1＋45()2n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1
()n ∈N *， 故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n
为整数．故选D. 4、选 B 解析：依题意，123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++构成等差数列，所以789a a a ++=9+2×18=45，选择B
5、★答案★25 解析： 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 4＝7，所以a 4＝a 1＋3d ⇒d ＝2， 故S 5＝5a 1＋10d ＝25.
6、解析：设{a n }首项为a 1公差为d ，由
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⨯+==⨯+=7521415157267711517d a S d a S ⇒⎩⎨⎧=-=121d a ∴ S n ＝n n 25212-
2521--=n n S n ∴311-=S ∴T n ＝n n 4
11412-- 7、解析：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，d ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n.
(2)由(1)知S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，
所以n ＝5时，S n 取得最大值．
8、解析： ∵S 偶项－S 奇项=nd
∴nd=90－75=15
又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27
nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩
9、解析 ：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，
所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以bn=211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，
所以n T =111111(1-+++-)4
223n n+1⋅-L =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n
4(n+1)。