广西民族大学数学分析2007真题

2018年广西民族大学考研真题试题数学分析(A卷)专业课考试试题

广西民族大学
2018年全国硕士研究生招生考试初试自命题科目试题
试卷代号：A卷科目代码：601科目名称：数学分析
考生须知
1．答案必须写在答题纸上，写在试题、草稿纸上无效。

2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。

3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交
卷的凭证）。

否则，产生的一切后果由考生自负。

一、求下列极限（每小题10分，共20分）
（1）
1-cos x
2
lim
x01cos x
；
111
(2）lim ..........
n
n 1n 2n n
二、（15分）设函数f(x)x
m sin
1
x
x
x
（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，f在x 0
连续；（2）m等于何值时，f在x 0可导；（3）m等于何值时，f 在x 0连续.
三、（15分）若函数f(x)在区间(a,b)内非负、具有三阶导数，且方程f(x)0有两个相异实根，
则存在(a,b)使得f'''()0.
四、（15分）求曲线x2y2z23x 0,2x 3y 5z 40在点（1，1，1）处的切线方程和
法平面方程.
五、（15分）旋转抛物面z x2y2被平面x y z 1截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最
短距离.
六、计算下列积分（每小题10分，共30分）
（1）
sin x cos x
3 dx；。

2007年考研数学试题详解及评分参考

f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数学（一）
一、选择题（ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥

2007年广西民族大学考研真题627A行政管理学

法律威严罪有应得
宁海县审计局将上述情况分别向县纪委和县检察院作了报告和移送。县检察院非常重视，对该村出纳潘某进行传唤并隔离审查；李某也感到问题的严重性，早在审计移送检察院之前，就已向县检察院投案自首。
至此，一起会计、出纳合谋贪污村土地补偿款的案件终于水落石出，等待他们的将是法律的严惩。
（资料来源：国家审计署网站）
广西民族大学2007年硕士研究生入学考试试题
（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）
学科专业：行政管理、社会保障学研究方向：
考试科目：行政管理学试卷代号：A卷
一、名词解释（每题5分，共30分）
1、行政生态学2、双因素理论3、目标管理
4、彭德尔顿法5、追踪决策6、复式预算
二、简答题（每题10分，30分）
沆瀣一气合谋贪污
鉴于问题性质的严重性，审计组当即和桃源街道原会计代理服务中心负责人储某进行了商量，着手准备叫原沙地村出纳潘某前来核对村帐，并马上将上述情况向局领导作了汇报，局领导指示一定要将问题查透查出真相，防止村集体资金被挪用。2006年6月20日上午，经事先约定，审计组一行又赶到桃源街道办事处，就此事对原沙地村出纳潘某进行了询问，出纳潘某起初存在抵赖思想，推说对上述情况不知情。审计组马上调整思路，立即对土地补偿协议经手人——原沙地村支书潘某进行询问，结果发现村支书潘某也说不出土地征用补偿款66340元未入村帐的原因，并说对此事不知情。所有线索都发生中断，难道是该村村干部已串通一气，共同对付审计人员的查帐？
2006年5月，浙江省宁海县审计局派出审计组对宁海县西溪水库建设项目进行了预算执行情况审计。审计查明，宁海县黄坛镇原沙地村（现已拆迁划并到桃源街道堤树村）出纳潘某串通黄坛镇会计代理服务中心原西溪片负责人李某共同贪污该村征地补偿费66340元，进行私分。两人自以为做得“天衣无缝”，却栽倒在审计利剑之下，真可谓法网恢恢，疏而不漏。

2007年全国各地高考数学试卷及答案(37套)word--完整版

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（四川.理）含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（四川.文）含答案
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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国卷Ⅱ.文）含答案
宁夏和海南都是新课标教材，使用的是同一套数学题。
பைடு நூலகம் 四川省蓬安中学校张万建整理 zwjozwj@
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.理) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷 (宁夏.海南.文) 含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江苏卷不分文理）含答案
注：使用全国卷Ⅰ的省份：河北河南山西广西；
使用全国卷Ⅱ的省份：吉林黑龙江云南贵州新疆青海甘肃内蒙西藏

