高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
） 若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
4.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则
22-2
a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
解：(1)y ＝3x 2
＋12x 2 ≥2
3x 2
·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x
）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5
,540
4
x x <∴->，
11425434554y x x x x ⎛
⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

变式：设2
3
0<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解
：∵2
3
0<
<x ∴0
23>-x ∴
2922322)23(22)23(42
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三： 分离 技巧四：换元
例：求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x
＋1）的项，再将其分离。

当,即
时
,59y ≥=（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时
,59y ≥=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

例：求函数2
y =
的值域。

(2)t t =≥
，则2
y =1
(2)t t t =
=+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t
=+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

19x y +≥19x y =即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，
()mi n 16x y += 。

技巧七
例：已知x ，y 为正实数，且x 2
＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2
的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤
a 2＋
b 2
2。

同时还应化简1＋y 2
中y 2
前面的系数为 12
， x 1＋y 2
＝x
2·1＋y 2
2
＝
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一
元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2
＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2
＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16
t
≥
2
t ·16
t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算
能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+
∈R b a ,出发求得ab 的范围，关
键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式
ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
技巧九、取平方
例:
求函数15()2
2
y x =<<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

22
44(21)(52)8
y x x ==+≤+-+-=
又0y >
，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。

故max y = 应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”
连乘，又111a b c a a a -+-==≥
解：
a 、
b 、
c R +
∈，1a b c ++=。

∴111a b c a a a -+-==≥。

同
理11b b -≥
，11c -≥
111221118ac ab a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解
：
令
,0,0,
x y k x y +=>>191x y
+=，
99 1.x y x y kx ky ++∴
+=1091y x
k kx ky
∴++= 103
12k k
∴-
≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞
利用重要不等式放缩
例 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2121)1(+
=++<+<k k k k k k ，)21(1
1∑∑==+<<∴n
k n n
k k S k ， 即.2
)1(22)1(2)1(2
+<++<<+n n n n S n n n
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
2b a ab +≤
，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21
+>++=+<∑=n n n k S n
k n ，就
放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n
a a n a a a a a a n
n
n
n n n
2
2111111++≤
++≤≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

应用四：均值定理在比较大小中的应用
例：若
)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=
⋅=>>，
则R Q P ,,的大小关系是 .
分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a
2
1
=
Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R>Q>P 。

练习题
一、选择题 1、函数
y =
）.
A 、1
1,
2⎡⎤-⎣
⎦ B 、()()1,2
C 、[)
(]2,11,2- D 、()()2,11,2-
2、若关于x 的不等式|x + 2| + |x －1| < a 的解集为φ, 则a 的取值范围是( ).
A 、 (3,+∞)
B 、[3,+∞]
C 、(－∞,3)
D 、(－∞,3)
3、不等式
1
1
112
-≥-x x 的解集为( ). A 、(1，+∞) B 、[1，+∞)
C 、[0，1]∪(1，+∞)
D 、(—1，0)∪(1，+∞)
4、若关于x 的不等式4104822
<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、4-<a B 、4->a C 、12->a D 、12-<a 5、已知函数()()
lg 2x f x b =-（b 为常数），若[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则（ ）.
A 、1b ≤
B 、<1b
C 、1b ≥
D 、b=1 6、a 、b 、c ∈R ,下列命题:
①若a>b ,则ac 2
>bc 2
;②若ab ≠0,则
b a +a
b ≥2;③若a >|b |,n ∈N *
,则a n >b n ;④若a >b >0,则
c b c a ++<b
a
;⑤若log a b <0,则a 、b 中至少有一个大于1.其中正确命题的个数为( ).
A 、2
B 、3
C 、4
D 、1
7、函数2(99)12(33)4x x x x
y --=+-++的最小值为（ ）. A ．—18 B ．－16 C ．－12 D ．0
8、定义在R 上的函数满足)2()(+=x f x f ，当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，则( ).
A ．)6(cos )6(sin
π
πf f < B ．)1(cos )1(sin f f >
C ．)32(sin )32(cos π
πf f < D ．)2(sin )2(cos f f >
9、函数x
x y sin 2
2sin +=的值域是( ). A ．),2[]2,(+∞⋃--∞ B ．),1[]1,(+∞⋃--∞ C ．),2
5[]25,(+∞⋃--∞ D ．R
10、已知]),9,1[(2log )(3∈+=x x x f ，则函数)()]([2
2x f x f y +=的最大值是
( ).
A ．13
B ．20
C ．18
D ．16 11、已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g .
f x x =设63(),(),52a f b f ==5
(),2
c f =则( ).
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<
12、若关于的方程x 2
―(a 2
+b 2
―6b )x + a 2
+b 2
+2a ―4b +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 1≤0≤x 2≤1，则a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为( ). A ．12和5+4 5 B. ―72和5+4 5 C. ―7
2和12 D. ―1
2
和15―4 5 二、填空题
13、已知实数,x y 满足约束条件()10
201x ay x y a R x --≥⎧⎪
+≥∈⎨⎪≤⎩
，目标函数2z x y =+只有
当1
x y =⎧⎨
=⎩时取得最大值，则a 的取值范围是 ．
14、若23x y ++≥0，则()()2
2
12x y +++的最小值是 ． 15、记min{a ,b }为a 、b 两数的最小值,当正数x 、y 变化时,t =min{x ,
2
2y x y
+ }也
在变化,则t 的最大值为___________. 16、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 的速度匀速直达B 市。

