江苏省淮安市淮阴中学泰州市姜堰中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

某某省某某市某某中学、某某市姜堰中学2019-2020学年高二数学下
学期期中试题（含解析）
（考试时间：120分钟 本卷满分：150分）
注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，请您务必将自己的某某、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上．
2．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数1z =-，则复数z 的模为（ ）
A.
B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
直接求复数的模.
【详解】2z ==.
故选：C
【点睛】本题考查复数的模，属于基础题.
2.一物体做直线运动，其位移s (单位: m )与时间t (单位: s )的关系是25s t t =-，则该物体在3t s =时的瞬时速度是
A. 1m /s -
B. 1m /s
C. 2m /s
D. 6m /s
【答案】A
【解析】
【分析】
先对s 求导，然后将3t =代入导数式，可得出该物体在3t s =时的瞬时速度．
【详解】对25s t t =-求导，得52s t '=-，35231/t s m s =∴=-⨯=-'，
因此，该物体在3t s =时的瞬时速度为1/m s -，故选A ．
【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．
3.sin15cos15︒+︒的值为（ ） A. 12
B. 1
C. 2
2
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简，即可求得答案. 【详解】解：sin15cos15︒+︒
2cos1522⎫=+⎪⎪⎭
)sin15cos 45cos15sin 45=+
()1545=+ 60=
=
=故选：C.
【点睛】本题考查利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简求值，考查运算能力.
4.双曲线2214
x y -=的渐近线方程是（ ）
A. y x =
B. y x =±
C. y x =±
D. 12y x =± 【答案】D
【解析】
【分析】 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±. 【详解】双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是12y x =±. 故选：D
【点睛】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.
5.若a,b ∈R ，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C .
充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】根据不等式的性质，
由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；
但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1，
高考 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件，
故选A.
6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．即：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）．
A . 148斤B. 152斤C. 176斤D. 184斤．
【答案】D
【解析】
【分析】
设第一个孩子分配到1a 斤棉，利用等差数列前n 项和公式得8996S =，从而得到1a ，根据等数列的通项公式，即可求出第八个孩子分得斤数．
【详解】设第一个孩子分配到1a 斤棉花， 则由题意得：81878179962
S a ⨯=+
⨯=， 解得165a =，
所以第八个孩子分得斤数为865717184a =+⨯=．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题． 7.已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点为B ，右顶点为A ，若过原点O 作AB 的垂线交椭圆的右准线于点P ，点P 到x 轴的距离为22a c
，则此椭圆的离心率为（ ）
A. 12
C.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由椭圆的方程和性质可得出,0,0,A a B b ，根据斜率的公式可求出AB b k a =-，由椭圆的右准线得出点P 的坐标，进而得出OP k ，再根据两直线垂直的斜率关系，得出a 和b 的关系，再结合222b a c =-和离心率的公式，即可得出椭圆的离心率. 【详解】解：由题可知，椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的焦点在x 轴上， 则,0,0,A a B b ，所以AB b k a
=-， 由于点P 在椭圆的右准线2a x c =上，且P 到x 轴的距离为22a c
， 则222,a a P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以2OP k =， 由题得，OP AB ⊥，则1AB OP k k ⋅=-， 即21b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
，则有2a b =，即224a b =， 而222b a c =-，所以()2224a a c
=-， 整理得：2234a c =，则2234
c a =，即234e =，
解得：2
e =，
故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的方程、准线和简单几何性质，以及直线的斜率和两直线垂直的斜率关系，考查运算能力.
8.函数()22x x
x f x -=+的大致图象为（ ） A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案.
【详解】当()22x x x f x -=+，()()22x x x f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242
f -=
<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B.
【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.
9.边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD △垂直于底面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离为（ ）
A. 263
B. 233
C. 223
D. 63 【答案】A
【解析】
【分析】
取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.
【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，
则DO AC ⊥，BO AC ⊥，
由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，
2AD CD AB BC ∴====， 则22222AC =+=()22222DO BO ==-=
由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，
则DO ⊥平面ABC ，
又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，
∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，
∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =
⨯⨯⨯=△， 则在Rt ABC 中，12222
ABC S =⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为d ，
则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=
⋅△△， 即：1
132233d ⨯=⨯⨯，解得：26d =， 即点C 到平面ABD 的距离为
263
. 故选：A.