广西民族大学数学分析2018年考研真题

法平面方程.
五、（15 分）旋转抛物面 z x 2 y 2 被平面 x y z 1截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最
短距离.
六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分）
（1）
sin x cos3 x 1 sin2 x
dx
；
（2） 4 [ e x ] dx （注 [ 。]表取整函数）； 0
卷的凭证）。否则，产生的一切后果由考生自负。
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）（1） lim 1- cos x2 ； x0 1 cos x
(2） lim 1 1 ......... 1 .
n n 1 n 2
nn
二、（15
分）设函数
f
(x)
x
m
sin
1 x
0
x 0（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时， f 在 x 0 x0
于 f (x) ，则成立 parseval 不等式：
1
f
2 (x)dx
a0 2 2
(an 2
n1
bn 2 ),
这里 an 、 bn 为 f (x) 的傅里叶级数.
第2页共2页
y0 x0
x0 y0
八、（15 分）证明：由方程 ax by cz (x 2 y 2 z 2 ) 所定的函数 z z(x, y) 满足方程
( cy - bz ) z ( az - cx ) z bx ay
x
y
其中(u) 是 u 的可微函数, a, b, c 为常数.
九、（10 分）设 f (x) 为[ , ] 上的可积函数，且 f (x) 的傅里叶级数在[ , ] 上一致收敛
连续；（2）m 等于何值时， f 在 x 0 可导；（3）m 等于何值时， f 在 x 0 连续.

2007考研数一真题答案及详细解析

h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得

新版广西民族大学数学考研经验考研真题考研参考书

得到拟录取消息的前些天一直忐忑不安，想象着自己失败时的沮丧或者自己成功时的兴奋。

终于尘埃落定，内心激动，又面色平静地拿起手机给每一个关心我的家人和朋友发了这个好消息。

也想在这里写下自己考研路上的点点滴滴，给自己留一个纪念，也希望大家能从中得到一些收获。

立大志者得中志，立中志者得小志，立小志者不得志。

所以我建议刚开始大家就朝着自己喜欢的，最好的学校考虑，不要去担心自己能不能考上的问题，以最好的学校的标准来要求自己去学习。

大家可以去自己想报考的学校官网上下过去的录取分数线，报录比之类的信息给自己一个参考和努力目标。

包括找一些学长学姐问下经验也是很有用的。

备考那个时候无论是老师还是同学们都给了我很多的帮助，让我在备考的路上少走了很多的弯路，尤其是那些珍贵的笔记本，现在回想起来依然很是感动，还好现在成功上岸，也算是没有辜负大家对我的期望。

所以想着成功之后可以写一篇经验贴，希望可以帮助大家。

话不多说，下面跟大家介绍一下我的经验吧。

文末有笔记和真题下载，大家可自取。

广西民族大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(601)数学分析和(821)高等代数参考书目为：1.华东师范大学数学系《数学分析》2.北京大学数学系《高等代数》关于英语无非几大模块：阅读，完型，新题型，翻译，作文。

首先最最最重要的就是阅读，如果你把阅读搞“好”了，其他的都不成问题而“好”的定义，不是简简单单的把题做对，“好”的定义有很多方面，下面的内容我会说。

其次是作文，我们都知道考研英语作文有两篇：大作文和小作文。

就英语一来说，大作文通常（是通常哈）是图画作文，小作文是一封信。

而作文是有模板的，模板不是最后简简单单的别人总结的东西，模板是要靠自己的积累，积累，量变后的质变。

今年我在考场上用20分钟的时间把我自己总结的模板稍作修改，工工整整的默写了下来，那感觉真的很爽。

最后对于完形、新题型、翻译来说，前期投入大量的时间在阅读上，这些自然也不成问题。

2007数学考研真题二

2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x +→(A)1-(B)ln .(C)1.(D)1-.[B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -=利用排除法知应选(B).(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.[A ]【分析】本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---，11110()tan tan lim lim 111()x xx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--，可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--.(B)5(3)(2)4F F =.(C))2(43)3(F F =-.(D))2(45)3(--=-F F .[C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007年数一真题试题+答案

