2012高考理科数学全国卷1试题及答案

2012高考理科数学全国卷1试题及答案
2012高考理科数学全国卷1试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、 选择题
（1）复数131i i
-+=+ （A ）
2i
+ （B ）
2i
-
（C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{}
A m =，{1,}
B m =，A
B A
=，则m =
（A ）0或
3
（B ）0或3
（C ）13 （D ）1或3
（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为
4
x =-，则该椭圆的方程为 （A ）
22
11612
x y += （B ）
22
1128
x y += （C ）
22
184
x y += （D ）
22
1124
x y +=
（4）已知正四棱柱11
1
1
ABCD A B C D -中 ，2AB =，1
22CC =E
为1
CC 的中点，则直线1
AC 与平面BED 的距离为
（A ）2 （B ）
3
（C 2 （D ）1
（5）已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，
5
5
a =，
5
15
S =，
则数列1
1
{}n n a a
+的前100项和为 （A ）
100
101
（B ）
99101
（C ）99100 （D ）101
100
（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，
若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1
a =，||2
b =，则AD =
（A ）1133a b - （B ）22
33
a b - （C ）3355a b - （D ）44
55
a b - （7）已知α为第二象限角，3
sin cos 3
αα+=
，则cos2α=
（A ）53- （B ）59- （C ）5
9
（D ）
53
（8）已知1
F 、2
F 为双曲线2
2:2
C x
y -=的左、右焦点，
点P 在C 上，1
2
||2||PF PF =，则1
2
cos F PF ∠=
（A ）
14
（B ）3
5
（C ）34 （D ）4
5
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试．题卷上作答无效
．．．．．．．。

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二。

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）
（13）若,x y满足约束条件
10
30
330
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，则3
z x y
=-的
最小值为__________。

（14）当函数sin3(02)
y x x xπ
=≤<取得最大值时，x=___________。

（15）若1
()n
x
x
+的展开式中第3项与第7项的二项式
系数相等，则该展开式中2
1x 的系数为_________。

（16）三棱柱11
1
ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都
相等，1
1
60BAA CAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1
BC 所成角
的余弦值为____________。

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上．．．．．．．作答无效．．．．
） ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD
为菱形，PA ⊥底面ABCD ，22AC =2PA =，
E
是PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）设二面角A PB C --为90，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

E
B
D
A
P
（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷
．．．．
上作答无效
．．．．．）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分
为1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求
ξ的期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷
．．．．
上作答无效
．．．．．）
设函数()cos
xπ
∈。

=+，[0,]
f x ax x
（Ⅰ）讨论()
f x的单调性；
（Ⅱ）设()1sin
f x x
≤+，求a的取值范围。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上
．．．．
作答无效．．．．
） 已知抛物线2
:(1)C y x =+与圆2
221
:(1)
()(0)
2
M x y r r -+-=>有
一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l .
（Ⅰ）求r ；
（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试卷上．．．．作答无效．．．．） 函数2
()23
f x x x =--，定义数列{}n
x 如下：1
2
x
=，1
n x +是
过两点(4,5)P 、(,())n
n
n
Q x f x 的直线n
PQ 与x 轴交点的横坐
标。

（Ⅰ）证明：123
n
n x
x +≤<<；
（Ⅱ）求数列{}n
x 的通项公式。