不等式的性质课件人教a版必修

第 三章 不等式
方法感悟
方法技巧 (1)不等式性质的可逆性 在不等式的性质定理及推论中，有的是可以 逆推的，即具备双向性，有的是不可以逆推 的，即只能是单向的．其中性质1和性质3具 备双向性，可以表示为：a>b⇔b<a； a>b⇔a＋c>b＋c，其他均不可逆推．
第 三章 不等式
(2)不等式性质的传递性 在使用不等式的传递性时，如果两个不等式 中有一个带“＝”号,另一个不带“＝”号, 那 么 “ ＝ ” 号 是 传 递 不 过 去 的 ． 如 a>b 且 b≥c⇒a>c，而不是a>b且b≥c⇒a≥c.
第 三章 不等式
做一做 已知a＞b，则( A．3a＞3b C．－a＞－b 答案：A
) B．－2a＞－2b D．－11a＞－11b
第 三章 不等式
题型探究 题型一 利用不等式的性质判断命题 的真假
下列命题是真命题的是( ) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2
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C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2 【解析】 ∵a＞|b|≥0，∴a2＞b2， 对A：a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，不成 立， 对B、C：a＝1，b＝－2，不成立． 【答案】 D
第 三章 不等式
【名师点评】 判断一个命题是假命题的常 用方法： (1)从条件入手，推出与结论相反的结论； (2)举出反例予以否定.反例法简捷、 快速、 有效，是解决该类问题行之有效的好方法.
性质求解，可不是12－15＜a－b＜60－36得
－3＜a－b＜24.
第 三章 不等式
【名师点评】 求含字母的数(或式子)的取 值范围时，一要注意题设中的条件，二要正 确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的 不等式可加不可减，相乘时必须满足性质6 的条件，但不可直接除．
第 三章 不等式
• 变式训练
3．已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范 围． 解：∵－π2≤α＜β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4.将两式相加， 得－π2＜α＋2 β＜π2.
第 三章 不等式
∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4. ∴－π2≤α－2 β＜π2. 又知 α＜β，∴α－2 β＜0. 故－π2≤α－2 β＜0. 故α＋2 β，α－2 β的取值范围分别是(－π2，π2)， [－π2，0).
第 三章 不等式
备选例题
1．对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则1a＞1b C．若 a＜b＜0，则ba＞ab D．若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0
第 三章 不等式
解析：选 D.法一：∵c2≥0， ∴c＝0 时，有 ac2＝bc2， 故 A 为假命题； 由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a， 故 B 为假命题；
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• 3．1.2 不等式的性质
第 三章 不等式
学习导航
预习目标
不等式 ―理―解→ 不等式的有关性质 ―掌―握→
数(式)的大小比 较及不等式证明
重点难点 重ห้องสมุดไป่ตู้：不等式性质的理解与应用． 难点：不等式的证明．
第 三章 不等式
不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔____b_＜__a____. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒___a_＞__c___. (3)可加性：a＞b⇔___a_＋__c_＞__b_＋__c__. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒__a_c_＞__b_c_；a＞b， c＜0⇒____a_c_＜__b_c_____.
第 三章 不等式
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒__a_＋__c_＞__b_＋__d__. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒_a_c_＞__b_d_. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N， n≥2)． (8)开方法则：a＞b＞0⇒＞＞0(n∈N,n≥2). 想一想 两个同向不等式可以相乘吗？ 提示：不可以相乘,例如2＞－1，－1＞－3.
答案：[1,14) [0,9)
第 三章 不等式
3．已知 a＞b＞c＞0，求证：a－b b＞a－b c＞a－c c. 证明：因为a－b b－a－b c＝a－bbb－ac－ c，a－b c－ a－c c＝ba－－cc，又 a＞b＞c＞0，则 a－c＞0， a－b＞0，b－c＞0， 所以a－bbb－ac－ c＞0，ba－－cc＞0， 即a－b b－a－b c＞0，a－b c－a－c c＞0， 所以a－b b＞a－b c＞a－c c.
