高等数学-第4章-4.2-换元积分法(一)

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§4.2
能用直接积分法计算的不定积分是非常有限的,因此我们有必要进一步研究新的积分方法.本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法,换元法通常分成两类:第一类换元法和第二类换元法.
一、第一类换元法(凑微分法)
先看下面的例子:
例1 求⎰x x d 3cos 。

解 因为 cos sin xdx x C =+⎰,
而 11cos3cos3(3)cos3(3)33xdx x d x xd x =⋅=⎰⎰⎰, 如果令3u x =,则上式变为
C u u u x x +=⋅=
⎰⎰sin 3
1d cos 31d 3cos , 回代3u x =,得 C x x x +=⎰3sin 3
1d 3cos , 由于 x C x 3cos )3sin 31(='+,所以上述结果是正确的. 例1的解法特点是:
(1)把被积表达式变形为1cos3cos3(3)3
xdx x d x =⋅,并引入新变量3u x =,从而把积分变量为x 的积分化为积分变量为u 的积分.
(2)把公式cos d sin x x x C =+⎰中的x 换为3u x =时,公式仍成立,即有
C u udu +=⎰sin cos 或cos(3)(3)sin(3)x d x x C =+⎰.
一般地,有下面定理.
定理4.3 设()()f u du F u C =+⎰,且)(x u ϕ=为可微函数,则
[()]()[ ()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰。

证明从略。

若不定积分的被积表达式dx x g )(能写为)()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕ='的形式,那么就可以按下述方法计算不定积分.
[][]()()()()()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰
()()()x u f u du F u C ϕ==+⎰令
[]()()u x F x C ϕϕ=+回代。

用上式求不定积分的方法称为第一换元积分法或凑微分法.
例2 求⎰+dx x 8)13(.

⎰+dx x 8)13(=8811(31)3(31)(31)33x dx x x dx '+=++⎰⎰=⎰++)13()13(3
18x d x ⎰=+du u u
x 83113令 91139u C =⋅+ 9131(31)27
u x x C =+++回代。

例3 求⎰dx xe x 2。

解 2
22222211112()()2222x x x x u xe dx e xdx e x dx e d x x u e du '====⎰⎰⎰⎰⎰令 C e x u C e x u +=+=22
1212回代。

例4 求dx x
x ⎰2ln 。


22222
ln 1ln ln (ln )ln (ln )ln x dx x dx x x dx xd x x u u du x x '=⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰令 3311ln ln 33
u C u x x C =+=+回代。

在凑微分时,常常用到下列凑微分的式子,熟悉它们是有助于求不定积分的.
(1))(1b ax d a
dx +=
; (2)11()1
n n x dx d x n +=+ (n 为正整数); (3)1(ln )(0)dx d x x x =>;
(42d
= ;
(5)
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x 112 ; (6)
)(arctan 112x d dx x =+; (7))(arcsin 11
2x d dx x =- ;
(8))(x x e d dx e = ;
(9))(cos sin x d xdx -=;
(10))(sin cos x d xdx =;
(11))(tan sec 2x d xdx =;
(12))(cot csc 2x d xdx -=;
(13))(sec tan sec x d xdx x = ;
(14))(csc cot csc x d xdx x -= .
当运算比较熟练后,变量代换和回代的步骤可以省略不写.
例5 求⎰-dx
x 1
2 解 C x C x x d x dx x +-=+-⋅=--=-⎰⎰232321)12(3
1)12(3221)12()12(2112。

例6 求⎰xdx tan .
解 C x x d x
dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰cos ln )(cos cos 1cos sin tan 。

即tan ln cos xdx x C =-+⎰。

类似地,可得 ⎰+=C x xdx sin ln cot 。

例7 求⎰
+dx x a 221. 解 ⎰+dx x a 221=dx a x a ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+22111=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰a x d a x a 211
1=C a x a +arctan 1 。

即2211arctan x dx C a x a a
=++⎰。

类似地,可得 ⎰
-dx x a 221=C a x +arcsin 。

例8 求 ⎰
-dx x a 221. 解 ⎰-dx x
a 221=⎰-+++-dx x a x a x a x a a ))((21=dx x a x a a )11(21-++⎰ =
a 21[⎰⎰---++)(1)(1x a d x a x a d x a ] =()C x a x a a
+--+ln ln 21=C x a x a a +-+ln 21 。

例9 求dx x ⎰csc 。

解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===2
tan 22sec 2cos 2tan 22cos 2sin 21sin 1csc 22x x d x x x x d dx x x dx x dx x C x x x d +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2tan ln 2
tan 2tan . 因为 x x x x x x x x x cot csc sin cos 1sin 2sin 22cos 2sin
2tan 2
-=-===. 所以 C x x dx x +-=⎰cot csc ln csc .
类似地,可得 C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec .
例10 求⎰xdx 2sin .
解 ⎰xdx 2sin =dx x )2cos 1(21⎰-=dx x dx ⎰⎰-2cos 2
121 C x x x d x x +-=-=⎰2sin 4
121)2(2cos 4121. 例11 求1x
x e dx e
+⎰. 解 1x x e d x e +⎰11(1)11x x x x de d e e e
==+++⎰⎰l n (1)x e C =++.。

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