勾股定理的应用 湘教版《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》第2课时
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2
2
3 a. 因此三角形的高为 2
2
思
考
勾股定理在实际问题中有着广泛的应用.
怎样应用勾股定理解决实际问题呢？ 这节课我们就一起来学习利用勾股定理 解决实际问题的方法.请看下面的问题.
问题1 ：
移梯子
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子
AC 靠在墙上，使梯脚C 离墙脚B的距
离为1.5m，准备在墙上安装电灯. 当 他爬上梯子后，发现高度不够，于是 将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到
同理可得，
图1-17
A′B=
(m)
因此A′A=3.87-3.71=0.16(m) 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m， 而不是向上移动0.5m.
问题2： “引葭赴岸” 例2 “今有方池一丈，葭 生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐. 问水深，葭长 各几何？”意思是：有一个边 长为10尺的正方形池塘，一棵 芦苇生长在池的中央，其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与 水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？
利用
勾股 定理列出方程来解答.
解 如图1-18，设水池深为x尺， 则AC=x尺， AB′=AB=(x+1)尺. 因为正方形池塘边长为10尺， 所以 B′C = 5尺.
在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得 图1-18 x² +5²=(x +1)² ， 解得 x =12.
则芦苇长为13尺.
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
宋刻《九章算术》书影
分析
根据题意，画出水池截面
示意图，如图1-18. 设AB为芦苇， BC为芦苇出水部分长1尺，将芦苇 拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸 边B′.则AB′= AB ，AC= AB-BC ， 图1-18 而CB′= 5 尺.即在Rt△AB′C中， 已知一边和其它两边的数量关系，
求三角形的其它边的长，因此可以
1. 如图，一艘渔船以30海里/h 的速度由西向东 追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方 向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C 在 船的北偏东30°方向. 已知以小岛C为中心，周 围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶 鱼群是否有触礁的危险？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第2课时 勾股定理的应用
湘教版八年级数学下册第12、13页
温习勾股定理 1.勾股定理：直角三角形 两直角边 a，b的平方和等 +b ² =c² . 于 斜边 c的平方， a² 2.利用勾股定理要分清所求的边是直角三角形的
斜边还是直角边. +b ² ； 若求斜边，则直接计算:c² = a² -a². -b²，或b² 若求直角边，则计算：a² = c² = c²
温习勾股定理 3.如图，已知等边三角形ABC中的边长为a， 求三角形ABC的高. A
B
C
Hale Waihona Puke 温习勾股定理A解 作AD⊥BC，垂足为D.
∵ △ABC是等边三角形， 1 ∴ BD=CD= a . 2 在 Rt△ABD中，根据勾股定理得，
B
D
C
3 2 1 AD² =AB² -BD² =a a a . 4 2 3 a. ∴ AD=
C′处.那么，梯子顶端是否往上移动
0.5m 呢？
图1-16
左图是由图1-16抽象出示意图1-17.
则梯子向上移动的距离
AA′=
AB-A′B
.
图1-17
怎样求出AB和A′B的长度呢？
在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得， AB= (m)
在Rt△A′BC′中，AC=4m，BC=1m，
40 由已知得 AB=30× 20 （海里）， 60
在Rt△CBD中，∠BCD=30°， （海里） D
(海里)
因为CD＞10 海里，即轮船航行不在以C为中心，
周围10海里范围以内，所以继续航行不会触礁.
2. 如图，AE是位于公路边的电 线杆，高为12m，为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部 门在公路的另一边竖立了一根高 为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电 线.已知两根杆子之间的距离为 8m，电线CD 与水平线AC 的夹角 为60°.求电线CDE 的总长L（A， B，C 三点在同一直线上，电线 杆、水泥杆的粗细忽略不计）.
所以L= ED+CD=10+ 4 3 （m ）.
回顾与反思 1.应用勾股定理解决有关直角三角形的问题有两种 题型：一种是已知两边的长求第三边的长； 一种是 已知边与边之间的关系求边或线段的长 .
2.怎样应用勾股定理解决实际问题？
画出示意图 找准或构造直角三角形 分析边与边之间的关系 根据勾股定理列式或列方程解答.
解
过D点作DM⊥AE，垂足为M.
M
则四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，
所以ME=EA-MA=12-6=6(m).
在Rt△EMD中，由勾股定理得
DE EM 2 DM 2 62 82 10(m).
在Rt△DBC中,∠CDB=30°, 设BC=x，DC=2x，由勾股定理得, x2+62=(2x)2 解得 x= 2 3 .