【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.
10.已知01a <<，01b <<，且()443a b ab +=+，则2+a b 的最大值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 32
D. 322-【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可得1(1)(1)4
a b --=，令10x a =->，10y b =->，可得1a x =-，1b y =-，14y x =，进一步可得1232a b x x
+=--+，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】()443a b ab +=+，∴44430ab a b --+=，配凑得：44441ab a b --+=，
两边同时除以4得：114ab a b --+=，即1(1)(1)4
a b --=， 令10x a =->，10y b =->，则1a x =-，1b y =-，14y x
=， 所以1212(1)2332a b x y x y x x +=-+-=--+=--+
1
3332x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝
⎭12x x =即2x =时，等号成立）. 故选：C .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
11.下列命题正确的是（ ）
A. 已知直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线//a b ；
B. 已知直线a 垂直于平面α内的任意一条直线，则直线a 垂直于平面α；
C. 平行于同一直线的两条直线平行；
D. 已知a 为直线，α，β为平面，若//a α且a β⊥，则αβ⊥
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐项判断.
【详解】A 选项，若直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线a 与直线b 平行或异面；
B 选项，由直线与平面垂直的概念可知B 正确；
C 选项，平行于同一直线的两条直线平行，C 正确；
D 选项，若//a α，则在平面α内必存在一条直线b 使得//a b ，因为a β⊥，所以b β⊥，又因为b ⊂平面α，所以αβ⊥，D 正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查直线与平面之间的位置关系、线面平行的性质、面面垂直的判定，属于基础题.
12.ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）
A. AB AC →→⋅为定值
B. 2210AC AB +=
C. co 415
s A << D. BAD ∠的最大值为30 【答案】ABD
【解析】
【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A X 围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可.
【详解】对于A ，22
413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；
对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB
∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++
2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc
+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A A A ∴≥-=-， 解得3cos 5
A ≥，故C 错误； 对于D
，2222213cos 4442
c c BAD c c c +-+∠==≥=
c =时，等号成立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,
)2BAD π∠∈
，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.计算：12(0.64)
lg5lg 2-++=__________． 【答案】94
【解析】
【分析】
根据对数和指数幂的运算法则，直接求解即可． 【详解】解：1
2(0.64)lg 5lg 2-++
()1
220.8lg10-⎡⎤=+⎣⎦
()10.81-=+
110.8
=
+ 1018
=+ 514
=+ 94=. 故答案为：94
. 【点睛】本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数幂和对数的运算，考查运算求解能力，是基础题.
14.为了进一步做好社区抗疫服务工作，从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长，则有__________种不同选法．（用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】
根据分步计数原理进行计算.
【详解】首先从6人中选1人担任组长，共有6种选法；然后从剩余5人中选1人担任副组长，共有5种选法.所以从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6530⨯=种选法.
故答案为：30
【点睛】本题考查分步计数原理，属于基础题.
15.已知圆22
:(1)(2)10C x y ++-=，直线:250l kx y k --+=． （1）当2k =时，直线l 被圆C 截得的弦长为__________；
（2）若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点恰为坐标原点O ，则
实数k 的取值X 围是__________．
【答案】
(1). 5
； (2). (]13,3,9⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】
【分析】
（1）由题可知，写出圆C
的圆心和半径以及2k =时的直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离d ，再根据圆的弦长公式求出直线l 被圆C 截得的弦长；
（2）设直线:250l kx y k --+=关于原点(0,0)对称的直线为l '，根据对称的性质求出直线
l '的方程，
由直线l '与圆C 的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l '的距离小k 的取值X 围.
