整式的乘除知识点及题型复习

整式运算
考点1、幂的有关运算
①=⋅n
m a a （m 、n 都是正整数）
②
=n m a )( （m 、n 都是正整数）
③
=n ab )( （n 是正整数） ④=÷n
m a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0
a （a ≠0）
⑥
=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例：在下列运算中，计算正确的是（ ）
（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =
（C ）824a a a ÷=
（D ）2224()ab a b =
练习：
1、
()()10
3
x x -⨯-=________.
2、()()()3
2
10
1036a a a a -÷-÷-÷ = 。

3、2
3
132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
= 。

4、322(3)---⨯- = 。

5、下列运算中正确的是（ ）
A ．336x y x =；
B ．235()m m =；
C ．22
122x x
-=
； D ．633
()()a a a -÷-=- 6、计算()
8p
m n a a
a ⋅÷的结果是（ ）
A 、8
mnp a - B 、()8
m n p a ++ C 、8
mp np a
+- D 、8
mn p a
+-
7、下列计算中，正确的有（ ）
①325a a a ⋅= ②()()()4
2
2
2ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()7
52a a a -÷=。

A 、①②
B 、①③
C 、②③
D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()3
2x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）
A 、①
B 、①②
C 、①②③④
D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102
a b
+的值；
1、 已知2a x =，3b
x =，求23a b
x
-的值。

2、 已知36m
=，92n
=，求241
3
m n --的值。

3、 若4m
a
=，8n a =，则32m n a -=__________。

4、 若5320x y --=，则531010x
y ÷=_________。

5、 若31
29
327m m +÷=，则m =__________。

6、 已知8m
x =，5n
x =，求m n
x -的值。

7、 已知102m
=，10
3n
=，则3210m n +=____________．
提高点2：同类项的概念
例： 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值． 练习：
1、已知31323m x y -与521
14n x y +-的和是单项式，则53m n +的值是______.
经典题目：
1、已知整式210x x +-=，求322014x x -+的值。

考点2、整式的乘法运算
例：计算：31(2)(1)4
a a -⋅- = ．
解：)141()2(3-⋅-a a ＝1)2(41)2(3⋅--⋅-a a a ＝a a 22
1
4+-.
练习：
8、 若()()
322
61161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。

9、 已知5a b -=，3ab =，则(1)(1)a b +-的值为（ ）.
A ．1-
B ．3-
C ．1
D ．3
10、
代数式
()()22
2235yz xz y xz z x xyz +-+++的值（ ）.
A ．只与,x y 有关
B ．只与,y z 有关
C ．与,,x y z 都无关
D ．与,,x y z 都有关
11、
计算：(
)()2008
2008
3.140.1258π-︒+-⨯的结果是（ ）.
考点3、乘法公式
平方差公式：()()=-+b a b a
完全平方公式：()=+2b a ，
()=-2b a 例：计算：()()()2
312x x x +---
分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项. 解： ()()()2
312x x x +---=2269(22)x x x x x ++---+ =226922x x x x x ++-++-=97x +.
例：已知：3
2
a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ．
分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a b +）与ab ，以便求值.
解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242
3
21=+⨯-. 练习：
1、（a+b －1）（a －b+1）= 。

2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A ．（a+b ）（b+a ）
B ．（－a+b ）（a －b ）
C ．（13a+b ）（b －13
a ） D ．（a 2－
b ）（b 2+a ）
3．下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；
③（3－x ）（x+3）=x 2－9； ④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5
5、已知 2()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2
()a b -的值.
6、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

7、若2(9)(3)(x x ++ 4
)81x =-，则括号内应填入的代数式为（ ）.
A ．3x -
B ．3x -
C ．3x +
D ．9x - 8、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。

9、若M 的值使得
()2
2421
x x M x ++=+-成立，则M 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10、 已知
0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

经典题目：
11、 已知2
2))((nb mab a b a b a +-=+-，求 m,n 的值。

12、0132
=++x x ，求（1）221x x +
（2）
44
1x x +
13、一个整式的完全平方等于2
91x Q ++（Q 为单项式），请你至少写出四个Q 所代表的单项式。

考点4、利用整式运算求代数式的值
例：先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中1
33
a b ==-，．
1、()()()()5232224x y x y x y x y x +++-+÷⎡⎤⎣
⎦，其中2x =，3y =-。

2、若()()32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。

3、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
4、已知2083-=
x a ，1883-=x b ，168
3
-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。

5、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值。

6、先化简再求值2
(2)(2)(3)(39)x x x x x x +---++,当4
1
-
=x 时，求此代数式的值。

7、化简求值：（1）（2x-y ）13÷[（2x-y ）3]2÷[（y-2x ）2]3
，其中（x-2）
2
+|y+1|=0.
考点5、整式的除法运算
例：已知多项式432237x x ax x b -+++含有同式22x x +-，求a
b
的值。