已知两地铁路线
长400 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于km v 2
)20
( （货车长度忽略不
计），那么这批货物全部运到B 市最快需要 小时？ 三、解答题
17、解关于x 的不等式0132
≥+-x ax
18、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定
成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入
后，每只产品的固定成本为1
)(+=
n k
n g （k ＞0，k 为常数，Z ∈n 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元． （1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
19、已知不等式2
30{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 （I ）求t ，m 的值；
（2）若函数f(x)=－x 2
＋ax ＋4在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式log a (－
mx 2
＋3x ＋2—t)<0的解集。

20、已知函数y ＝x ＋x
a
有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上
是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．
（1）如果函数y ＝x ＋x b
2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；
（2）研究函数y ＝2
x ＋2x c （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2
x ＋2x
a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是
你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2
+＋n x x
)1
(2+（n 是正整数）在区间[
2
1
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
21、已知数列{}n a 满足2
n n n
S a =
(n ∈N *),n S 是{}n a 的前n 项的和，并且21a =．
（1）求数列{}n a 的前n 项的和；
（2）证明：23≤1
1112n a n a ++⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭
2<
22、已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、
2x .
（1）证明：12(1)(1)1x x ++=；（2）证明：11x <-，21x <-； （3）若1x 、2x 满足不等式1
2
lg 1x x ≤，试求a 的取值范围。

不等式测试题（三）答案与解析：
1、答案：选A 。

要使函数有意义，则()
2
12
log 10x -≥，即2
2
0<x 11,1<x 2-≤∴≤，
解得
)(
1
1,2x ⎡⎤∈-⎣⎦。

2、答案：选C 。

提示：令()21f x x x =+++，则()f x 可看作是数轴上的点到1,2x x =-=的距离和，所以()[)3,f x ∈+∞，要使不等式|x + 2| + |x －1| < a
的解集为φ，则有(],3a ∈-∞。

3、答案：选D 。

提示：不等式同解为()()
011x
x x ≥-+，故解集为(—1，0]∪(1，
+∞)。

4、答案：选A 。

提示：分离参数得2
284a x x <--，则转化为a 小于
()2
284T x x x =--14x <<在的最小值，配方求得最小值为4-。

5、答案：选
A 。

()()
x
lg 202121x
x
f x b b b =-≥⇔-≥⇔≤-，
[)1,,1x b ∈+∞∴≤。

6、答案: A 。

解析: ①错.当c =0时,有ac 2
=bc 2
.
②错.当ab <0时,
b a +a
b
≤－2. ③对.当b >0时,a >b >0,a n >b n
成立;
当b =0时,a >0,a n >b n
成立;
当b <0时,若n 为奇数,a n >0,b n <0,a n >b n
成立;
若n 为偶数,a >|b |>0,a n >|b |n =b n ,a n >b n 仍成立.故n ∈N *
,a >|b |时总有
a n >
b n .
④错.如a =3,b =2,c =－1时,
c b c a ++>b
a
. ⑤对.当0<a <1时,必有b >1. 正确命题有2个.
7、答案：选B 。

提示：令233
,992x
x
x x T T --+=+=-则，所以
()2
22122318y T T T =-=--，又2T ≥得16y ≥。

8、答案：选D 。

提示：由题知()f x 周期为2，又当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，即()f x 在[)3,4上为增，[]4,5上为减。