【详解】解：（1）圆22
:(1)(2)10C x y
++-=，可知圆心为()1,2-， 当2k =时，直线:210l x y -+
=，
则圆心到直线l
的距离为：
d =
== 所以直线l 被圆C
截得的弦长为：== （2）设直线:250l kx y k --+=关于原点(0,0)对称的直线为l '，
设直线l '上任意一点(,)x y ，则(,)x y --在直线l 上，
即250kx y k -+-+=，即直线l '的方程为：250kx y k -+-=，
依题意，直线l '与圆22(1)(2)
10x y ++-
=有交点，
≤3k ≤-或139
k ≥， 所以实数k 的取值X 围是：(]13,3,9⎡⎫-∞
-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：5
；(]13,3,9⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式，以及直线关于点对称问题，考查转化思想和运算能力. 16.ABC 中，2AC CB ==，120ACB ∠=︒，E 为AB 中点，点D 在边BC 上，且2CD DB =，CE 与AD 交于点O ．设OB xCA yCB =+，则x y +=__________．
【答案】15
【解析】
【分析】
过D 作DF AB ⊥于点F ，通过比例关系可得25
OD AD =，结合平面向量的线性运算可得3255
OB CB CA =-，进而可求出,x y 的值，即可求出x y +的值. 【详解】解：因为2CD DB =，所以24,33
BD CD ==，过D 作DF AB ⊥于点F ， 则2233EF BE AE ==，设BF x =，则2,3EF x AE x ==，所以AO AD OD AE AD AD AF -==，所以25OD AD =，则2122153553
OB OD DB AD CB AC CD CB =+=+=++ 222132553355CA CB CB CB CA xCA yCB =-+⨯+=-=+，所以23,55
x y =-=， 则15
x y +=. 故答案为:15
.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算.本题的关键是用,CB CA 表示出OB .
四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知1021101211(12)()x x m a a x a x a x -⋅+=++++，若012115a a a a m +++⋯+=-．
（1）某某数m 的值；
（2）求3a 的值． 【答案】（1）2m =；（2）1740-.
【解析】
【分析】
（1）令1x =代入求值即可；
（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】解：（1）令1x =得到0121115a a a a m m +++⋯+=+=-，
所以2m =，
（2）因为101010
(12)(2)(12)2(12)x x x x x -+=-+-,
二项式10(12)x -的通项公式为：10110101
(2)(2)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅， 所以10(12)x x -中含3x 的项为2222231010(2)(2)xC x C x -=-
102(12)x -中含3x 的项为333102(2)C x - 所以2233
31010(2)2(2)1740a C C =-+-=-.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了代入法的应用，考查了数学运算能力.
18.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设33312111log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（1）13n n
a =
；（2）21n n +. 【解析】
【分析】
（1）设数列{}n a 的公比为q ，再利用等比数列的通项公式求解基本量即可.
（2）由（1）可得13n n
a =，代入n
b 再根据等差数列求和公式求解可得12(1)n b n n =+，再裂项求和求解1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ．
由23269a a a =得2232
11()9()a q a q =， 所以219
q =． 由条件可知0q >，故13q =
由12231a a +=得11231a a q +=， 所以113
a = 故数列{}n a 的通项公式为13n n a =
． （2）33312111log log log n n
b a a a =++⋯+ (1)122
n n n +=++⋯+= 故12112()(1)1
n b n n n n ==-++， 所以121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n n +． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解、等差数列求和、裂项相消求和等，属于中档题.
19.在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，侧面11AAC C 为菱形，且160A AC ∠=︒
，1A B =，点O 为AC 中点．
（1）求证：1A O ⊥平面ABC ；
（2）求直线1CC 与平面1A BC 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（215【解析】
【分析】
（1）连接BO ，由于侧面11AAC C 为菱形，2AC =，得12AA =，1
3AO =，由勾股定理得1A O AC ⊥，1A O OB ⊥，再由线面垂直的判定定理可得证；
（2）分别以1OB OC OA ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由线面角的向量求解方法可求得直线1CC 与平面1A BC 所成角的正弦值．
【详解】（1）连接BO ，因为侧面11AAC C 为菱形，2AC =，
所以12AA =，因为点O 为AC 中点，所以1AO =，
又因为160A AC ∠=︒，所以2211112cos 3AO AA AO AA A AO AC =+-⋅∠=⋅，
因为22211
4AA AO AO =+=，所以1A O AC ⊥， 又因为1AO OC ==，ABC 是正三角形，
所以BO AC ⊥，且3BO =
因为2221
16AO BO A B +==，所以1A O OB ⊥，
又因为
1
A O AC
⊥，AC OB O
=，
AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC
所以
1
A O⊥平面ABC，
（2）分别以
1
OB OC OA
，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系．
则()()11
0,0,0,(3,0,0),0,1,0,3),3) O B C A C ，
则
11
(0,1,3),(3,1,0),(3,0,3)
CC BC BA
==-=-，
设(,,)
n x y z
=为平面
1
A BC的一个法向量，则
10
n BA
n BC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即
330
30
x z
x y
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，
令1
x=，则3
y=1
z=，(1,3,1)
n
∴=，
设直线
1
CC与平面1A BC所成角为θ，
1
1
1
|315
sin|cos,|
||||5
|
C
n
n CC
n
C
CC
θ=<>===
⋅
，
所以直线
1
CC与平面1A BC所成角的正弦值为
15.