2
3 a. 因此三角形的高为 2
2
思
考
勾股定理在实际问题中有着广泛的应用.
怎样应用勾股定理解决实际问题呢？ 这节课我们就一起来学习利用勾股定理 解决实际问题的方法.请看下面的问题.
问题1 ：
移梯子
如图1-16，电工师傅把4m长的梯子
AC 靠在墙上，使梯脚C 离墙脚B的距
离为1.5m，准备在墙上安装电灯. 当 他爬上梯子后，发现高度不够，于是 将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到
同理可得，
图1-17
A′B=
(m)
因此A′A=3.87-3.71=0.16(m) 即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m， 而不是向上移动0.5m.
问题2： “引葭赴岸” 例2 “今有方池一丈，葭 生其中央，出水一尺，引葭赴 岸，适与岸齐. 问水深，葭长 各几何？”意思是：有一个边 长为10尺的正方形池塘，一棵 芦苇生长在池的中央，其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与 水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？
利用
勾股 定理列出方程来解答.
解 如图1-18，设水池深为x尺， 则AC=x尺， AB′=AB=(x+1)尺. 因为正方形池塘边长为10尺， 所以 B′C = 5尺.
在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得 图1-18 x² +5²=(x +1)² ， 解得 x =12.
则芦苇长为13尺.
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
宋刻《九章算术》书影
分析
根据题意，画出水池截面
示意图，如图1-18. 设AB为芦苇， BC为芦苇出水部分长1尺，将芦苇 拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸 边B′.则AB′= AB ，AC= AB-BC ， 图1-18 而CB′= 5 尺.即在Rt△AB′C中， 已知一边和其它两边的数量关系，
求三角形的其它边的长，因此可以
1. 如图，一艘渔船以30海里/h 的速度由西向东 追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方 向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C 在 船的北偏东30°方向. 已知以小岛C为中心，周 围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶 鱼群是否有触礁的危险？
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第2课时 勾股定理的应用
湘教版八年级数学下册第12、13页
温习勾股定理 1.勾股定理：直角三角形 两直角边 a，b的平方和等 +b ² =c² . 于 斜边 c的平方， a² 2.利用勾股定理要分清所求的边是直角三角形的
斜边还是直角边. +b ² ； 若求斜边，则直接计算:c² = a² -a². -b²，或b² 若求直角边，则计算：a² = c² = c²
温习勾股定理 3.如图，已知等边三角形ABC中的边长为a， 求三角形ABC的高. A
B
C
Hale Waihona Puke 温习勾股定理A解 作AD⊥BC，垂足为D.
∵ △ABC是等边三角形， 1 ∴ BD=CD= a . 2 在 Rt△ABD中，根据勾股定理得，
B
D
C
3 2 1 AD² =AB² -BD² =a a a . 4 2 3 a. ∴ AD=
C′处.那么，梯子顶端是否往上移动
0.5m 呢？
图1-16
左图是由图1-16抽象出示意图1-17.
则梯子向上移动的距离
AA′=
AB-A′B
.
图1-17
怎样求出AB和A′B的长度呢？
在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m， 由勾股定理得， AB= (m)
在Rt△A′BC′中，AC=4m，BC=1m，
40 由已知得 AB=30× 20 （海里）， 60
在Rt△CBD中，∠BCD=30°， （海里） D
(海里)
因为CD＞10 海里，即轮船航行不在以C为中心，
周围10海里范围以内，所以继续航行不会触礁.
2. 如图，AE是位于公路边的电 线杆，高为12m，为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部 门在公路的另一边竖立了一根高 为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电 线.已知两根杆子之间的距离为 8m，电线CD 与水平线AC 的夹角 为60°.求电线CDE 的总长L（A， B，C 三点在同一直线上，电线 杆、水泥杆的粗细忽略不计）.
所以L= ED+CD=10+ 4 3 （m ）.
回顾与反思 1.应用勾股定理解决有关直角三角形的问题有两种 题型：一种是已知两边的长求第三边的长； 一种是 已知边与边之间的关系求边或线段的长 .
2.怎样应用勾股定理解决实际问题？
画出示意图 找准或构造直角三角形 分析边与边之间的关系 根据勾股定理列式或列方程解答.
解
过D点作DM⊥AE，垂足为M.
M
则四边形MABD为矩形，MA=BD=6m，
所以ME=EA-MA=12-6=6(m).
在Rt△EMD中，由勾股定理得
DE EM 2 DM 2 62 82 10(m).
在Rt△DBC中,∠CDB=30°, 设BC=x，DC=2x，由勾股定理得, x2+62=(2x)2 解得 x= 2 3 .