所以在[)1,0-上为增，[]0,1上为减，
cos2sin 2<所以)2(sin )2(cos f f >。

9、答案：选C 。

提示：sin 2
sin 22sin x x x
==±时，不成立，故不能用均值不等
式。

故利用其单调性求解。

10、答案：选A 。

()32
2
2
2
33[()]()log 6log 6log 33y f x f x x x x =+=++=+-，
注意到为符合函数，定义域为[][]31,3,log 0,1x x ∈∴∈，故最大值为13。

11、答案：选D 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设
644
()()()
555a f f f ==-=-，311
()()()
222
b f f f ==-=-，
51
()()22
c f f ==<0，∴c a b <<，选D.
12、答案：B 。

提示：令f(x)= x 2
―(a 2
+b 2
―6b)x+ a 2+b 2
+2a―4b+1，则由题意有f(0)=
a 2+
b 2+2a―6b+1≤0且f(1)=2a+2b+2≥0，即(a+1)2+(b―2)2
≤4且a+b+1≥0，在直
角坐标平面aOb 上作出其可行域如图所示，而a 2+b 2+4a=(a+2)2+b 2
―4的几何意义为
|PA|2
―4（其中P(a ，b)为可行域内任意的一点，A (―2，0)). 由图可知，当P 点
在直线l ：a+b+1=0上且AP ⊥l 时取得最小值；当P 点为AC(C 为圆(a+1)2+(b―2)2
≤4
的圆心)的延长线与圆C 的交点时达到最大值. 又A 点的直线l 的距离为1
2
，
|AC|=5，所以a 2+b 2+4a 的最大值和最小值分别为―72和(5+2)2
―4=5+4 5.故选B ．
13、答案：>0a 。

直线10x ay --=过定点()1,0， 画出区域20
1
x y x +≥⎧⎨
≤⎩后，让直线10x ay --=
绕()1,0旋转得到不等式表示的平面区域，
平移直线30x y +=观察图象可知，必须满足直线10x ay --=的斜率1
>0a
才符合题意，故实数a 的范围是>0a 。

14、答案：
4
5
联想线性规划问题的求解方法，先考虑
d =最小值，画出可行域（图略），可知d 的最小值对应点（－1，－2）到直线230
x y
++=
，所以，正确答案为2
455⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
15、答案: 2
2
解析: 若x ≤22y x y +,则t =x ,t 2=x 2
≤x ·2
2y x y +≤xy xy 2=21.故t ≤22,
当且仅当x =y =
22
时取“＝”； 若22y x y +≤x ,则t =22y x y +,t 2=(22y x y +)2
≤2
2y x xy +≤21.
故t ≤
22，当且仅当x =y =22时取“＝”.综上可知,当x =y =2
2时,t 取最大值为
2
2. 16、答案：8h 。

