27.2(教学课件)相似三角形(第6课时)-2023-2024学年九年级数学下册(人教版)
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相似三角形 （第6课时）
相似三角形的判定方法：
（1）对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似． （2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似． （3）三边成比例的两个三角形相似． （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （5）两角分别相等的两个三角形相似． （6）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
1 2
2
12
5 3
5．
对应高的比
等
对应线段
对应中线的比
于
相
对应角平分线的比
似
相似三角 形的性质
周长
周长的比
比
面积
面积的比等于相似比的平方
F
解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴ DE DF 1 ．
AB AC 2
又∠D＝∠A，
1
∴△DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为 2 ． ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12 5，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 6 3，
2
面积为
解：如图，分别作△ABC 和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'．
A
BD A′
B′ D′
C C′
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′．
又△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴
AD AD
AB AB
k．
对应边上的高
相似三角形对应高的比等于相似比．
A BD
DE 是△ABC 的中位线
B
C
DE∥BC，DBCE
1 2
△EOD∽△BOC
△EOD △BOC
的周长 的周长
1 2
例2 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝ ∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
A
D
B
CE
解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， ∴ AB AC BC k．
AB AC BC
∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'，
A B
A′
B′
C C′
∴ AB AC BC kAB kAC kBC k AB AC BC k．
AB AC BC AB AC BC AB AC BC
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度 数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形 相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成 比例．下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系．
问题
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各 是多少？
即△△AABBCC的的周周长长 k．
A
相似三角形周长的比等于相似比．
B
C
A′
B′
C′
思考
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们面积的比是多少？
解：如图，分别作△ABC和△A'B'C' 的 对应高 AD 和 A'D'．
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， ∴ BC AD k．
△ABC 的周长 △ABC 的周长
k
， S△ABC S△AB C
k 2．
A B
A′
B′
C C′
例1 如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则
△EOD 与△BOC 的周长比为（ A ）．
A
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶3
D．1∶4
D
分析： BE，CD 是△ABC 的两条中线
E O
A′
B′ D′
C C′
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的中线 AE 和 A'E'，
则 BE
BE
1 BC 2 1 BC
BC BC
k
，∴
BE BE
AB AB
k
.
2
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′．
A BDE C
∴△ABE∽△A'B'E'．
∴
AE AE
AB AB
k．
A′
对应边上的中线
相似三角形对应中线的比等于相似比．
BC AD
A
BD
C
A′
B′ D′
C′
∴ S△ABC
1 BC 2
S△ABC 1 BC
2
AD BC AD BC
AD k k k 2．
AD
A
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
BD
C
A′
B′ D′
C′
新知
相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则
A′
∴
AF AF
AB AB
k．
对应角的平分线
相似三角形对应角平分线的比等于相似比． B′ D′F′E′ C′
新知
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 相似比．
一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比．
思考
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们周长的比是多少？
B′ D′ E′ C′
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的角平分线 AF 和A'F'，
则∠FAB＝
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
∠CAB，∠F′A′B′＝
12∠C′A′B′．
A
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'，∠CAB＝∠C′A′B′，
B D FE C
∴∠FAB＝∠F′A′B′，∴△ABF∽△A'B'F'．
相似三角形的判定方法：
（1）对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似． （2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似． （3）三边成比例的两个三角形相似． （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （5）两角分别相等的两个三角形相似． （6）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
1 2
2
12
5 3
5．
对应高的比
等
对应线段
对应中线的比
于
相
对应角平分线的比
似
相似三角 形的性质
周长
周长的比
比
面积
面积的比等于相似比的平方
F
解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB＝2DE，AC＝2DF，
∴ DE DF 1 ．
AB AC 2
又∠D＝∠A，
1
∴△DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为 2 ． ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为12 5，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 6 3，
2
面积为
解：如图，分别作△ABC 和△A'B'C' 的对应高 AD 和 A'D'．
A
BD A′
B′ D′
C C′
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′．
又△ABD 和△A'B'D'都是直角三角形，
∴△ABD∽△A'B'D'．
∴
AD AD
AB AB
k．
对应边上的高
相似三角形对应高的比等于相似比．
A BD
DE 是△ABC 的中位线
B
C
DE∥BC，DBCE
1 2
△EOD∽△BOC
△EOD △BOC
的周长 的周长
1 2
例2 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝ ∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
A
D
B
CE
解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， ∴ AB AC BC k．
AB AC BC
∴AB＝kA'B'，AC＝kA'C'，BC＝kB'C'，
A B
A′
B′
C C′
∴ AB AC BC kAB kAC kBC k AB AC BC k．
AB AC BC AB AC BC AB AC BC
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度 数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形 相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成 比例．下面，我们研究相似三角形的其他几何量之间的关系．
问题
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各 是多少？
即△△AABBCC的的周周长长 k．
A
相似三角形周长的比等于相似比．
B
C
A′
B′
C′
思考
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们面积的比是多少？
解：如图，分别作△ABC和△A'B'C' 的 对应高 AD 和 A'D'．
∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， ∴ BC AD k．
△ABC 的周长 △ABC 的周长
k
， S△ABC S△AB C
k 2．
A B
A′
B′
C C′
例1 如图，在△ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则
△EOD 与△BOC 的周长比为（ A ）．
A
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶3
D．1∶4
D
分析： BE，CD 是△ABC 的两条中线
E O
A′
B′ D′
C C′
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的中线 AE 和 A'E'，
则 BE
BE
1 BC 2 1 BC
BC BC
k
，∴
BE BE
AB AB
k
.
2
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′．
A BDE C
∴△ABE∽△A'B'E'．
∴
AE AE
AB AB
k．
A′
对应边上的中线
相似三角形对应中线的比等于相似比．
BC AD
A
BD
C
A′
B′ D′
C′
∴ S△ABC
1 BC 2
S△ABC 1 BC
2
AD BC AD BC
AD k k k 2．
AD
A
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
BD
C
A′
B′ D′
C′
新知
相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
若△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则
A′
∴
AF AF
AB AB
k．
对应角的平分线
相似三角形对应角平分线的比等于相似比． B′ D′F′E′ C′
新知
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 相似比．
一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比．
思考
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们周长的比是多少？
B′ D′ E′ C′
如图，分别作△ABC 和△A'B'C'的角平分线 AF 和A'F'，
则∠FAB＝
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
∠CAB，∠F′A′B′＝
12∠C′A′B′．
A
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'，∠CAB＝∠C′A′B′，
B D FE C
∴∠FAB＝∠F′A′B′，∴△ABF∽△A'B'F'．