【点睛】本题考查空间里的线面垂直关系的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.
20.随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施．（如图1）有一半径为40m 的摩天轮，轴心O 距地面50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min ．点P 与点Q 都在摩天轮上，且点P 相对于点Q 落后1min ，当点P 在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心O 为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为x 轴，建立图2所示的平面直角坐标系．
（1）若[]0,3t ∈，求点P 的纵坐标关于时间()min t 的函数关系式()y t ；
（2）若[]
0,3t ∈，求点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，并求5(min)8
t =时，点P 离地面的高度（结果精确到0.123 1.7≈≈） （3）若[]
0,3t ∈，当P ，Q 两点距离地面的高度差不超过3m 时，求时间()min t 的取
值X 围．
【答案】（1）[]2()40cos
,0,33π=-∈y t t t ；（2）[]2()5040cos ,0,33π=-∈h t t t ；40.2m ；（3）3595,,4442
t ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【解析】
【分析】
（1）由题可知，当0min t =时，以OP 为终边的角与2π-
的角终边重合，且OP 转动的角速度为2rad/min 3
π，即可得出min t 时OP 终边所在的角度为232t ππ-，从而得出()y t 的关系式；
（2）由于轴心O 距地面50m ，得出()[]()50,0,3h t y t t =+∈，即可得出点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，从而可求出5()8
h ，即得出点P 离地面的高度；
（3）设Q 点离地面的高度与时间的函数关系式为()g t ，则2()(1)5040sin()36
g t h t t ππ=+=++，03t ≤≤，进而得出P ，Q 两点距离地面的高度差
不超过的不等式，即()()g t h t -23
3t ππ⎛⎫=+≤
⎪⎝⎭出()min t 的取值X 围． 【详解】解：（1）当0min t =时，以OP 为终边的角与2π-
的角终边重合， 且OP 转动的角速度为2rad/min 3
π， 所以min t 时，OP 终边所在角度为
232t ππ-， 所以[]22()40sin()40cos ,0,3323
y t t t t πππ=-=-∈. （2）由题知，点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，
则()()[]()(50)50,0,3h t y t y t t =--=+∈，
[]22()40sin(
)(50)5040cos ,0,3323
h t t t t πππ∴=---=-∈， 当5
(min)8
t =
时， 则5
5()5040cos
5040cos()8
1264
h πππ=-=-+ 5040(cos cos sin sin )6464ππππ
=--
15040(
2222
=--
501)=-
509.840.2(m)=-=．
（3）设Q 点离地面的高度与时间的函数关系式为()g t ， 则2()(1)5040sin(
)36
g t h t t ππ
=+=++，03t ≤≤， 22()()40sin cos 3
63g t h t t t πππ
⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=++⎥ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦
2
3
3t π
π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭
所以21sin 3
32t π
π⎛⎫+≤
⎪⎝⎭，即121sin()2332t ππ-≤+≤，
因为[]0,3t ∈，所以
27,3333t ππππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
， 因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦上递减，在35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递增， 又因为51
sin
62
π=，71sin 62π=-，
所以
5276336t ππππ≤+≤，即3544
t ≤≤， 或
112136336t ππππ≤+≤，即9542
t ≤≤， 所以3595,,
4442
t ⎡⎤
⎡⎤
∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
时P ，Q 两点的高度差不超过.