解：这批货物从A 市全部运到B 市的时间为
)(8400
16400240016400)
20(164002h v v v v v v t =⋅≥+=+=。

17、解：当0<a 时，解为a
a
x a
a
24332433--≤
≤-+；当0=a 时，解
为3
3≤
x ； 当43
0<
<a 时，解为a
a
x a a
x 24332433--≤
-+≥或；
当4
3
≥
a 时，解为R. 18、解：（1）由1
)(+=n k
n g ，当n ＝0时，由题意，可得k ＝8，
所以)10100()(n n f +=n n 100)18
10(-+-
． （2）由0001100)1
8
10)(10100()(=-+-
+=n n n n f 80- 52092800001)1
91(800001)110(=⨯-≤+++-=++n n n n ． 当且仅当1+n 1
9
+=n ，即n ＝8时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.
19、解：⑴ 不等式t x x +-32
＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈∴⎩
⎨⎧==+t m m 31得
⎩⎨
⎧==2
2
t m ⑵ f(x)=44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22
a a ≥≥
又0log log )
32()
23(2
2
＜x x
a t x mx
a
+--++-= ，
由2≥a ，可知0＜x x 322
+-＜1
由2
230x x -<， 得0＜x ＜23
由2
2310x x -+> 得x ＜21或x ＞1
故原不等式的解集为{x|0＜x ＜21或1＜x ＜
2
3
} 20、解(1) 函数y=x+x
b 2(x>0)的最小值是2b 2,则2b
2=6, ∴b=log 29.
(2)设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((22
212
12221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+.
当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22
x c x +在[4c ,+∞)上是增函数；
当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22
x
c x +在(0,4c ]上是减函数.
又y=22
x
c x +是偶函数,于是,该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－
4
c ,0)上是增函数.
(3)可以把函数推广为y=n n
x a x +(常数a>0),其中n 是正整数.
当n 是奇数时,函数y=n n
x
a x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增
函数,
在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数. 当n 是偶数时,函数y=n
n
x
a x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n
a 2,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数.
F(x)= n x x )1(2
++n x x
)1
(2+ =
)1()1()1()1(323232321220
n n
n n r n r n r n n n n n n n x
x C x x C x x C x x C ++++++++
----
因此F(x) 在 [
21
,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当x=21或x=2时, F(x)取得最大值(29)n +(4
9)n
；
当x=1时F(x)取得最小值2n+1
.
21、解：(1)由题意2n n n S a =
得1112
n n n S a +++= 两式相减得()()111211n n n n n a n a na n a na +++=+--=即
所以()121n n n a na +++=
再相加121222n n n n n n na na na a a a ++++=+=+即 所以数列{}n a 是等差数列．
又
1111
02
a a a =
∴= 又21a = 1n a n ∴=-
所以数列{}n a 的前n 项的和为()122
n n n n n S a -=
=．
()()()2
01211112222111111,2,22
!2r
n
r n n
n
n n
n
r
r n r r
r C C C C C n n n n n n n r C r n n r n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++++
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
--+⎛⎫=⋅<= ⎪⎝⎭
1
11111112112212242212
n n
n
n n +⎛⎫
- ⎪⎛
⎫⎛⎫
⎝⎭
∴+<+++
+==-< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
-
而01
1131222
n
n n C C n n
⎛⎫+≥+⋅= ⎪
⎝
⎭
∴ 23≤1
1112n a n a ++⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
2<.
22、解：（1）由题意知，1x 、2x 是关于x 的一元二次方程012
=++x ax 的两个实数根，故有12x x +＝1a -
，1x 2x ＝1
a
，1x ＋2x ＝－1x 2x ，即12(1)(1)1x x ++=。

……3分
（2）关于x 的一元二次方程
012=++x ax 的两个实数根是1x 、2x ，则有 041≥-=∆a ，又0>a ，所以≤<a 041。

由1212
1414x x a x x a ⎧+=-≤-⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩
， (5)
分
1212(1)(1)20(1)(1)10x x x x +++≤-<⎧⎨
++=>⎩，1210
10
x x +<⎧⎨+<⎩，即11-<x ，12-<x 。

……7分
又由（1）知，12
1
11x x =
-+，即 2211x x x +-=，=21x x 211x +-，，2
1010
11x -≤<， ……10分
121a x x =
=22
21x x --=221()x --21x ＝－2211()2x ++14，当2112x =-时，a 取最大值14，又0a >，所以a 的取值范围是1(0,]4
10、已知函数1)(2
++=bx ax x f （a ，b 为为实数），R x ∈． （1）若函数)(x f 的最小值是0)1(=-f ，求)(x f 的解析式；
（2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围；
（3）若0>a ，)(x f 为偶函数，实数m ，n 满足0<⋅n m ，0>+n m ，定义
函数⎩
⎨⎧<-≥=0,)(0
,)()(x x f x x f x F 当当，试判断()()F m F n +值的正负，并说明理
由．
解:（1）由已知01=+-b a ， 且12-=-
a
b
， 解得1=a ，2=b ， ∴ 函数)(x f 的解析式是
12)(2++=x x x f ……………2分
（2）在（1）的条件下，()f x x k >+，即2
10x x k ++->
从
而
2
1k x x <
++
在区间
[]
3,1--上恒成
立， …………………………4分
此时函数2
1y x x =++在区间[]3,1--上是减函数，且其最小值为1，
∴
k
的
取
值
范
围
为
(),1-∞. …………………………8分
（3）∵ )(x f 是偶函数，∴ 0=b ，∴ 1)(2
+=ax x f ，
由0<⋅n m 知m 、n 异号，不妨设0>m ，则0<n ，
又由0>+n m 得0>->n m
)()1(1)()()()(2222n m a an am n f m f n F m F -=+-+=-=+ ………
………10分
由0>->n m 得2
2
n m >，又0>a ，得0)()(>+n F m F ， ∴ ()()F m F n +的值为正．。