中考数学动点压轴题

中考数学专题复习：动点压轴题
1．ABC 中，90B ∠=︒，5cm AB =，6cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以
1cm /s 的速度移动，
与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
(1)填空：BQ =________，PB =________（用含t 的代数式表示）；
(2)是否存在t 的值，使得PBQ △的面积等于24cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16cm ，BC ＝8cm 动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2cm /s 的速度向点B 运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 方向以4cm /s 的速度向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点即停止运动，设运动时间为t （s ）．
(1)当t 为多少秒时，以P 、C 、Q 为顶点的三角形和△ABC 相似？
(2)当t 为多少秒时，△PCQ 的面积是△ACB 面积的14
3．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移
动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．
(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ，（用含t 的代数式表示）
(2)当t 为几秒时，PBQ △的面积等于25cm ？
(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23
？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．4．如图①，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 由A 点出发以
1cm /s 的速度向终点C 匀速移动，
同时点Q 由点C 出发以2cm /s 的速度向终点B 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)填空：在______秒时，△PCQ 的面积为△ACB 的面积的38
；
(2)经过几秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？
(3)如图②，D 为AB 上一点，且AD AC =，运动时间t 为多少时，CD PQ ⊥？5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3:3(0)4
=-+>AB y x b b 与x 轴，y 轴分别交于B 点、A 点，点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点A
开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动．若点P ，Q 同时出发，
运动时间为t 秒．
(1)当5s =t 时，
①P 点的坐标__________；（用b 来表示）
②当APQ 为直角三角形时，求b 的值；
(2)当APQ 的面积为8平方厘米时，求b 与t 的数量关系．
6．
如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，10cm AB AD ==，8cm BC =．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P 、Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 运动停止，设运动时间为t ．
(1)求CD 的长；
(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；
(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
7．已知：如图，菱形ABCD 中，5AB =cm ，6AC =cm ，动点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s ．过点P 做PM BC ∥，过点B 做BM PM ⊥，垂足为M ，连接QP ．设运动时间
为t （s ）()05t <<．解答下列问题：
(1)菱形ABCD 的高为______cm ，cos ABC ∠的值为______；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的
225
若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在某一时刻t ，使点M 在PQB ∠的角平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 匀速移动，它们的速度都是2cm/s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P 的运动时间为t s ，解答下列问题：
(1)求△ABC 的面积；
(2)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？
(3)是否存在t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23
若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝8cm ，点P 以1cm/s 的速度沿DA 向终点A 运动；同时点Q 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向终点A 运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P 的运动时间为t ()s ，线段PQ 扫过的面积2(cm )y ．
(1)AQ ＝cm （用含t 的代数式表示）；
(2)求y 与t 之间的函数关系式；
(3)当线段PQ 扫过的面积为矩形ABCD 面积的3
8
时，求t 的值．10．如图，以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点，使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动．点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发．运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止．
(1)点A 坐标为；
(2)当t ＝2时，S △OPQ ＝；当t ＝3时，S △OPQ ＝；(3)当t ＝2时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三
角形，若能找到请直接写出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由．
(4)设△OPQ 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式．
11．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：
(1)点Q 运动多少秒时，△APQ 的面积为5cm 2；
(2)当t 为何值时，△QAP 与△ABC 相似？
12．
如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 出发沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿边BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，当点P 运动到点B 后，运动停止，设运动时间为x （s ）．