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，涉及正弦函数的图象和性质，考查分析解题能力和函数与方程的思想. 21.已知函数3
21()(1)3
f x x a x =
-+ （1）若函数()0≤f x 在区间0,1上恒成立，某某数a 的取值X 围； （2）若函数()f x 在区间()1,1-上有两个极值点，某某数a 的取值X 围； （3）若函数()f x 的导函数f
x 的图象与函数ln 1y x =-图象有两个不同的交点，某某数
a 的取值X 围．
【答案】（1）112a ≥；（2）1
04a <<；（3）12
a >. 【解析】 【分析】
（1）()0≤f x 在区间0,1上恒成立等价于当[0,1]x ∈时，
3
2
3(1)x a x ≤+恒成立，利用导数判断函数32()(1)
x g x x =+在
0,1上的单调性求出最大值即可得解；（2）求出导数，则()'
f x 在区间()1,1-上有两个不同零点，根据二次函数的图象与性质列出不等式组求a 的取值X 围，取1(1,)x a ∈-，2(,1)x a ∈，判断函数单调性验证1f x ，2f x 分别为极大值与极小值即可；（3）题意等价于函数2
()22n 1(0)l h x x ax a x x =----+>有两个零点，分析函数单调性知()20h x <，再根据2x 为函数()h x 的极值点即可代入不等式求出2x 的X 围从而求出a 的
X 围，再验证函数()h x 的两个零点.
【详解】（1）
3
21()0(1),[0,1]3
f x a x x x ≤⇔+≤∈ 即当[0,1]x ∈时，
3
23(1)x a x ≤+恒成立， 设3
2
(),[0,1](1)
x g x x x =+∈ 223243
3(1)2(1)(3)
()(1)(1)x x x x x x g x x x +-++'==++，
因为[]0,1x ∈，所以0g x ，()g x 在0,1上单调递增，
所以max 1()(1)4g x g ==
，所以134
a ≥，1
12a ≥．
（2）因为2
2
()2(1)22f x x a x x ax a '=-+=--， 所以()f x 在区间()1,1-上有两个极值点的必要条件为
2()22f x x ax a '=--在区间()1,1-上有两个不同零点，
则211
440
10(1)0
4(1)0
a a a a f f -<<⎧⎪∆=+>⎪
⇒<<⎨
->>''⎪⎪⎩， 当1
(0,)4
a ∈时，f
x 在(]1,a -上递减，在[),1a 上递增
()110f '-=>，2()20f a a a '=--<，(110)4f a '=->
所以存在唯一的1(1,)x a ∈-，2(,1)x a ∈使得()()120f x f x ''==， 因为f
x 在区间()11,x -大于零，在区间()12,x x 小于零，在区间()2,1x 上大于零，
所以()f x 在区间()11,x -上递增，在区间()12,x x 上递减，在()2,1x 上递增， 所以1f x ，2f x 分别为极大值与极小值，
所以当1
04
a <<
时函数()f x 在区间()1,1-上有两个极值点； （3）因为2
2
()2(1)22ln 1f x x a x x ax a x '=-+=--=- 所以222ln 10x ax a x ---+=，
令()2
22ln 1(0)h x x ax a x x =---+>，21221
()22x ax h x x a x x
--'=--=，
令()0h x '=
，解得102a x -=<（舍去）
，202
a x +=>.
因为()h x 有两个零点，
所以()20h x <，()2
222222ln 0h x x ax a x =---<①
又因为2
222210x ax --=，所以22
1
22x a x -
=② 代入①得到2
2222
ln 1
220x x x x --+
-+<， 令2
1()2ln 2(0)g x x x x x x =--+
-+>，211()220g x x x x
'=----< 所以()g x 在(0,)+∞上递减，因为10g ，所以21>x ，
因为22122a x x =-
在区间(1,)+∞上递增，所以1
2
a <． i ）因为22122a x x =-，所以2
222222
232
430(1)x a x x x x x --=-
=>>，
2(4)82ln 41(21)h a a a a a =--+>，
令42t a =>，14
a t =
， 所以2ln (4)1()(2)22
t t t
h a k t t =--+=>
21122(21)2232
()02222t t t t k t t t t t t
----⨯-'=--==>>
所以()k t 在(2,)+∞上递增，()22ln20k =->，所以()4(0)k h t a => 所以()h x 在区间()2,4x a 上存在唯一一个零点． ⅱ）又因为2
()22ln 1h x x ax a x =---+
22()ln (1)2(0)x a x a x =---++>
22
(1)(1)2()()20a a h e e a -+-+=-+>，
且
2
(1)2101()2
a e x a -+<<<>， 所以()h x 在区间()
2
(1)
2,a e
x -+上存在唯一一个零点， 综上1
2
a >
时，f x 的图像与ln 1y x =-图像有两个不同的交点．
解法二：由22
()2(l 1221(0)n )f x x a x x ax a x x '=-+=--=->
得2120(0)1ln x a x x x -+-=>+
令21
ln ()2(0)1
x g x a x x x -+=->+，
