教学研究丨从解题研究走向解题教学

教学研究⼁从解题研究⾛向解题教学从解题研究⾛向解题教学
江⼲区初中数学⼏何解题教学研究活动暨青年教师核⼼组第2次活动
导语
9⽉24⽇下午，江⼲区初中数学⼏何解题教学研究活动暨青年教师核⼼组第2次活动在浙师⼤附属杭州笕桥（笕⽂）实验学校举⾏。

本次活动由区教研⼤组成员，笕桥（笕⽂）实验学校黎雪芳⽼师主持，区初中数学解题、命题和评价能⼒提升16学时培训班所有教师共同参与研讨。

活动内容主要分为两个部分：⼀、中考典型例题分析：在暑期研讨的基础上，由三个青年教师解题研究⼩组分别对2020年杭州中考三个⼏何试题进⾏深⼊分析；⼆、名家讲解题：邀请温州市乐清育英寄宿学校俞卫胜⽼师进⾏点评与解题研究报告。

中考典型例题分析
⼀
（⼀）圆的背景下边⾓关系的整合与转化
杭师⼤东城中学朱仪⽼师、采荷中学教育集团丁荷校区张樱⽼师、杭师⼤东城中学蒋春花⽼师从考点分析、解法分析、变式拓展、教学启⽰四⽅⾯，对2020杭州中考第23题进⾏了深刻详细地剖析。

01
考点分析
三位⽼师细致地分⼩题进⾏考点分析，本题主要考查解直⾓三⾓形、垂径定理、直⾓三⾓形斜中线定理、相似三⾓形及全等三⾓形性质与判定、平⾏四边形的性质与判定、等腰三⾓形的性质、等腰直⾓三⾓形的性质与作图能⼒。

⽼师们从考点出发明确解题⽅向。

02
解法分析
第（1）题求线段长度分为间接求与直接求两种思路，三位⽼师分别从特殊等腰三⾓形、构造直⾓三⾓形斜中线、利⽤勾股定理的⾓度进⾏解法分析。

第（2）题①求证线段相等，⽼师们整理了初中阶段与“证明线段相等”有关的知识，从中整理出7条主要思路：构造全等三⾓形、提炼基本图形构造相似全等、利⽤原有图形中的相似三⾓形、从中点出发构造平⾏四边形、⾯积法、利⽤定理证明、利⽤平⾯直⾓坐标系。

14种解法对应着不同的思路，其中共有15种不同的作平⾏线构造相似的⽅式。

三位⽼师分享了解法中所需要的梅涅劳斯定理与中位线、⾯积法、解析法的模型。

第（2）题②，三位⽼师从⼏何和代数两条思路，通过构造中点相关辅助线、利⽤三⾓函数+勾股定理、建系的三种⽅式进⾏解题。

03
变式拓展
三位⽼师展⽰了三个变式，将结论、条件⼀般化，将求证线段等量关系转化为求证线段⽐例关系。

分别从抽离圆的背景，利⽤⾯积法、函数⾓度出发，发散思维，总结归纳。

04
变式拓展
最后⽼师们通过本次例题分析，有以下感悟：教学需要把握主线导向，开放思维；要注重⼏何化归，感悟通法；提炼⼀般结论，充分变式；提⾼作图能⼒，巧添辅助（线）；提升教师素养，研究解题。

⼆、矩形折叠下的共线求线段长问题
夏衍初级中学朱莹⽼师、杭师⼤东城实验学校⽩会润⽼师、杭师⼤东城中学莫旦未⽼师从解法分析、考点分析、解法提炼、解题反思、变式训练五⽅⾯对2020杭州市中考16题的研究进⾏了汇报。

01
解法分析
三位⽼师从先求哪⼀条线段长度出发，分别展现了不同的解法。

第⼀类：先求DF的长，再求BE长。

⾸先求DF长度4种⽅法是：双平等腰模型、等积法、三⾓形全等、折叠+相似；接下来可直接利⽤三⾓形相似、勾股定理+等积法或勾股定理＋三⾓函数求解BE的长度。

第⼆类：先求BE的长，再求DF长。

4种⽅法结合多种思路：利⽤相似求解、利⽤相似＋勾股、相似+等积、射影＋勾股、直接利⽤勾股定理、构建平⾯直⾓坐标系。

02
考点分析与解法提炼
⽼师们对于本题的考点进⾏深⼊剖析，第⼀空主要考查：折叠的性质，矩形的性质，等腰三⾓形的判定，全等三⾓形的性质和判定；第⼆空主要考查：折叠的性质，相似三⾓形、全等三⾓形的性质和判定，勾股定理、锐⾓三⾓函数等。

