人教高中数学必修一A版《充分条件与必要条件》集合与常用逻辑用语说课教学课件复习

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第一章 集合与常用逻辑用语
[提醒] 不能将“若 p，则 q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若 p，则 q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若 p，则 q”为真命题．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．充要条件 如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题， 即既有__p_⇒__q__，又有__q_⇒__p___，就记作__p_⇔__q___．此时，p 既 是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的 __充__分__必__要____条件，简称为充要条件．
＝－1，则由 x>－1，不一定推出 x>|－1|，即充分性不成立，则
“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选 B.
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．“x<2”是“x－1 2<0”的(
)
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.由x－1 2<0 得 x－2<0 得 x<2，即“x<2”是“x－1 2<0”
栏目 导引Leabharlann 第一章 集合与常用逻辑用语
充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若 p⇒q，q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 p⇒/ q，q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件； 若 p⇒/ q，q⇒/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
所以11－＋mm≤>1－0 2或11－ ＋mm<≥－102.， 解不等式组得 m>9 或 m≥9， 所以 m≥9， 即实数 m 的取值范围是 m≥9.
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．(变问法)本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充 要条件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由． 解：因为 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 若 p 是 q 的充要条件，则－ 10＝2＝1＋1－mm，无解， 所以 m 不存在． 故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
所以方程的两根异号． 即方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证 ac<0) 因为方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根，设为 x1，x2，则 由根与系数的关系得 x1x2＝ac<0，即 ac<0. 综上可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的 充要条件是 ac＜0.
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 (1)因为 x＝1 或 x＝2⇒x－1＝ x－1，x－1＝ x－1⇒x ＝1 或 x＝2，所以 p 是 q 的充要条件． (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即 p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定 是正方形，即 q⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
(3)对充分条件和必要条件的进一步划分：
条件 p 与结论 q 的关系
结论
p⇒q，且 q⇒/ p
p 是 q 的充分不必要条件
q⇒p，且 p⇒/ q
p 是 q 的必要不充分条件
p⇒q，且 q⇒p，即 p⇔q
p 是 q 的充要条件
p ⇒/ q，且 q ⇒/ p
p 是 q 的既不充分也不必要条件
若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．(2019·潮州期末)已知条件 p：－1<x<1，条件 q：x≥－2，
则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.依题意可知 p⇒q 成立，反之不成立．即 p 是 q 的充
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第一章 集合与常用逻辑用语
设 p：x＜3，q：－1＜x＜3，则 p 是 q 成立的( ) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.因为x|－1<x<3 {x|x<3}，所以 p 是 q 成立的必要 不充分条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
“ac＝bc”是“a＝b”的________条件． 解析：若 ac＝bc，当 c＝0 时不一定有 a＝b；反之若 a＝b，则 有 ac＝bc 成立．故 ac＝bc 是 a＝b 的必要不充分条件． 答案：必要不充分
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第一章 集合与常用逻辑用语
充分、必要、充要条件的判断 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要 不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1； (2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p：xy>0，q：x>0，y>0. (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
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第一章 集合与常用逻辑用语
设 p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，
则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 A.若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直， 即 p⇒q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一 定是菱形，故 q⇒/ p，所以 p 是 q 的充分不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．若 p：x2＋x－6＝0 是 q：ax＋1＝0 的必要不充分条件，则
实数 a 的值为________． 解析：p：x2＋x－6＝0，即 x＝2 或 x＝－3.
q：ax＋1＝0，当 a＝0 时，方程无解；当 a≠0 时，x＝－1a.
