2018年全国3卷 理科数学 答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷3）
参考答案
一、选择题 1．答案：C
解答：∵，，∴.故选C.
2．答案：D
解答：，选D. 3．答案：A
解答：根据题意，A 选项符号题意. 4．答案：B
解答：.故选B. 5．答案：C 解答：，当时，，此时系数.故选C. 6．答案：A
解答：由直线得，∴
的圆心为，∴圆心到直线
到直线的距离的取值范围为
. 7．答案：D
解答：当时，，可以排除A 、B 选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，.结合图象，可知D 选项正确. 8．答案：B
解答：由，∴
，∴，解之得
，由，有.
{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥{0,1,2}B ={1,2}A B =2
(1
)(2)23i i
i i i +-=+-=+2
27
cos 212sin 199
αα=-=-=251035
52()()2r
r
r r r r C x C
x x
--=⋅⋅
2r =1034r -=22552240r r C C ==
20x y ++=(2,0),(0,
2)A B --||AB =2
2
(2)2x y -+=(2,0)20x y ++==P 20x y ++=d ≤≤+d ≤≤1
||[2,6]2
ABP S AB d ∆=
⋅∈0x =2y =3
424(y x x x x x '=-+=-+
-()0f x '>(,-∞U ()f x (,-∞()0f x '<()22-
+∞U ()f x (2-(,)2
+∞~(10,)X B p 10(1) 2.4DX p p =-=2
1010 2.40p p -+=120.4,0.6p p ==(4)(6)P X P X =<=0.6p =
9．答案：C 解答：，又，故，∴.
故选C.
10．答案：B
解答：如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由
，得，取的中点，∴
，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体
积最大值
.
11．答案：C
解答：∵，，∴ ；
又因为，所以
； 在中，； ∵在中，，
.
12．答案：B
解答：
∵，，
2222cos 1cos 442ABC a b c ab C S ab C ∆+-===1sin 2ABC S ab C ∆=tan 1C =4
C π=ABC ∆O
A B C D G ABC ∆ABC S ∆=6AB =BC H sin 60AH AB =⋅︒=2
3
AG AH =
=O ABC 2d =
=D ABC -1
(24)3
D ABC V -=⨯+=2||PF b =2||OF c =||PO a =1|||PF OP 1||6PF a =2Rt POF ∆22||cos ||PF b
OF c
θ=
=12Rt PF F ∆2222121212||||||cos 2||||PF F F PF b
PF F F c
θ+-==⋅⋅222222224644633b
b c a b c a c a c =⇒+-=⇒-=-223c a ⇒=e ⇒=0.2log 0.3a =2log 0.3b =
∴，， ∴，∴即， 又∵，，∴，故选B.
二、填空题 13．答案：
解答：，∵，∴，解得. 14．答案：
解答：，则， 所以. 15．答案：
解答：由，
有，
解得，由得可取，∴在上有个零点.
16．答案：
解答：依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设，，则，，∴，
.又
，
，∴
，∴.
三、解答题
17．答案：（1）或；（2）.
解答：（1）设数列的公比为，∴，∴. ∴或.
（2）由（1）知，或， 0.31log 0.2a =0.31
log 2b =0.311log 0.4a b +=1101a b <+<01a b ab +<<0a >0b <0ab a b <+<12
2(4,2)a b +=//(2)c a b +1240λ⨯-⨯=12
λ=3-(1)x
x
y ae ax e =+(0)12f a '=+=-3a =-3()cos(3)06
f x x π
=+
=3()6
2x k k Z π
π
π+=+
∈39k x ππ=+039
k π
ππ≤+≤k 0,1,2()cos(3)6
f x x π
=+[0,]π32C (1,0)F :(1)AB y k x =-2(1),
4,
y k x y x =-⎧⎨=⎩y
2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=11(,)A x y 22(,)B x y 2122
24
k x x k
++=121x x =12124()2y y k x x k k
+=+-=
2121212[()1]4
y y k x x x x =-++=-11(1,1)MA x y =+-22(1,1)MB x y =+-1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+++--12121212()1()1x x x x y y y y =++++-++22244
11410k k k
+=++--+=2k =12n n a -=1
(2)n n a -=-6{}n a q 2
5
3
4a q a =
=2q =±12n n a -=1
(2)n n a -=-122112n n
n S -=
=--1(2)1[1(2)]123
n n n S +-==--+
∴或（舍），
∴. 18．
解答：（1）第一种生产方式的平均数为
，第二种生产方式平均数为，∴
，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.
（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为
（3），∴有
的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．
解答：（1）∵正方形半圆面，
∴半圆面，∴平面.
∵在平面内，∴，又∵是半圆弧上异于的点，∴.又∵，∴平面，∵在平面内，∴平面平面.
（2）如图建立坐标系：
∵面积恒定，
∴，最大.
