一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)

一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练
1. (2010 云南省昆明市) 一元二次方程2
20x x +-=的两根之积是（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．1
D ．2
2. (2010 上海市) 已知一元二次方程012=-+x x ，下列判断正确的是（ ）
(A) 该方程有两个相等的实数根； (B) 该方程有两个不相等的实数根； (C) 该方程无实数根； (D) 该方程根的情况不确定．
3. (2010 湖北省武汉市) 若x 1，x 2是方程x 2
=4的两根，则x 1+x 2的值是( ) (A)8． (B)4． (C)2． (D)0．
4. (2010 四川省眉山市) 已知方程2
520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为
（ ）
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3
5. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2
210ax x ++=有两个不等实根，则实数
a 的取值范围是
____________.
6. (2010 四川省成都市) 设1x ，2x 是一元二次方程2
320x x --=的两个实数根，则2
21
1223x x x x ++的
值为__________________．
7. (2010 江苏省连云港市) 若关于x 的方程x 2
－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为___________．(任
意给出一个符合条件的值即可)
8. (2010 四川省泸州市) 已知一元二次方
程
21)10x x -=的两根为12x x 、，则
12
11
x x +=_________. 9. (2010 甘肃省兰州市) 已知关于x 的一元二次方程01)12
=++-x x
m （有实数根，则m 的取值范围
是 ．
10. 已知关于x 的一元二次方程2
20x x a --=．
（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足12112
3
x x +=-，求a 的值．
11. 已知关于x 的一元二次方程x 2
-m
x -2=0． ……
(1) 若x =-1是方程的一个根，求m 的值和方程的另一根； (2) 对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．
12. 已知关于x 的方程2
(2)210x
m x m +++-=．
（1）求证方程有两个不相等的实数根．
（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
13. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02
142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数
根是多少？
14. 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．
15. 若关于x 的一元二次方程2
420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.
16. 已知关于x 的一元二次方程x 2
= 2（1－m ）x －m 2
的两实数根为x 1，x 2．
（1）求m 的取值范围；
（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
17. 关于x 的一元二次方程2
30x x k --=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围．
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
18. 已知关于x 的一元二次方程2
2
60x x k --=（k 为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （3分）
（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．（4分）
19. 关于x 的一元二次方程2
2(23)0x
k x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．
（1）求k 的取值范围；
（2）若6αβαβ++=，求2
()35αβαβ-+-的值．
20. 已知关于x 的一元二次方程x 2
+ 2（k －1）x + k 2
－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
21. 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2
260
x
b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．
22. 设
12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，
使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．
23. 已知关于x 的方程2
22(2)0x
m x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方
和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
24. 关于x 的方程2
(2)04
k
kx k x +++
=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
25. 关于x 的一元二次方程2
10x
x p -+-=有两实数根12x x 、．
（1）求p 的取值范围；（4分）
（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案
第1题答案.B 第2题答案.B 第3题答案.D 第4题答案.D
第5题答案.1a <且0a ≠ 第6题答案.7
第7题答案.答案不唯一，所填写的数值只要满足2
12m ≥即可，如4等． 第8题答案
.2第9题答案.5
4
m ≤且1m ≠ 第10题答案.
解：（1）2
(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．
1分 方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．
2分
即1a >-．
3分 （2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．
4分
121212112x x x x x x a ++==-，121123
x x +=-
223
a ∴
=--． 6分
3a ∴=． 7分
第11题答案.
解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，
1分 解得m =1．
2分 方程为x 2-x -2=0， 解得， x 1=-1， x 2=2． 所以方程的另一根为x =2．
4分 （2） ac b 42
-=m 2+8，
5分 因为对于任意实数m ，m 2≥0， 6分 所以m 2+8>0，
7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分
第12题答案.
（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m
3分
所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ， 5分 根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ， 7分
所以原方程可化为052
=-x ，解得51=x ，52-=x
9分
第13题答案.
由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0
…………………………………………（2分）
即16-4m+2=0，m=2
9.
………………………………………………（4分）
当m=2
9时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.
……………………（6分）
第14题答案.
解：由题意可知 0= ．
即 2(4)4(1)0m ---=．
解得 5m =．
3分
当5m =时，原方程化为2440x x -+=． 解得 122x x ==．
所以原方程的根为 122x x ==．
5分
第15题答案.
解：∵关于x 的一元二次方程2
420x x k ++=有两个实数根， ∴2
44121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分 解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分
第16题答案.
（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤
2
1． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根，
∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤
2
1． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =2
1
时，取得极小值1．
第17题答案.
解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2
(3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，9
4
k >-
． ……（4分） （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2
310x x -+=．
解得，132x =
，232
x =． （如果k ＝－2，原方程为2
320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 第18题答案.
解：
（1）0436)(14)6(42
2
2
2
>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分
因此方程有两个不相等的实数根．·································3分
（2）126
61
b x x a -+=-
=-= ，·····································4分 又12214x x += ，
解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨
⎩ 解得：218.
2,
x x ==-⎧⎨⎩·····················5分
方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分
解得：4±=k ．·················································7分
方法二：将21x x 和代入12c x x a =，得：1
822
k -=⨯-，······················6分
解得：4±=k ．·················································7分
第19题答案.
解：（1） 方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，
0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．
解得3
4
k <
． （2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，．
解得31k k ==-或．
由（1）可知3k =不合题意，舍去．
151k αβαβ∴=-∴+==，，．
故()2
2
35()519αβαβαβαβ-+-=+--=．
第20题答案.
（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）
= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1． （2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．
即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．
此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．
第21题答案.
解：根据题意得：△()()2
246b b =+--
28200b b =+-=
解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）
∴2b =………………………………………………………………………………４分 （1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意
（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分
第22题答案.
解：∵方程有实数根，∴2
40b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．
解法一：又∵2x ==±
∴12(2(24x x +=+=，
12(2(21x x k ==+ 若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．
而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立． 解法二：又∵124
41
b x x a -+=-
=-=， 121
11
c k x x k a +=
==+ ， （以下同解法一）
第23题答案.
解：设方程的两实根为12x x ，， 则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．
1分 令22
1256x x +=得：2
2
2
1212()24(2)256x x x x m m +-=--=．
3分
即2
8200m m --=．
10m ∴=或2m =-．
5分
当10m =时，2
2
2
[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，
∴10m =不合题意，舍去．
6分
当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．
故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．
7分
第24题答案.
（1）由2
(2)404
k
k k
∆=+->·得：1k >- 又0k ≠
∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠． （2）不存在符合条件的实数k ． 理由：设方程2
(2)04
k
kx k x +++
=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有： 12
12
12
214110k x x k x x x x ⎧++=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-． 因此不存在符合条件的实数k ．
第25题答案.
解：（1）由题意得：
2(1)4(1)0p ∆=---≥．
2分 解得，5
4
p ≤
． 4分
（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，
22
1122(2)(2)9x x x x +-+-=．
6分
12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根，
21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．
(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-．
9分
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p ≤，∴所求p 的值为4p =-． 10分
说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解；
2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。