由题意知 p⇒/ q，q⇒p，故 a＝0 舍去；当 a≠0 时，应有－1a＝
第一章 集合与常用逻辑用语
问题导学 预习教材 P17－P22，并思考以下问题： 1．什么是充分条件？ 2．什么是必要条件？ 3．什么是充要条件？
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若 p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系
P__⇒__q
p_⇒_/__ q
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第一章 集合与常用逻辑用语
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．( √ ) (2)q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) (3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命 题．( √ ) (4)q 不是 p 的必要条件时，“p⇒/ q”成立．( √ )
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第一章 集合与常用逻辑用语
(3)因为 xy>0 时，x>0，y>0 或 x<0，y<0. 故 p⇒/ q，但 q⇒p. 所以 p 是 q 的必要不充分条件．
四边形的对角线相等⇒/ 四边形是 平行四边形， (4)因为四边形是平行四边形⇒/ 四边形 的对角线相等， 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1.4 充分条件与必要条件
课件
第一章 集合与常用逻辑用语
考点 充分条件、必要
条件的概念
充分条件、必要 条件的判断
充分条件、必要 条件的应用
学习目标 理解充分条件、必要条 件、充要条件的概念 结合具体命题掌握判 断充分条件、必要条 件、充要条件的方法
掌握证明充要 条件的一般方法
核心素养 数学抽象 逻辑推理 逻辑推理
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．(变条件)若本例中“p 是 q 的必要不充分条件”改为“p 是 q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B， 所以 A B.
的充要条件，故选 A.
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第一章 集合与常用逻辑用语
充分条件、必要条件、充要条件的应用 已知 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)． 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m} {x|－2≤x≤10}， 故有11－＋mm≥＜－102或11－ ＋mm＞ ≤－ 102， 解得 m≤3.又 m＞0， 所以实数 m 的取值范围为{m|0＜m≤3}．
设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 D.若 a＋b>0，取 a＝3，b＝－2，则 ab>0 不成立；反 之，若 ab>0，取 a＝－2，b＝－3，则 a＋b>0 也不成立，因此 “a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
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第一章 集合与常用逻辑用语
由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1．已知 p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若 q 是 p 的充 分条件，则 a 的取值范围为________． 解析：化简 p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3， 由于 q 是 p 的充分条件， 故有aa－＋44≤≥23，，解得－1≤a≤6. 答案：－1≤a≤6
条件关系
p 是 q 的__充__分___条件 q 是 p 的__必__要___条件
p 不是 q 的_充__分___条件 q 不是 p 的__必__要__条件
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■名师点拨
第一章 集合与常用逻辑用语
对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释
(1)“若 p，则 q”形式的命题为真命题．
(2)由条件 p 可以得到结论 q.
分不必要条件，故选 A.
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．(2019·金华期末)“x>a”是“x>|a|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B.若 a≥0，由 x>|a|得 x>a，若 a<0，则由 x>|a|得 x>
－a，此时 x>－a>a 成立，即必要性成立，当 a<0 时，不妨设 a
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)集合法 对于集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}，具体情 况如下： 若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；
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第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)p 是 q 的充要条件意味着“p 成立，则 q 一定成立；p 不成立， 则 q 一定不成立”． (2)要判断 p 是不是 q 的充要条件，需要进行两次判断：一是看 p 能否推出 q，二是看 q 能否推出 p.若 p 能推出 q，q 也能推出 p，就可以说 p 是 q 的充要条件，否则，就不能说 p 是 q 的充要 条件．
(3)p 是 q 的充分条件或 q 的充分条件是 p.
(4)只要有条件 p，就一定有结论 q，即 p 对于 q 是充分的．
(5)q 是 p 的必要条件或 p 的必要条件是 q.
(6)为得到结论 q，具备条件 p 就可以推出．
显然，“p 是 q 的充分条件”与“q 是 p 的必要条件”表述的是
同一个逻辑关系，即 p⇒q，只是说法不同．
2 或－1a＝－3，解得 a＝－12或 a＝13.
综上可知，a＝－12或 a＝13. 答案：－12或13
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第一章 集合与常用逻辑用语
充要条件的证明 求证：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根 的充要条件是 ac<0. 【证明】 充分性：(由 ac<0 推证方程有一正根和一负根) 因为 ac<0， 所以一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac>0， 所以方程一定有两个不等实根． 设两根为 x1，x2，则 x1x2＝ac<0，