(1)BP =______cm ，CQ =______cm （用含x 的式子表示）；
(2)若PQ =时，求x 的值；
(3)当x 为何值时，DPQ V 将成为以DP 为斜边的直角三角形．
13．如图所示，在△ABC 中，∠C =30°，BC =20，AC =16，E 为BC 中点．动点P 从点B 出发，沿BE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q 从点C 出发，沿CE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P 作PD //AC ，交AB 于D ，连接DQ ，设点P 运动的时间为t （s ）
．（0<t <10）
(1)当t ＝3时，求PD 的长；
(2)设△DPQ 面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t ，使S △DPQ ：S △ABC ＝3：25？若存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．
14．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==cm ．点D 从A 出发沿AC 以1cm/s 的速度向点C 移动；同时，点F 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，移动过程中始终保持DE CB ∥（点E 在AB 上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t （s ）（其中0t ≠）．
(1)当t 为何值时，四边形DEFC 的面积为182cm ？
(2)是否存在某个时刻t ，使得DF BE =，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．
(3)点E 是否可能在以DF 为直径的圆上？若能，
求出此时t 的值，若不能，请说明理由．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =8cm ，CD =2cm ，AD =6cm ．点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿AB 向B 点运动（运动到B 点即停止）；点Q 从C 点出发，
以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：
（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；
（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；
（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2cm/s
的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．
（1）当x 为何值时，△PBQ 的面积等于12cm 2；
（2）当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与△BDC 相似
18．
如图，,,,A B C D 为矩形的四个顶点，16cm,6cm AB AD ==，动点,P Q 分别从点,A C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2m/s 的速度向D 点移动，当点P 到达B 点时点Q 随之停止运动，
（1）AP =
，BP =，CQ =，DQ =(用含t 的代数
式表示）；
（2）t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为233cm ；
（3）t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm ．
19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4cm /s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t s （t ＞0）．
（1）线段BQ ＝cm ，PB ＝cm ；（用含t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，PQ 的长为cm ？
（3）是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于99cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，MN29cm？
（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？
（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．
参考答案：
1．(1)2t ，5t
-(2)存在，当1t =时，PBQ △的面积等于2
4cm 2．(1)当点P 、Q 同时运动2秒或165
秒后，△PCQ 与△ACB 相似；(2)当t ＝2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的
14．3．(1)2t ，()6-t ；
(2)当1t =时，PBQ △的面积等于25cm ；
(3)ABC 面积的23，t 的值为2
4．(1)3；
(2)经过125秒或1811秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似；(3)运动时间t 为1.2秒时，PQ ⊥CD
5．(1)①(44,3)b -；②当APQ ∆为直角三角形时，b 的值为85或2516或83
；(2)当APQ ∆的面积为28cm 时，b 与t 的关系式为25200t bt -+=或15310b t -=．6．(1)16CD =；
(2)四边形PBQD 的周长为8+
(3)满足条件的t 的值为
2512
秒或5秒7．(1)245cm ，725(2)存在，当12532t =
时，四边形MPQB 为平行四边形，理由见详解；
(3)存在，当12536
t -=时，四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的225，理由见详解；(4)不存在，理由见详解
8．(1)2
(2)1t =或2
t =(3)不存在
9．(1)82t
-(2)2
8y t t =-(3)2
t =
10．(1)（3，
2
(3)点M的坐标为（0，
）或（0，
19）或（0
0，
0，﹣
(4)
S
(
)
(
)
2
2
02
23
18
3
5
t
t
t
⎧
≤≤
⎪
⎪
⎪⎪
=+≤
⎨
⎪
⎪⎫
+≤
⎪⎪
⎭
⎪⎩
＜
＜
11．(1)1或5秒
(2)3或1.2
12．(1)(6)x-，(122)x
-
(2)10.4
x=或
2
2
x=
(3)当x为1.5或6时，DPQ
V是以DP为斜边的直角三角形
13．(1)
12
5
(2)()
2
24010
5
y t t t
=-+<<
(3)4
t=或6
t=
14．(1)4
t=
(2)不存在
(3)能，
10
3
t=
15．(1)梯形ABCD
的高为，∠A=60°
(2)
5
3
t=
(3)存在t
为
9
2
s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半
16．（1）当x＝
10
7或
25
13秒时，△APQ与△ACB相似；（2）
10
9
x=；（3）存在x
使线段PQ恰好把△ABC的面积平分
17．（1）2或6；（2）24
7或2
18．（1）AP=3t，BP=16-3t，CQ=2t，DQ=16-2t；（2）5；（3）8
5
s或4.8s．
19．（1）（10−2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝3
2秒或t＝
7
2秒
20．（1）t＝1s或7
5
s；（2）t＝
6
5
s；（3）t＝(8－)s或t＝(18)s。