《应用数学基础》 (谢政 著) 课后习题答案 国防工业出版社习题2解答

⎡λ + α ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 λ +α 0 0
1 0 λ +α 0
0 ⎤ 1 ⎥ ⎥． 0 ⎥ ⎥ λ +α ⎦
+ 3i ( −1)] 0 −8 ⎤ [[ 2 −(λ + 1) λ + 11⎤ ⎡ 1 ⎡λ − 3 2 i ( −1)] 1,2 ⎢ ⎥ [ ] 0 →⎢ −8 ⎥ 解：(1) ⎢λ − 3 ⎥ ⎢ −3 λ + 1 −6 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ λ λ − + − + 2 0 5 2 0 5 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2) 设目前农村人口与城镇人口相等，即 ⎢
解 (1) ⎢
q ⎤ ⎡ xn ⎤ ⎡ xn +1 ⎤ ⎡1 − p =⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎣ yn +1 ⎦ ⎣ p 1 − q ⎦ ⎣ yn ⎦ −q q ⎤ λ −1+ p ⎡1 − p = = (λ − 1)(λ − 1 + p + q) , ⎥ −p λ −1+ q ⎣ p 1− q⎦
Aα = λα , A α = A
m
m −1
( Aα ) = Am −1λα = λ Am −1α = λ mα
7. 将下列矩阵酉对角化．
A−1α = λ −1α
− 2 ，对应的特征向量分别为 (0,1, −i ) T , ( 2i,1, i ) T , (− 2i,1, i ) T ，由于此三个向量分
(2)
λI − ⎢
λ1 = 1, λ2 = 1 − p − q, ξ1 = ( q, p ) T , ξ 2 = (1, −1)T ,因此
q ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 − p ⎢ p −1⎥ ⎢ p 1 − q ⎥ ⎢ p −1⎥ = ⎢ 0 1 − p − q ⎥ , ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
课
9. 设 A 是 Hermite 矩阵，证明存在 t > 0 ，使得 A + tI 是正定 Hermite 矩阵．
⎡λ1 ⎢ 证 因为 A 是 Hermite 矩阵，所以存在酉矩阵 P ，使得 P AP = ⎢ ⎢ ⎣
H
后
4
其中 λi 为 A 的特征值， 且 λi 为实数， i = 1,
设 A 最小的特征值是 λk ， 取 t = 1 − λk ， ,n ．
2
(n − 1) + i ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥． 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦
答
(n − 1) − i
案
解 记 f ( n) =
(n − 1) + i 0 ，行列式按照最后一列展开则得 0 1
到递推关系式： f (n) = f (n − 1) − (n − 1) − 1 ， n ≥ 2 ．且 f (1) = 1, f (2) = −1 ．所以 当 n ≥ 2 均有 f ( n ) < 0 ．注意到实际上 f ( k ) 就是矩阵的 k 级顺序主子式，故当 n = 1 时 矩阵为正定的；当 n ≥ 2 时，矩阵为不定的． 13. 求下列 λ 矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子和等价标准形．
案
f = x H Ax, x = ( x1 , x2 , x3 )
网
⎡ −1 i 0 ⎤ ⎢ ⎥ 解 该二次型的矩阵为 A = −i 0 −i ，则二次型可记为 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 0 1 i ⎣ ⎦
T
⎡ 1 ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 ⎢− 2 ⎣
1 3 i 3 1 2
1 ⎤ ⎥ 6 ⎥ 2i ⎥ − ． 6⎥ ⎥ 1 ⎥ 6 ⎥ ⎦ ⎤ ⎥， ⎥ λn ⎥ ⎦
课
x 0 ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡ 0.5⎤ ⎡ xn +1 ⎤ ⎡ xn ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 n ⎡ 0⎤ ⎢ y ⎥ = A ⎢ y ⎥ = A ⎢ y ⎥ = ⎢ p −1⎥ ⎢ 0 1 − p − q ⎥ ⎢ p −1⎥ ⎢ 0.5⎥ = ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n +1 ⎦ ⎣ n⎦ ⎣ 0⎦ ⎣
即为所求．
1 6 2 3 i 6
i ⎤ 3⎥ ⎥ −i ⎥ ⎥ 3⎥ 1 ⎥ ⎥ 3⎦
8．求二次型 f = − x1 x1 + ix1 x2 − ix2 x1 − ix2 x3 + ix3 x2 − x3 x3 成为标准形的酉变换，并判 断 f 是否是正定二次型．
答
A 的所有特征值为 1, −1, −2 ．显然此二次型不是正定的．求得变换矩阵 P 为
n
−1
⎡2 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ 2. 设矩阵 A = 3 1 x 可相似对角化， 求 x . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4 0 5 ⎣ ⎦
解
后
λ I − A = (λ − 1)2 (λ − 6)
1
⎡ 2 −1 2 ⎤ ⎢ 3. 已知 p = (1,1, −1) 是矩阵 A = 5 的一个特征向量. a 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 b −2 ⎦ ⎥ ⎣
λ I − A = (λ + 1)3 , rank( − I − A) = 2 ,不可对角化.
