2014版教材课后习题答案4_7章

P78 第四章
3.一物体按规律x ＝ct 3
在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻力所作的功．
解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct t
x
==
v 1分 物体受到的阻力大小为： 34
32
42299x kc t kc k f ===v 2分
力对物体所作的功为：
⎰=W W d =⎰-l
x x kc 03
43
2d 9 =
7
273
7
3
2
l
kc - 2分
4．一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点．
由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量
即： F =P =gy mg ky P 2.00-=-=107.8-1.96y (SI) 3分
人的拉力所作的功为：
W=⎰⎰=H
y F W 0
d d ＝⎰-10
d )96.18.107(y y =980 J 2分
5．质量m ＝2 kg 的质点在力i t F ρ
ρ12=(SI)的作用下，从静止出发沿x 轴正向作直线运动，
求前三秒该力所作的功．
解： ⎰⎰=⋅=t t r F A d 12d v ρ
ρ 1分
而质点的速度与时间的关系为
2000
03d 212d 0d t t t t m F
t a t t
t
==+=+
=⎰⎰
⎰
v v 2分 所以力F ρ所作的功为 ⎰⎰==3
3
30
2d 36d )3(12t t t t t A =729 J 2分
6．如图所示，质量m 为 0.1 kg 的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k 为20 N/m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m ．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数μ k 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v 为多少？
解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222
1
21v m kx x f r -=
- 而
mg f k r μ= 3分
由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 m
kx gx k 2
2+=μv
1分
= 5.83 m/s 1分
[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有
20
2
1
0v m kxdx mgx x
k -
=--⎰μ 其中
20
2
1kx kxdx x
=
⎰
7．一物体与斜面间的摩擦系数μ = 0.20，斜面固定，倾角α = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：
(1) 物体能够上升的最大高度h ；
(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．
解：(1)根据功能原理，有 mgh m fs -=
202
1v 2分 ααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==mgh m mgh -==2
02
1ctg v αμ 2分
)
ctg 1(220
αμ+=g h v =4.5 m 2分
(2)根据功能原理有 fs m mgh =-2
2
1v 1分
αμctg 2
12
mgh mgh m -=v 1分
[]21
)ctg 1(2αμ-=gh v =8.16 m/s 2分
8．一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为y ,则摩擦力大小为
g l
y
m
f μ= 1分 摩擦力的功 ⎰⎰--==00d d a l a l f y gy l
m
y f W μ 2分
=022a l y l mg -μ =2)(2a l l
mg
--μ 2分
(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2
022
121v v m m -
其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 1分
W P =⎰l
a x P d =l
a l mg x x l mg l
a 2)(d 22-=⎰ 2分
由上问知 l
a l mg W f 2)(2
--=μ
所以
22222
1
)(22)(v m a l l mg l a l mg =---μ 得 []
2
1222)()(a l a l l
g ---=μv 2分
9．劲度系数为k 、原长为l 的弹簧，一端固定在圆周上的A 点，圆周的半径R ＝l ，弹簧的另一端点从距A 点2l 的B 点沿圆周移动1/4周长到C 点，如图所示．求弹性力
在此过程中所作的功．
解：弹簧长为AB 时，其伸长量为 l l l x =-=21 1分
弹簧长为AC 时，其伸长量为 l l l x )12(22-=-=
1分
弹性力的功等于弹性势能的减少 2
221212
121kx kx E E W P P -=-= 2分
[]
2
2)12(12
1--=kl 2)12(kl -= 1分
10．一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为
j t b i t a r ρρρ
ωωsin cos +=(SI)
式中a 、b 、ω是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；
(2)求质点所受的合外力F ρ以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F ρ的分力x F ρ和y F ρ
分别作的功．
解：(1)位矢 j t b i t a r ρρρ
ωωsin cos += (SI) 可写为 t a x ωcos = ， t b y ωsin =
t a t x x ωωsin d d -==v ， t b t
y ωωcos d dy
-==v
在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ω
E KA =2
2222
12121ωmb m m y x =+v v 2分
在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ω
E KB =2
2222
12121ωma m m y x =+v v 2分
(2) j ma i ma F y x ρρρ+==j t mb i t ma ρρωωωωsin cos 2
2-- 2分
由A →B ⎰⎰-==
2
d cos d a a x x x t a m x F W ωω=⎰=
-0
2222
1
d a ma x x m ωω 2分 ⎰⎰-==b b y y t b m y F W 020dy sin d ωω=⎰-=-b mb y y m 02
222
1d ωω 2分
11．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F ，相应伸长为x ，力与伸长的关系为 F ＝52.8x ＋38.4x 2（SI ）求：
(1)将弹簧从伸长x 1＝0.50 m 拉伸到伸长x 2＝1.00 m 时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x 2＝1.00 m ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x 1＝0.50 m 时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？ 解：(1) 外力做的功
＝31 J 1分
(2) 设弹力为F ′
⎰⎰⋅+==2
1d )4.388.52(d 2x x x
x x x
F W ρρ⎰⎰⋅=-==1212
d d 2
1'
2x x x x W
x F x F m ρρv 3分
= 5.34 m/s
1分
(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关． 2分
12．如图所示，悬挂的轻弹簧下端挂着质量为m 1、m 2的两个物体，开始时处于静止状态．现在突然把m 1与m 2间的连线剪断，求m 1的最大速度为多少？设弹簧的劲度系数k ＝8.9×104 N /m ，m 1＝0.5 kg ，m 2＝0.3 kg ．
解：以弹簧仅挂重物m 1时，物体静止（平衡）位置为坐标原点，竖直向下为y 轴正向，此时弹簧伸长为： l 1＝m 1 g / k ① 1
分
再悬挂重物m 2后，弹簧再获得附加伸长为
l 2＝m 2 g /k ② 1分
当突然剪断连线去掉m 2后，m 1将上升并开始作简谐振动，在平衡位置处速度最大．根据机械能守恒，有
