概率论与数理统计、王琼,阮宏顺主编,习题集答案 第三章-第八章复习题含答案

第四章 随机变量的数字特征

1. 设随机变量X ~N(1，4)，Y ~N(0，16)，X ，Y 相互独立，则U ＝X-Y+7服从（ D ）分布. A N(8，23) B N(8，65)

C N(1，20)

D N(8，20)

2.设有两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布：

{1}{1}1/2,P X Y =-==-={1}{1}1/2,P X Y ====则下列各式成立的是 （ A ）

（A ）{}1/2==P X Y (B) {}1==P X Y (C) {0}1/4+==P X Y (D) {0}1/4==P XY 3. 若X 服从[-1,1]上的均匀分布，则期望EX= 0 DX=

1

3

.若X 服从B (12,0.3)，则期望EX= 3.6 DX= 2.52 . 若X 服从)(λP ，则期望EX=λDX=λ. 若X 服从)(λE ，则期望EX=1λDX=21

λ

.

已知X ～B(n ，p ）,则EX= np .

4. 已知X ～B(n ，p ）,且EX=5，DX=2.5，则p= 0.5 .

5. (2012cczu)5分设随机变量,X Y 的数学期望分别是-2,1,方差分别是1,4,两者相关系数是0.5ρ=-,

则由切比雪夫不等式估计(2)()4()4(,)

(26)3636

D X Y D X D Y Cov X Y P X

Y ++++≥≤

=

()4()414440.51413363636

XY D X D Y DX DY ρ+++⨯-⨯=

==

.

6.盒中有3只黑球,2只红球,从中任取2只,若所取的2只中没有黑球,那么在剩下的球中再取1个球.以X 表

示所取得的黑球数,以Y 表示所取得的红球数.求(X,Y)的联合分布列 与边缘分布列,并判断X 与Y 的独立性，为什么？ 解：

Y X \

0 1 2 }{i x X P = 1 0

5

3

101 107 2

10

3 0

10

3 }

{j

y Y P = 10

3 5

3 10

1

因}{}{}{010,1==≠==Y P X P Y X P

,所以Y X ,不独立.

7. 将两封信随意地投入3个空邮筒，设X 、Y 分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求(1)X 与Y 的联合概率分布。(2)求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率. (3)求其边缘分布 解：(1)(3)

Y X \

0 1 2 }{i x X P = 0 9

1

9

2 91 9

4 1 92 9

2 0 9

4

2

9

1 0

9

1 }

{j y Y P = 94 94 9

1

(2)P=5/9.

8．袋中装有标有1，1，2，3的四个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以ηξ,分别记为第一，第二次取到的球上的号码数，求（1）),(ηξ的联合分布律（2）ηξ+的分布律（3）η

ξ-

的分布律 解：

ηξ\

1 2 3

1 61 6

1

61 2 61 0

12

1 3 6

1

12

1 0

(2)

ηξ+

2

3

4 5

P

6

1

3

1 3

1 6

1

(3)

ηξ-

-2

-1

1

2

P

6

1 4

1

6

1

4

1

6

1

9.设二维随机变量)(Y X ，的联合密度函数为 0101

()0Cxy x y f x y ≤≤≤≤=⎧⎨⎩，，，，

其它

，求(1) 常数C ，

(2)}1{<+Y X P ，(3)}{Y X P >. 解：(1)因

1),(=⎰⎰

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ，即1101

=⎰

⎰dxdy cxy ，解得.4=c

（2）}{6

1

411

1

==<+⎰

⎰

+-xydy dx Y X P x .（3）}{2

1410

=

=

>⎰

⎰xydy dx Y X P x

. 10.

设(,)~(,)(arctan )(arctan

)23

x y

X Y F x y A B C =++；①.求常数C

B A ,,②求

(,),(),()X Y f x y f x f y ③X

与Y 是否相互独立？

解：（1）见课本p60（2）联合密度函数),(y x f 求解过程见课本

边缘分布函数为

)2arctan 2(1)22)(2arctan 2

(1),()(2

x

x x F x F X +=++=

+∞=ππππππ )3arctan 2(1)3arctan 2)(22(1),()(2y

y y F y F Y +=++=+∞=ππππππ

边缘密度函数为

)

4(2

)()(2

+='=x x F x f X

X π)

9(3

)()(2

+=

'=y y F y f Y Y π

（3）因为)()()

,(y F x F y x F Y X =（或)()(),(y f x f y x f Y X =）

，所以Y X ,相互独立.