4. 设 3 阶 Hermite 矩阵 A 的特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1 ， 对应于特征值 1 的特 征向量为 p1 = (1, 2i, 2) T , p2 = (2i,1, −2) T ， 求 A . 解 设对应于 λ3 = −1 的特征值为 x = ( x1 , x2 , x3 ) T ，则由正交性有
⎡0 0 0 ⎤ ⎥ B=⎢ ⎢1 0 3 ⎥ ⎢ ⎣0 1 −2 ⎥ ⎦
（2） A ∼ B, A + I = B + I = −1 6. 设 λ 是 A ∈
m n× n
的特征值,证明
−1
(1) λ m 是 A 的特征值, m 为任一正整数； (2) 若 A 可逆，则 λ −1 是 A 特征值. 证
−1
网
答
q ⎤ ⎡ q 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡q 1 ⎤ ⎡1 − p ⎢ p 1 − q ⎥ = ⎢ p −1⎥ ⎢ 0 1 − p − q ⎥ ⎢ p −1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
−1
案
⎡ −1 0 −1⎤ ⎢ −3 0 − x ⎥ ， I −A=⎢ 考虑 λ = 1 ， ⎥ 由于 3 − rank( I − A) = 2, rank( I − A) = 1 ，x = 3 . ⎢ ⎣ −4 0 −4 ⎥ ⎦
H H H
11. 给出 Hermite 矩阵 A 为半正定、负定和半负定的类似于定理 2.10 的等价判断 方法. 12. 判定 Hermite 矩阵 A 的正定性，其中
1 1+ i 2 + i ⎡ ⎢ 1− i 1 0 ⎢ A = ⎢ 2−i 0 1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ (n − 1) − i 0 1 1− i 2−i 1+ i 2 + i 1 0 0 1 0 0
习题 2 答案
1. 在某国, 每年有比例为 p 的农村居民移居城镇, 有比例为 q 的城镇居民移居农 村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把 n 年后农村人口和城镇 人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn ( xn + yn = 1) . (1) 求关系式 ⎢
⎡ xn +1 ⎤ ⎡x ⎤ = A ⎢ n ⎥ 中的矩阵 A ； ⎥ ⎣ yn +1 ⎦ ⎣ yn ⎦ ⎡ x0 ⎤ ⎡0.5⎤ ⎡x ⎤ = ⎢ ⎥ ，求 ⎢ n ⎥ . ⎥ ⎣ yn ⎦ ⎣ y0 ⎦ ⎣0.5⎦
别属于不同的特征值，故它们已两两正交，只需分别单位化，得
课
η1 = (0,
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 令P = ⎢ ⎢ 2 ⎢ i ⎢− 2 ⎣
后
答
显然此矩阵为 Hermite 矩阵， 故可酉对角化． 求得矩阵的特征值为 0， 2 ， 解 （1 ）
1 T i 2i 1 i T 2i 1 i T ,− ) ，η 2 = ( , , ) ， η3 = ( − , , ) ． 2 2 2 2 2 2 2 2
T
(1) 求参数 a , b 及特征向量 p 所对应的特征值； (2) 问 A 能否相似对角化？并说明理由.