，，，，,
设面的法向量为，设面的法向量为，
，，
，，
， 同理，，
2163m
m S =-=1
[1(2)]633
m m S =--=6m =184x =274.7x =12x x >80m
=22
2
()40(151555)10 6.635
()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯99%ABCD ⊥CMD AD ⊥CMD AD ⊥MCD CM MCD AD CM ⊥M CD ,C D CM MD ⊥AD DM D =I CM ⊥ADM CM BCM BCM ⊥ADM ABC S ∆MO CD ⊥M ABC V -(0,0,1)M (2,1,0)A -(2,1,0)B (0,1,0)C (0,1,0)D -MAB 111(,,)m x y z =u r MCD 222(,,)n x y z =r
(2,1,1)MA =--(2,1,1)MB =-(0,1,1)MC =-(0,1,1)MD =--11111120
(1,0,2)20
x y z m x y z --=⎧⇒=⎨
+-=⎩(1,0,0)n =
∴，∴ .
20．
解答：（1）设直线方程为，设,,
联立消得， 则，
得…①，
且，， ∵，∴ 且.
且…②.
由①②得， ∴或. ∵，∴ .
（2），,
∵，，∴的坐标为.
由于在椭圆上，∴ ，∴，，
cos 5θ=
=
sin θ
=l y kx t =+11(,)A x y 22(,)B x y 2214
3y kx t
x y
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 222(43)84120k x ktx t +++-=2222
644(412)(34)0k t t k ∆=--+>22
43k t +>1228234kt x x k -+=
=+1212
2
6()2234t
y y k x x t m k +=++==+0m >0t >0k <2
344k t k
+=-22
2
2
(34)4316k k k
++>12k >
12
k <-0k <1
2
k <-0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r 20FP FM +=uu r uuu r r (1,)M m (1,0)F P (1,2)m -P 214143m +
=3
4
m =3(1,)2M -
又，， 两式相减可得
，
又，，∴， 直线方程为， 即， ∴， 消去得，，
，
,
∴. ∴
，，成等差数列，
.∴. 21． 解答：（1）若时，，
∴. 令， ∴. ∴当时，，在上单调递增，
2211143x y +=22
22
143
x y +
=12
121212
34y y x x
x x y y -+=-⋅-+122x x +=123
2
y
y +=1k =-l 3
(1)4
y x -=--74
y x =-+
22
7414
3y x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2
285610x x -+=1,2x =
||||3FA FB +==uu r uu r
3||2
FP ==uu r ||||2||FA FB FP +=FA FP FB 12122||||||||||c c c
d FA FB a x a x x x a a a
=-=-
-+=±-===28
d =±0a =()(2)ln(1)2(1)f x x x x x =++->-1()ln(1)(2)21f x x x x '=+++-+1
ln(1)11
x x =++-+1
()ln(1)11
h x x x =++-+22
11()1(1)(1)x h x x x x '=
-=+++0x >()0h x '>()h x (0,)+∞
当时，，在上单调递减. ∴， ∴恒成立，
∴在上单调递增， 又，
∴当时，；当时，.
（2）， ，
， ， .
设，
∴，，， ∴在邻域内，时，，时，.
时，，由洛必达法则得， 时，，由洛必达法则得， 综上所述，. 22． 解答：
（1）
的参数方程为，∴的普通方程为，当时，直线：
与有两个交点，当时，设直线的方程为，由直线与有两个交点有
10x -<<()0h x '<()h x (1,0)-min ()(0)ln1110h x h ==+-=()0f x '≥()f x (1,)-+∞(0)2ln100f =-=10x -<<()0f x <0x >()0f x >2
1()(21)ln(1)11
ax f x ax x x +'=+++
-+22212(1)1
()2ln(1)01(1)ax ax x ax f x a x x x ++--''=+++≤++222(1)ln(1)(21)(1)210a x x ax x ax ax +++++++-≤222(1)ln(1)340a x x ax ax x +++++≤22[2(1)ln(1)34]a x x x x x ++++≤-2
2
()2(1)ln(1)34h x x x x x =++++()4(1)ln(1)2(1)64h x x x x x '=++++++(0)60h '=>(0)0h =0x =0x >()0h x >0x <()0h x <0x >22
2(1)ln(1)34x a x x x x -≤
++++1
6a ≤-0x <222(1)ln(1)34x a x x x x -≥
++++1
6a ≥-
1
6
a =-O e cos sin x y θθ
=⎧⎨=⎩O e 22
1x y +=90α=︒:0l x =O e 90α≠︒
l tan y x α=l O e
，得，∴或，∴或，综上
.
（2）点坐标为，当时，点坐标为，当时，设直线的方程为
，，∴有，整理得
，∴，，∴ 得代入④得.当点时满足方程，∴中点的的轨迹方程是
，即，由图可知，，，则，故点的参数方程为（为参数，）.
23．
解答：
1<2tan 1α>tan 1α>tan 1α<-4590α︒<<︒90135α︒<<︒(45,135)α∈︒︒P (,)x y 90α=︒P (0,0)90α≠︒
l y kx =-1122(,),(,)A x y B x
y 221x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①
②
22
(1x kx +-
=22(1)10k x +-+
=122
1x x k +=
+12y y +=
2
211x k
y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
③④
x k y =
-22
0x y ++
=(0,0)
P 220x y ++=AB
P 220x y ++
=2
21(2x y ++
=A
(B
0y <<
P 2
22
x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩β0βπ<
<
（1），如下图：
（2）由（1）中可得：，， 当，时，取最小值， ∴的最小值为.
13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪
=+-<<⎨⎪
≥⎪⎪
⎩
3a ≥2b ≥3a =2b =a b +a b +5。