22
ln 122
()(1)x x x x
g x x ++-
-'=
+ 令2
ln 1()22(0)x h x x x x x =++-
->，211
()220h x x x x
'=+++>． ()10h =，所以当()0,1∈x 时，()0h x <，
当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即当()0,1∈x 时，0g x ，
当(1,)x ∈+∞时，0g x
，
所以()g x 在区间0,1上递减，在区间(1,)+∞上递增， 所以(1)120g a =-<即12
a >
， i ）当()0,1∈x 时，因为210ln x x -+>
所以22ln 11
(221l )2
n x x g x a a x x x -+-+=->-+
取4(0,1)a
x e
-=∈，则
4284()411
()2022
a a a
e a e g e
a ---+++>-=>
所以()g x 在区间(
)4,1a
e
-上存在唯一一个零点，
ii ）当(1,)x ∈+∞时，
2216ln 418ln 412(4)24141
a a a a a
g a a a a -+-+-=-=
++ 令2
()82ln 41h a a a a =--+，
111
()16216(2)()2h a a a a a a '=--
=-+> 因为168a >，1
24a
+
<， 所以116(2)0a a
-+
>，所以()h a 在1
(,)2+∞上递增，
1()2ln 202h =->，所以1
()0()2
h a a >>，即()()4042g a a >> 所以()g x 在区间(1,4)a 上存在唯一一个零点， 综上1
2
a >
时，f x 的图像与ln 1y x =-图像有两个不同的交点.
【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的综合应用，利用导数证明不等式恒成立、已知
函数的极值点求参数的取值X 围、利用导数研究函数的零点，属于难题.
22.已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点坐标为0,1
（1）求抛物线方程；
（2）过直线2y x =-上一点(),2P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为123,,k k k ，求证：123,,k k k 成等差数列；
②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值X 围．
【答案】（1）2
4x y =；（2）①证明见解析；②34t <-. 【解析】 【分析】
（1）根据焦点求出p 即可写出抛物线方程；（2）①设()()1122,,,A x y B x y ，利用导数的几何意义用1x 、2x 表示出1k 、2k ，再用1x 、2x 表示出3k ，由1232k k k +=即可证明；②求出直线AP 、直线BP 的方程，联立求出两直线的交点坐标P ，由点P 在直线2y x =-上进一步化简直线AP 的方程，联立抛物线方程与直线DE 的方程得到关于x 的一元二次方程，根据题意>0∆，再由点H 在直线AB 上将不等式转化为关于t 的不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知
12
p
=，2p =，抛物线方程为24x y =； （2）①设()()1122,,,A x y B x y ，
因为2
4x y =，2
14y x =
，所以2
x y '=，所以112x k =，222x k =，
则12
122x x k k ++=，121212312122
2444
x x y y x x k x x x x --+===--，
所以1232k k k +=，即123,,k k k 成等差数列．
②直线AP 的方程为()2
11111224
x x x y y x x y x -=-⇒=-
， 同理直线BP 的方程为222
24
x x y x =-，
则两直线的交点坐标1212
(,)24
x x x x P +， 代入直线2y x =-，得
1212
242
x x x x +=-①， 直线AB 的方程为()12121211444
x x x x x x
y y x x y x ++-=
-⇒=-， ①式代入上式可得1212242
x x x x
y x ++=
-+， 因为122x x t +=
，所以直线AB 的方程为22
t
y x t =-+， 1）若0t =则抛物线2
4x y =上不存在两点关于直线AB 对称，
2）若0t ≠，设()()3344,,,D x y E x y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点， 此时0r BD BE ==>
设DE 方程为
2y x b t
=-+，DE 与直线AB 交于点()00,H x y ， 22
48402
x y
x x b t y x b
t ⎧=⎪⇒+-=⎨=-+⎪⎩
， 226441600(*)b b t t ∆=
+>⇔+>，348x x t
+=-，
所以34042x x x t +=
=-，00228
y x b b t t
=-+=+， 因为H 点在直线AB 上，
所以
2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式得322
44
00t t t t
+-->⇔<，解得t <． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及抛物线的标准方程、直线的斜率与方程、韦达定理求参数、圆的性质，属于较难题.。