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题型二 利用不等式的性质证明不等式
(1)已知 a＞b，e＞f，c＞0. 求证：f－ac＜e－bc； (2)若 bc－ad≥0，bd＞0.求证：a＋b b≤c＋d d. 【证明】 (1)∵a＞b，c＞0， ∴ac＞bc， ∴－ac＜－bc.∵f＜e，
第 三章 不等式
∴f－ac＜e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd＞0， ∴ab≤dc， ∴ab＋1≤dc＋1， ∴a＋b b≤c＋d d.
∴12－36＜a－b＜60－15，
∴－24＜a－b＜45. 6 分
∵ 1 ＜1＜ 1 ， 36 b 15
8分
∴1326＜ab＜6105，
10 分
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第 三章 不等式
∴13＜ab＜4.
故 a－b，ab的取值范围分别是(－24,45)，
(13，4).
12 分
名师微博
一定要有理有据，千万不可臆断；,要利用
第 三章 不等式
【名师点评】 利用不等式性质证明简单的 不等式的实质就是根据性质把不等式进行变 形，要注意不等式性质成立的条件．如果不 能直接由不等式性质得到，可先根据需要证 明的不等式的结构，再利用不等式性质进行 转化.
第 三章 不等式
互动探究 2．若例2(1)中条件“a＞b，c＞0”改为“a ＜b，c＜0”则结论如何呢？ 解：∵a＜b，c＜0， ∴ac＞bc. ∴－ac＜－bc.∵f＜e， ∴f－ac＜e－bc.
第 三章 不等式
取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1， 有1a<1b，故 B 错； 取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2， 有ba<ab，故 C 错.
第 三章 不等式
2．若 1≤a≤5，－3＜b≤2，则 a＋b2 的取值 范围是________，ba2的取值范围是________． 解析：∵－3＜b≤2，∴0≤b2＜9. 又 1≤a≤5，∴1≤a＋b2＜14. ∵15≤1a≤1,0≤b2＜9，∴0≤ba2＜9. 故 a＋b2 的取值范围是[1,14)，ba2的取值范围是 [0,9)．
第 三章 不等式
失误防范 使用不等式的性质时，一定要注意它们成立 的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条 件，盲目套用．例如： (1)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，已知的两个不等 式必须是同向不等式； (2)a>b>0且c>d>0⇒ac>bd，两个已知不等式 不仅要求同向,而且不等式两边必须为正值.
第 三章 不等式
• 题型三 利用不等式的性质求取值范
围
(本题满分 12 分)已知 12＜a＜60,
•15＜b＜36.
求：a－b，ab的取值范围．
【思路点拨】 欲求 a－b 的取值范围，应先
求－b
的取值范围；欲求a的取值范围，应先 b
求1的取值范围． b
【解】 ∵15＜b＜36，
∴－36＜－b＜－15， 3 分
aa＜<bb<＜0⇒0⇒－－a＞a>－－bb＞>00⇒－1b>－1a>0⇒ab>ba，
第 三章 不等式
故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0
1a>1b⇒1a－1b>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题． 法二：特殊值排除法．
取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；
第 三章 不等式
• 变式训练
1．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＜b＜0，则 ac＜bc； (2)若ca2＞cb2，c≠0，则 a＞b； (3)若 a＞b，则1a＜1b； (4)若 a＜b，c＞d，则 ac＞bd.
第 三章 不等式
解：(1)错误．当 c≤0 时，此命题不成立． (2)正确．∵c2＞0，在ca2＞cb2两边同乘以 c2， 不等式方向不变，∴a＞b. (3)错误．a＞b⇒1a＜1b，成立的条件是 ab＞0. (4)错误．如当 a＝1，b＝2，c＝1，d＝12时， 此命题就不成立.