21221)(21gl m l l k -+＝21212
121kl m m +v ③ 2分 将①、②代入③得 )
(v k m g m m 121= ≈0.014 m/s ④ 1分
13．用劲度系数为k 的弹簧，悬挂一质量为m 的物体，若使此物体在平衡位置以初速v 突然向下运动，问物体可降低到何处？
解：取物体在平衡位置时，重力势能E P ＝0，设平衡时弹簧的伸长量为x 0，则物体开始向下运动的一瞬间，机械能为
2v m kx E 2
1
21201+=
1分 设物体刚好又下降x 距离的一瞬间速度为零(不再下降)，则该瞬时机械能为
mgx x x k E -+=
202)(2
1
1分 物体运动过程中，只有保守力作功，故系统的机械能守恒：
mgx x x k m kx -+=+2020)(2
1
21212v 2分 把kx 0＝mg 代入上式，可解得： k m x v = 1分
P103 第五章
3．一飞轮以等角加速度2 rad /s 2转动，在某时刻以后的5s 飞轮转过了100 rad ．若此飞轮是
由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？
m
W
2=v 3分
解：设在某时刻之前，飞轮已转动了t 1时间，由于初角速度 ω 0＝0
则 ω1β=t 1 ① 1分
而在某时刻后t 2 =5 s 时间，转过的角位移为
2
2212
1t t βωθ+
= ② 2分 将已知量=θ100 rad ， t 2 =5s ， =β 2 rad /s 2代入②式，得
ω1 = 15 rad /s 1分
从而 t 1 = ω1/=β 7.5ｓ
即在某时刻之前，飞轮已经转动了7.5ｓ． 1分
4．有一半径为R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量22
1
mR J =
，其中m 为圆形平板的质量） 解：在r 处的宽度为d r 的环带面积上摩擦力矩为
r r r R mg
M d 2d 2⋅π⋅π=μ
3分 总摩擦力矩 mgR M M R μ3
2
d 0==⎰ 1分
故平板角加速度 β =M /J 1分
设停止前转数为n ，则转角 θ = 2πn
由 J /Mn π==422
0θβω 2分
可得 g R M
J n μωωπ16/342
020=π=
1分
5．如图所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为221A
A A r m J =
和2
2
1B B B r m J =) 解：根据转动定律
f A r A = J A βA ① 1分
其中2
21A
A A r m J =
，且 f B r B = J B βB ② 1分 其中2
2
1B B B r m J =．要使A 、B 轮边上的切向加速度相同，应有
a = r A βA = r B βB ③ 1分
由①、②式，有
B
B B A
A A
B A B A B A B A r m r m r J r J f f ββββ== ④ 由③式有 βA / βB = r B / r A
将上式代入④式，得 f A / f B = m A / m B = 2
1
2分
B A f A
r B r A
6．一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．
解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T ，则根据牛顿运动定律和转动定律得：
mg ­T ＝ma ① 2
分
T r ＝J β ② 2分 由运动学关系有： a = r β ③ 2分
由①、②、③式解得： J ＝m ( g －a ) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v 0＝0
∴ S ＝
2
2
1at ， a ＝2S / t 2 ⑤ 2分将⑤式代入④式得：J ＝mr 2(S
gt
22－1) 2分
7．一定滑轮半径为0.1 m ，相对中心轴的转动惯量为1×10-3 kg ·m 2
．一变力F ＝0.5t (SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦．试求它在1 s 末的角速度．
解：根据转动定律 M ＝J d ω / d t 1分 即 d ω＝(M / J ) d t 1分
其中 M ＝Fr ， r ＝0.1 m ， F ＝0.5 t ，J ＝1×10-3 kg ·m 2, 分别代入上式，得
d ω＝50t d t 1分
则1 s 末的角速度 ω1＝
⎰1
50t d t ＝25 rad / s 2分
8．一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为
2
3
1ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度；
(2) 棒转到水平位置时的角加速度． 解：设棒的质量为m ，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转
动定律 M = J β
1分
其中 4/30sin 2
1
mgl mgl M ==
ο 1分 于是 2rad/s 35.743 ===l
g
J M β 1分
当棒转动到水平位置时， M =21
mgl 1分
那么 2rad/s 7.1423 ===l
g J M β 1分
9．长为L 的梯子斜靠在光滑的墙上高为h 的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为μ，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？
解：当人爬到离地面x 高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态 (不稳定的) ．
1分 N 1－f ＝0， N 2－P ＝0 1分
N 1h －Px ·ctg θ ＝0 1分
f ＝μN 2 1分 解得 2
22/tg h L h h x -=⋅=μθμ 1分
10．有一半径为R 的均匀球体，绕通过其一直径的光滑固定轴匀速转动，转动周期为T 0．如它的半径由R 自动收缩为
R 2
1
，求球体收缩后的转动周期．(球体对于通过直径的轴的转动惯量为J ＝2mR 2 / 5，式中m 和R 分别为球体的质量和半径)．
解：球体的自动收缩可视为只由球的力所引起，因而在收缩前后球体的角动量
守恒． 1分 设J 0和ω 0、J 和ω分别为收缩前后球体的转动惯量和角速度, 则有
J 0ω 0 = J ω ① 2分
由已知条件知：J 0 = 2mR 2 / 5，J = 2m (R / 2)2 / 5
代入①式得 ω = 4ω 0 1分
即收缩后球体转快了，其周期
4
4220
0T T =π=
π
=
ωω
1分 周期减小为原来的1 / 4． 11．一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰
撞．碰撞点位于棒中心的一侧L 2
1
处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬
时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时
的转动惯量为2
3
1ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)
解：碰撞前瞬时，杆对O 点的角动量为
L m L x x x x L L 0202/0
02/30
02
1d d v v v v ==-⎰
⎰
ρρρ 3分
式中ρ为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O 点的角动量为
ωωω22
2
127
2141234331mL L m L m J =⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪
⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 3分 因碰撞前后角动量守恒，所以
L m mL 02
2
1
12/7v =
ω 3分 ∴ ω = 6v 0 / (7L) 1分
12．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和2m 的小
球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面转动，转轴O 距两端分别为3
1
l
L
h N 1 h N 2 P R θ R x R
f
L
2
1L 2
1L O
0v
0v
2m m
m
O
2
1v 0
v ϖl
3
2l
31
和
3
2
l ．轻杆原来静止在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v ϖ与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02
1v ϖ