⎡ 2 −1 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎧ −1 = λ0 ⎧λ0 = −1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ , ⎪ 2 + a = λ , ⎪ a = −3 解 5 a 3 ⎥ ⎢ 1 ⎥ = λ0 ⎢ 0 ⎨ ⎢ ⎥ ⎨ ⎪ ⎪ ⎢ ⎢ ⎣ −1 b − 2 ⎥ ⎦⎢ ⎣ −1⎥ ⎦ ⎣ −1⎥ ⎦ ⎩1 + b = −λ0 ⎩ b = 0
1 ≤ k ≤ n ．则 t + λi = 1 + (λi − λk ) ≥ 1 > 0 ， i = 1,
且
, n ．显然 A + tE 是 Hermite 矩阵，
⎡t + λ1 P ( A + tE ) P = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
H
⎤ ⎥， ⎥ ⎥ t + λn ⎦
于是 A + tE 为正定的 Hermite 矩阵． 10. 证明相合变换不改变 Hermite 矩阵的正定性． 证 x ( B AB ) x = ( Bx) A( Bx)
T T
二者单位正交化得 η1 = (
1 1 2 i T i T , 0, − ) ，η2 = ( , , ) ．当 λ = −2 时，求得 2 2 6 3 6
T
属于 −2 的特征向量为 ( −1,1, i ) ．将其单位化得η3 = (
i −i 1 T , , ) ．于是矩阵 3 3 3
⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢ P=⎢ 0 ⎢ ⎢ i ⎢− ⎣ 2
−1
网
−2 ⎤ ⎡1 ⎡ 1 2i ⎢ ⎢ A = ⎢ 2i 1 2 ⎥ ⎥ ⎢0 ⎢ ⎣ 2 −2 2i + 1⎥ ⎦⎢ ⎣0 8 ⎡ 5 ⎢ 13 13 ⎢ 8 5 =⎢ ⎢ 13 13 ⎢ 4 8 4 ⎢ + i − − 8i ⎢ 13 13 ⎣13 13
答
案
0 1
0 ⎤ ⎡ 1 2i −2 ⎤ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 2i 1 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − + 0 −1⎥ 2 2 2i 1 ⎦⎣ ⎦ 4 8 ⎤ − i 13 13 ⎥ ⎥ 4 8 ⎥ − + i 13 13 ⎥ ⎥ 3 ⎥ ⎥ 13 ⎦
2
−1
解 （1） AP = PB ，令
2
⎡a b B=⎢ ⎢d e ⎢g h ⎣
2
c⎤ f⎥ ⎥， ⎥ k⎦
2 2
⎡a b c ⎤ ⎢d e f ⎥ AP = [ Ax A x 3 Ax − 2 A x ] = PB = [ x Ax A x ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ g h k ⎣ ⎦ 2 2 2 = [ax + dAx + gA x bx + eAx + hA x cx + fAx + kA x ]
2 2 ⎤ i − i⎥ 2 2 ⎥ 1 1 ⎥ ，即为所求． 2 2 ⎥ ⎥ i i ⎥ 2 2 ⎥ ⎦
案
⎡ 0 i 1⎤ ⎥ ⎢ (1) −i 0 0 ； ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 1 0 0 ⎣ ⎦
⎡0 1 −i ⎤ ⎢ i⎥ (2) 1 0 ⎢ ⎥ ． ⎢ ⎣ i −i 0 ⎥ ⎦
网
3
（2）显然此矩阵为 Hermite 矩阵，故可酉对角化．求得矩阵的特征值为 1 （两重） 与 −2 ．当 λ = 1 时，求得属于 1 的全部线性无关的特征向量为 (1, 0, −i ) 与 (0,1, i ) ，将
−1
课
后
5. 已 知 3 阶 矩 阵 A 与 三 维 列 向 量 x ， 使 得 x , Ax , A x 线 性 无 关 ， 且 满 2 x .
求 3 阶矩阵 B ， 使 A = PBP ； (2) 计算行列式 A + I . (1) 记 P = [ x Ax A x ] ，
课
0 0⎤ ⎡ λ − 3 −1 0 −8 ⎤ ⎡λ − 3 ⎢ 4 λ +1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥； λ 3 1 6 − + − (1) ⎢ ⎥ ； (2) ⎢ −7 −1 λ − 2 −1⎥ ⎢ λ + 5⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ λ⎦ 6 1 ⎣ 7
后
网
5
λ + 2⎤ 0 1 ⎡ 0 ⎢ 0 λ+2 1 0 ⎥ ⎥ ；(4) (3) ⎢ ⎢ 1 λ+2 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 ⎦ ⎣λ + 2
⎧ p1H x = 0, ⎧ x1 − 2ix2 + 2 x3 = 0, T T 解得 x = ( x1 , x2 , x3 ) = ( −2, 2, 2i + 1) ⎨ H ⎨ ⎩ p2 x = 0, ⎩−2ix1 + x2 − 2 x3 = 0.
−2 ⎤ −2 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 2i ⎡ 1 2i ⎢ 2i 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 2 ⎥ A ⎢ 2i 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣ 2 −2 2i + 1⎥ ⎦ ⎣ 2 −2 2i + 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 −1⎥