本题解法⾮常多，但⽼师们将思路最终归纳为以上两条。

从这两条思路出发，考查学⽣能否关注核⼼条件、常见图形、常⽤⽅法。

03
变式训练
⽼师们在原题的基础上分别改变了折叠⽅向、折叠不共线、将矩形变菱形进⾏变式。

展现了因折叠⽅式与图形形状的不同⽽产⽣的改变。

三、多解归⼀求解基本图型，加强归纳引导有序思考
杭州师范⼤学东城中学徐佰恩⽼师、采荷中学教育集团丁荷校区马浩楠⽼师从说内容、说解法、说变式、说反思四⽅⾯对2020杭州中考第21题的研究进⾏汇报展⽰。

01
说内容
两位⽼师通过详细地分⼩题进⾏考点分析，明确本题考查⽅向，为解决问题提供明确的指向与⽬标。

02
说解法
03
说变式与说反思
⽼师们根据变位置、变形状、变结论3种“变法”出发，展现了5个变式题。

通过题⽬的研究，⽼师们从如何探究⼀道题的解法出发，从每⼀个环节⼊⼿进⾏步骤的反思与回顾，并结合了学⽣对于运⽤参数解决问题的⽐较畏惧的学情，给出了⽼师们以后努⼒的⽅向：让学⽣深⼊理解⽤字母表⽰数、让从特殊到⼀般思想的运⽤深⼊⼈⼼。

名家讲解题
⼆
俞卫胜⽼师充分肯定了三组青年教师对于三个试题的研究，认为这样的解题研究深刻、有意义。

随后，俞⽼师对试题的分析进⾏了点评，并作《从解题研究⾛向解题教学的思考》解题研究报告。

解题研究
俞⽼师提出从原题呈现、试题剖析、解法欣赏、变式拓展、解题感悟这五⽅⾯展开解题研究，其中这五个环节相互融合。

其中解法赏析要注重思想的形成过程，做到⼀题多解，但最终还要多解归⼀。

01
解法赏析
关于解题研究俞⽼师提出要做到三线三会。

三线即明线：知识⽅法；暗线：思想⽅法；眼线：核⼼素养。

三会即培养学⽣的核⼼素养：数学抽象与数学运算、直观想象与逻辑推理、数学建模与数据分析。

在解题过程中，寻找通法。

俞⽼师以具体的经典试题为例，总结归纳了求线段长度、求特殊⾓（90°，45°，30°）、线段相等、⾓相等、最值问题、线（形）折叠、圆弧折叠、中点问题、⾓平分线问题、等腰三⾓形、直⾓三⾓形、平⾏四边形、抛物线之轴对称、抛物线之平移的通法，给出常规解题模式和常⽤的数学思想⽅法，对于解题有着指导性的意义。

02
变式拓展
俞⽼师认为要融动态、联系的思维于例习题的改编之中。

俞⽼师通过书本的9个例题为原型，以不同的⾓度出发对每⼀道例题进⾏了不同思路的改编。

03
解题反思
俞⽼师关于解题⽅⾯有以下总结：⼏何题要关注基本图形，要重视数学思想⽅法的渗透，要提倡解法的多样化，同时要关注数学问题的本质内涵。

教学研究
俞⽼师认为对于教师来说不仅要会解题，更要会把解题教给学⽣。

解题教学的研究应该简约⽽有深度，课堂教学可从：⼀题多问、⼀题多解、⼀题多思、⼀题多变这⼏个⾓度进⾏设计。

俞⽼师以折叠问题的教学为例，从动⼿实践折出精彩、⼀次折叠引出问题、变化折叠深⼊研究、变换折痕深⼊探究、提出问题提升能⼒、再次折叠再探问题、感悟本质积累经验、课后训练迁移思维等环节展开，层层递进。

提倡⼀题多解，注重学⽣素养的提升。

并以思维导图的⽅式，总结本节课的知识框架。

总结
三
本次活动⼲货满满，数学教师们收获颇丰。

三个解题研究⼩组展⽰了多层次多⽅⾯的解题⽅法分享，俞卫胜⽼师不仅给出了多个解题的通法，还从案例出发指导青年教师如何教学研究。

撰写：浙师⼤附属杭州笕桥实验中学张昊琦
编辑：杭州采荷中学⾦雯雯
审核：曹建军⽼师韩昌⽼师。