的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．
解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒
得 1分
ωJ l m l
m +-=3
223200
v v （逆时针为正向） ① 2分 又 2
2)3
(2)32(l m l m J += ② 1分
将②代入①得 l
230
v =ω 1分
13．一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时
(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度，
(3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg ·m 2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？
解：(1) 圆柱体的角加速度 β
β＝a / r ＝4 rad / s 2 2分
(2) 根据t t 0βωω+=，此题中ω 0 = 0 ，则 有
ωt = βt
那么圆柱体的角速度
====55 t t t βω20 rad/s 1分
(3) 根据转动定律 fr = J β
则 f = J β / r = 32 N 2分
14．一台摆钟每天快1分27秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？
解：钟摆周期的相对误差∆T / T =钟的相对误差∆t / t 2分
等效单摆的周期 g l T /2π=，设重力加速度g 不变，则有 2分
2d T / T =d l / l 1分
令∆T = d T ，∆l = d l ，并考虑到∆T / T = ∆t / t ，则摆锤向下移动的距离
∆l = 2l ∆t / t =86400
87
995.02⨯
⨯ mm = 2.00 mm
即摆锤应向下移2.00 mm ，才能使钟走得准确． 3分
P124 第六章
3．一体积为V 0，质量为m 0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A 以速度v 运动．求：观察者A 测得其密度是多少？
解：设立方体的长、宽、高分别以x 0，y 0，z 0表示，观察者A 测得立方体的长、宽、高分别
为 22
1c
x x v -=，0y y =，0z z =．
相应体积为 22
01c
V xyz V v -== 3分
观察者Ａ测得立方体的质量 2
20
1c
m m v -=
故相应密度为
V m /=ρ2
2
02
2
011/c V c m v v -
-=
)1(22
00c
V m v -
=
2分
4．一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？
解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 =-=20)/(1c L L v 54 m
则 ∆t 1 = L /v =2.25×10-
7 s 3分
(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则
∆t 2 = L 0/v =3.75×10-7 s 2分
5．一电子以=v 0.99c (c 为真空中光速)的速率运动．试求： (1) 电子的总能量是多少？
(2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？(电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)
解：(1) 2
22)/(1/c c m mc E e v -== =5.8×10-13 J 2分
(2) 20v 2
1
e K m E =
= 4.01×10-14 J 22c m mc E e K -=2
2]1))/(1/1[(c m c e --=v = 4.99×10-13 J
∴ =K K E E /08.04×10-
2 3分
P150 第七章 3．一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求
(1)周期T ；
(2)当速度是12 cm/s 时的位移．
解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v
(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有 t ωcos 126= t ωωsin 1224-=
解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由
t A ωωsin -=v 得 2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=， 解上式得 1875.0sin 2-=t ω 相应的位移为
8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分
4．一质点作简谐振动，其振动方程为 )4
1
31cos(10
0.62
π-π⨯=-t x (SI)
(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解：(1) 势能 221kx W P =
总能量 22
1
kA E = 由题意，4/212
2kA kx =， 21024.42
-⨯±=±
=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2
A x ±
=的最短时间 ∆t 为 T /8．
∴ ∆t = 0.75 s ． 3分
5．在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250 g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式． 解： k = m 0g / ∆l 25.12N/m 08
.08
.91.0=⨯=
N/m
11
s 7s 25
.025.12/--==
=m k ω 2分 5cm )7
21(
4/2
222020=+=+=
ωv x A cm 2分
4/3)74/()21()/(tg 0
0=⨯--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分 )64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分
6．质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)3
18cos(5.0π+π=t x 的规律作自由
振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求
(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；
O x
(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；
(3) 振动的能量E ；
(4) 平均动能和平均势能．
解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分
(2) )3
18sin(1042
π+π⨯π-==-t x &v (SI) )3
18cos(103222π+π⨯π-==-t x a && (SI) 2分 (3) 2222
121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(v ⎰π+π⨯π-=-T
t t m T 0
222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 2
1 同理 E E P 21== 3.95×10-5 J 3分
7．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x
∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分
π===1.958.28/0l g ω 2分
设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2
102-⨯m ，v 0 = 0，
解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(1022t x π⨯=- 2分
8．在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 完成48次振动，振幅为5 cm ．
(1) 上述的外加拉力是多大？
(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则
+x )
0)(0=+-+∆x l k mg F
解得
