沪科版九年级数学上册第二十二章相似性第一节比例线段

C1
C
2
3
A
B
A1
B1
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，
AB BC CA A1B1 B1C1 C1 A1
一般地，两个边数相同的多边形，如果它
们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么
这两个多边形叫做相似多边形。这时，对应边
长度的比叫做相似比，也叫相似系数。
练习1 如图，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？
如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
A B C
D
l1
E F
l2
l3
∵l1∥l2∥l3，AB=BC ∴DE=EF AB DE 1 BC EF
即AB、BC、DE、EF四条线段成比例。
问：若AB≠BC即 AB 1，还有类似比例式成立吗？
BC
新授
如图，l1∥l2∥l3，
bd
b
d
2 a c k(k为常数),
bd
a
c
那么 a b c d 成立吗 ?
b
d
b
d
3如果 a c , 那么a b c d 成立吗? 为什么?
bd
bd
(1) a 3
b
a 1 31 b
a
b b
4
; 同理，c
d
d
4
.
(2)
a c k bd
(3)
a c k bd
a b c d ( k 1) ;
–2 –3
L
–4 –5
M (2)
(2)如果每个点的横坐标、纵坐标都变成原来的2倍，如图(2)，
线段CD与HL的比、OA与OF的比、BE与GM的比各是多少？
它们相等吗？
CD OA BE 1 HL OF GM 2
y
5 4
A
3
2 1
B
C
O–1 –2 –3
1
2
34 E
56 D
x
(1)
y
F
8
7
6
5
4
3 2
定义：在同一长度单位下，两条线 段的长度的比叫做这两条线段的比。
即如果用同一长度单位量得线段a、b的 am
长度分别是m、n，那么a:b=m:n或 b = n 。
a 在a:b或 b 中，a叫比的前项，b叫比的后项
1.已知线段a=2cm，b=30mm，那么a，b两 条线段的比是1∶15，对吗？为什么？
AB BC
2, 3
问：AB
BC
DE EF
是否成立？
A
P1
B
P2 P3
C
D
P1'
E
P2'
P3'
F
有AP1=P1B=BP2=P2P3=P3C
ll1
l'2ll12''
3
DP1 P1E EP2 P2P3 P3F DE 2DP1 EF 3DP
DE 2DP1 2 EF 3DP1 3
l3 AB DE
Bx y 43
Cx3 y4
Dx 4 3y
已知 2 y ，x 4，则下列各式不成立的是 ( C ) x4
Ax2 y4
x
4
B y2 y x4 4
C 2x y4 24
D2 y2 x x4
已知 a c e 1 , 且a c e 3,则b d f __6__
bd f 2
平行线分线段成比例定理
例 一个等腰三角形形状的梁架，腰AB=5米， 底边BC=8米，AD是底边BC上的高，求 BD 和 AD 。
AB AB
A
B
D
C
点拨：本例利用我们学过的等腰三角形的知识及
利用勾股定理可得出结论。
做一做 已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离A'B'=5cm 求：图上距离与实际距离的比(即该地 图的比例尺)？
那么a1 a2 an a1 . b1 b2 bn b1
学以致用──巧用比例性质解题
8
若 x y 17 , 则 x ___9___
y9
y
7
若
a b
1, 4
则
3a b 2b
__8____
已知 3x 4 y(x 0)，则下列式子成立的是 ( B )
Ax y 34
实质就是求两线段的比，关键是单位 统一，而且要注意两线段的顺序。
成比例线段的定义
在四条线段中，如果其中两条线段的比等 于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段。
角：对应角相等
相似多 边形 边：对应边长度的比相等
相似比（相似系数）
比例 线段
①长度单位统一
两条线 段的比： ②与单位无关，本身没有单位
1
2
34 E
56 D
x
(1)
y
F
8
7
6
5
4
3 2
H
1
G
–O1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 x
–2 –3
L
–4 –5
M (2)
比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比。
如果a，b，c，d四个数满足a/b=c/d，那么ad=bc 吗？反过来，如果ad=bc，那么a/b=c/d吗？与同伴交 流。
b
d
a b c d ( k 1) ;
b
d
比例的合比性质
(1)
ac bd
(2)
ac bd
可以合写成：
ab cd ;
b
d
ab cd .