练习：
1、已知一个多项式与单项式547x y -的积为()2
577432212872x y x y y x y -+求这个多项式。

2、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式。

方法总结：①乘法与除法互为逆运算。

②被除式=除式×商式+余式
3、已知多项式22331x ax x +++能被21x +整除，且商式是31x +，则a 的值为（ ）
A 、3a =
B 、2a =
C 、1a =
D 、不能确定
4、31121233n n n a a a +--⎛⎫⎛⎫
-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
练习：()()()()32322524x y x y x y x y x +--+-÷⎡⎤⎣⎦
12、
已知一个多项式与单项式314xy -的积为63345313
428
x y x y xy -+-，求这个多项式。

6、若n 为正整数，则()
()1
555n n
+⎡⎤-÷-=⎣⎦
（ ） A 、15n + B 、0 C 、15n +- D 、1-
7、 已知3221
4369
m n a b a b b ÷=，则m 、n 的取值为（ ）
A 、4,3m n ==
B 、4,1m n ==
C 、1,3m n ==
D 、2,3m n ==
经典题目：
8、已知多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。

① 4a c +的值。

②求22a b c --的值。

③若,,a b c 均为整数，且1c a ≥≥，试确定,,a b c 的大小。

考点6、定义新运算
例8：在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解． 练习：
1、对于任意的两个实数对),(b a 和),(d c ，规定：当d b c a ==,时，有),(b a =),(d c ；运算“⊗”为：
),(),(),(bd ac d c b a =⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是实数，若)4,2(),()2,1(-=⊗q p ，则_______),()2,1(=⊕q p ．
2、现规定一种运算：*a b ab a b =+-，其中a b ，为实数，则()**a b b a b +-等于（ ）
A ．2
a b - B ．2b b -
C ．2
b
D ．2
b a -
考点7、因式分解
例（1）分解因式：29xy x -= ． （2）分解因式：a 2b-2ab 2+b 3=____________________. 1、
2328a bc a b +
2、已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。

3、()
()3
2
2
22()a a b a b a ab b a -+---
三、课后作业
1、 （1）()2
2
3
211482x y xyz xy ⎛⎫⎛⎫
-⋅-÷ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ （2）()()()2232x y x y y x y +---
（3）
()()22
2121a a -+ （4）2
200720092008⨯-（运用乘法公式）
2、（5分）先化简，再求值：
22
[(2)(2)2(2)]()xy xy x y xy +---÷，其中21(10)025
x y -++=.
3、小马虎在进行两个多项式的乘法时，不小心把乘以()
2x y -，错抄成除以(
)
2x y -，结果得(
)
3x y -，
则第一个多项式是多少？
4、梯形的上底长为(
)
43n m +厘米，下底长为(
)
25m n +厘米，它的高为(
)
2m n +厘米，求此梯形面积
的代数式，并计算当2m =，3n =时的面积.
5、如果关于x 的多项式
()()()
2
2232125546x
mx x x mx x mx x +-++-+---的值与x 无关，你能确定m
的值吗？并求()245m m m
+-+的值.
6、已知
1234567822,24,28,216,232,264,2128,2256========，…… （1）你能根据此推测出64
2的个位数字是多少？
（2）根据上面的结论，结合计算，试说明()()()()()()24832212121212121-++++⋅⋅⋅+
的个位数字是多少？
7、阅读下文，寻找规律：
已知1x ≠，观察下列各式：()()2
111x x x
-+=-，
()()23111x x x x -++=-，()()234111x x x x x -+++=-…
（1）填空：()1(x -
8)1x =-.
2342007
12222 (2)
++++++=（2）观察上式，并猜想：①
()()211n
x x x x -+++⋅⋅⋅+=______. ②()()10911x x x x -++⋅⋅⋅++=_________.
（3）根据你的猜想，计算：
①()()234512122222-+++++=______.
② ______.
8、我国宋朝数学家扬辉在他的著作《详解九章算法》中提出表1，此表揭示了
()n
a b +
（n 为非负数）展开式的各项系数的规律. 例如：
()0
1
a b +=它只有一项，系数为1； ()
1
a b a b
+=+它有两项，系数分别为1，1；
()
2
22
2a b a ab b +=++它有三项，系数分别为1，2，1；
()
3
3223
33a b a a b ab b +=+++它有四项，系数分别为1，3，3，1；……
根据以上规律，
()4
a b +展开式共有五项，系数分别为__________.
9．观察下列各式：
23456
,,2,3,5,8,x x x x x x …….试按此规律写出的第10个式子是______. 10．有若干张如图2所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(
)
2a b +，宽为(
)
a b +
的长方形，则需要A 类卡片________张，B 类卡片_______张，C 类卡片_______张.
图2。