F = kx 0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x 0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分 又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 T
π=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分
(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分
221007.12
1-⨯==v m E K J 2分 2222)/4(2
121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分 解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2
224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分 (2) 总能量 221011.12
121-⨯===FA kA E J 2分 当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ，
41044.425/-⨯==E E p J 1分
9．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI)
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．
解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6)
= 3×10-2cos(4t - π/6- π/2)
= 3×10-2cos(4t - 2π/3)．
作两振动的旋转矢量图，如图所示． 图2分
由图得：合振动的振幅和初相分别为
A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 2分
合振动方程为 x = 2×10-2cos(4t + π/3) (SI)
1分
10．一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求
(1) 物体的振动方程；
(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；
(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 解： k = f/x =200 N/m ， 07.7/≈=m k ω rad/s 2分
(1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ． 解以上二式得 A = 10 cm ，φ = 0． 2分
∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI) 1分
(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力
f = m (
g -a )，而a = -ω2x = 2.5 m/s 2 x 5 cm O
∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N 3分
(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即
0 = A cos ω t 1或cos ω t 1 = 0．
∵ 此时物体向上运动， v < 0
∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s 1分 再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即
-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2
∵ v < 0， ω t 2 = 2π/3，
t 2=2 π/3ω =0.296 s 2分 ∆t = t 1-t 2 = (0.296－0.222) s ＝0.074 s 1分
11．一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，
若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．
解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，
∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，
ω = 2πν = (π /4) s -1 3分
(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．
t = 0时， 5-=x cm φcos A =
t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=
由上二式解得 tg φ = 1
因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分 25cos /==φx A cm 1分 ∴ 振动方程 )4
34cos(10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )4
34sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点
221093.3)4
3sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分
12．一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，
物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：
(1) 振动周期T ；
(2) 加速度的最大值a m ；
(3) 振动方程的数值式．
解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1
∴
T = 2π/ω = 4.19 s 3分
(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=2
1φ x = 0.02)2
15.1cos(π+t (SI) 3分
13．在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T
A B v ρ
x
= 2
1s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．
(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为
t A x π=4cos (SI)
t A x π4cos π162-=&& (SI) 1分
(1) 对物体有 x
m N mg &&=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162&&
(SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)
t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分
(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分 04cos 162=ππ+t A mg (SI)
A q t 2164cos π-
=π 1分 若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)
即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分
14．一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，
如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求
(1) 振幅；
(2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度．
解：(1) 22
1kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分
(2)
222
121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m
)(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω 222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分
(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量
22
1v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分 x &&。