b
d
a c ab cd bd b d
特点：分母不变，分子加(或减)分母。
例2 已知：在下图中的ΔABC中，
。
求1证AD： AE ;
AB AC
2 AB AC AD AE
三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这
个角的两边对应成比例。
E
A AB BD AC DC
B
D
C
例1 已知：如图l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2， EF=4。求BC。
解：因为l1∥l2∥l3
AD BE
C
F
l1
l2
BC EF AB DE
l3 （平行线分线段成比例定理）
即 BC 4 ∴BC=6
1 a c
bd （2）ad=bc
a bd c bd
ad=bc
bd
ad÷bd =bc÷bd
ac . bd
a b
c d
ad=bc
ad=bc； 比例的基本性质: a c . 两内项之积等于两外项之积。 bd
可以合写成：
a c ad bc . bd
（用“设k法”例计1算如新比图例：）
1已知 a c 3, 求 a b 和 c d ;
答:不对。根据定义，在同一长度单位下，两 条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
2.两线段的比值一定是正数吗？
答：两条线段的比值是一个没有单位的正数。
小结
（1）两条线段的比就是它们的长度的比，求两线 段的比时，长度单位必须统一，比与所选线段的长 度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致； （2）两线段的比是一个没有单位的正数； （3）两线段的比有顺序，除a=b外，a:b≠b:a，但 a:b与b:a互为倒数； （4）a:b=k说明a是b的k倍，这是线段的比的实质， 两线段的比与选用的度量单位无关。
32
例2
AB
如图l1∥l2∥l3，BC
m n
DE
，求证：DF
m m
n
。
证明：因为l1∥l2∥l3，
DE AB m EF BC n
A
D
l1
EB
l2
（平行线分线段成比例定理） F
C
l3
EF n EF DE n m
DE m DE
m
即 DF m n DE m DE m DF m n
BC EF
提问：运用比例性质，由 AB DE 还可得
BC EF
到哪些比例式？
BC EF AB DE BC EF AB DE AC DF AC DF
下下 上上
上上 全全
下下 全全
1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，
所得的对应线段成比例。
M AD
A (D)
B
E
平移
BE
C
F
C
F
平移
沪科版九年级数学上册第二十二章相似性 第一节比例线段
观察下面对应图片，你有什么发现？
我们把形状相同的两个图形说成是相似图形。
D
C
1.5
D1
C1
3
A
B
A1
B1
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；
AB BC CD DA 1.6
A1B1 B1C1 C1D1 D1 A1 3.2
H
1
G
–O1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 x
–2 –3
L
–4 –5
M (2)
(3)在图中，你还能找到比相等的其它线段吗？
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简
称比例线段。
y
5 4
A
3
2 1
B
C
O–1 –2 –3
③两条线段有顺序要求
比例 线段
①概念：项、比例内项、比例外项
②四条线段有顺序要求 ③特别情况：比例中项
ac bd
思考
（1）线段CD与HL、OA与OF、BE与GM的长度各是多少？
y
5 4
A
3
2
1
B
C
O
–1 –2 –3
1
2

34
E
56
D
x
(1)
y
F
8
7
6
5
4
3 2
H
1
G
O
–1
1 234 56
7 8 9 10 11 x
D1
C1
D
C
1.5 1
A
3
答案：不相似。
B
A1
2.5
B1
分析：对应边长度的比不相等。
练习2 如图，菱形ABCD和菱形A1B1C1D1相似吗？为什么？
D D1
A 60
C A1 45
C1
B1 B
答案：不相似。
分析：对应角不相等。
做一做: 1.初三(1)班有男同学有30人，女同学20人， 男同学和女同学的人数之比是多少？ 2.一个长方形的长为6厘米，宽为4厘米，这 个长方形的长与宽的比是多少？
DB EC DB EC
比例的等比性质
a1 a2 a3 , 那么 a1 a2 a3 a1 成立吗? 为什么?
b1 b2 b3
b1 b2 b3 b1
用“设k法”，设 a1 a2 a3 k b1 b2 b3
如果 a1 b1
a2 b2
a3 b3
an bn
，且b1
b2
bn
0，
练习
AB
1.已知：如图l1∥l2∥l3，求证： DE
BC EF
AC DF
。
A
D
l1
BE
l2
FC
l3
小结 1.平行线分线段成比例定理(内容要理解)； 2.定理的形象记忆法； 3.定理的变式图形； 4.定理的初步应用。
谢谢
D
A
D
A
BNE
平移
(E) B
C
F
CF
注意：应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中，四条线段与两直线的交点位置无关！
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边延长线），截得的对应线段成比例。
A
E
F
E
F
A
B
C
AE AF 等 EB FC
B
C
AB AC 等 AF AE
3.三角形内角平分线定理：