2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1～ 10 小题 , 每小题 4 分, 共 40 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．(1) 当 x 0 时 , 与 x 等价的无穷小量是 ( )(A)1 e x.(B)ln1x . (C)1x1. (D)1 cos x .1x答案： (B) .(2) 曲线 y1 ln(1 e x ) 渐近线的条数为 ( )0 x1.23(A) . (B)(C).(D).答案： (D) .(3) 如图 , 连续函数 yf ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周 , 在区2,0 ,0,2 上的图形分别是直径为xf (t)dt , 则下列结论正确间2 的上、下半圆周 , 设 F ( x)的是( )(A) F (3)3 F( 2).(B)F (3)5F(2) .44(C) F( 3)3F(2).(D)F( 3)5F ( 2) .44答案： (C) .(4) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续 , 则下列命题错误的是 ( )．．(A) 若 limx 0(C) 若 limx 0答案： (D) .(5) 设函数 f ( x) 确的是() f ( x) 存在 , 则 f (0) 0 .(B)若 lim f ( x)f ( x)存在 , 则 f (0)0 .xx 0xf ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .(D)若 lim f (x)f ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .xx 0x在 (0, ) 上具有二阶导数 , 且 f ( x)0 , 令 u n f (n) (n 1,2, ) , 则下列结论正(A)若 u 1 u 2 , 则 u n 必收敛 .(B) 若 u 1 u 2 , 则 u n 必发散 . (C) 若 uu , 则 u 必收敛 .(D)若 uu , 则 u必发散 .12n12n答案： (D) .(6) 设曲线 L : f ( x, y)1( f ( x, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零的是 ( )．．．(A)f (x, y)dx . (B)f ( x, y)dy .(C)f (x, y)ds .(D)f x (x, y)dx f y (x, y) dy .答案： (B) .(7) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组线性相关的是( )．．．． (A)(C)12 ,23,31 . (B) 12 ,23 ,31 .12 2 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,32 1 .答案： (A) .21 1 1 0 0(8) 设矩阵 A12 1 , B 0 1 0 ,则 A 与B ( ) 1120 0 0(A) 合同, 且相似 .(C) 不合同 , 但相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (D)既不合同 , 也不相似 .答案： (B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为p(0p 1) , 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A)3 p(1 p) 2 . (B)6 p(1 p)2 .(C)3p 2 (1p)2 .(D)6p 2 (1 p)2 .答案： (C) .(10) 设随机变量 ( X ,Y) 服从二维正态分布 ,且 X 与Y 不相关 , f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X , Y 的概率密度,则在Yy 条件下 , X 的条件概率密度 f X Y ( x y) 为 ( )(A)f X ( x) . (B)f Y ( y) .(C)f X ( x) f Y ( y) . (D)f X( x).f Y ( y)答案： (A) .二、填空题： 11～ 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸指定位置上 .．．． 21 1 .(11)x 3e xdx1答案： e .2(12)设 f (u, v) 为二元可微函数,z f ( x y , y x ), 则z.z x答案：f1 ( x y , y x ) yx y1f2 (x y , y x ) y x ln yx.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为y C1e x C2e3 x2e2 x.(14)设曲面: x y z1,则( x y )dS.答案：( x y )dS1443. y dS3330 1 00(15)设距阵 A00 1 0,则A3的秩为.000 1000 0答案： r A3 1.(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1的概率为. 23答案：.三、解答题：17～ 24 小题 , 共 86 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.(17)( 本题满分 11 分)求函数 f (x, y) x22y2x2 y2, 在区域 D (x, y) x2y24, y0 上的最大值和最小值.答案：函数在 D 上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0)0 .(18) (本题满分10分)计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中为曲面 z 1 x2 y2(0 z 1)的上侧.4答案：I.(19)( 本题满分 11 分)设函数 f ( x) , g (x) 在a, b 上连续,在(a, b)内二阶可导且存在相等的最大值, 又f ( a)＝g (a) , f (b) ＝ g(b) ,证明：存在(a,b), 使得 f ''( )g ''( ).证明：设(x) f (x) g( x) ,由题设 f ( x), g ( x) 存在相等的最大值, 设x1(a,b) ,x2(a, b)使 f ( x1 ) max f ( x) g( x2 ) max g( x) .[ a .b][ a.b ]若x1x2,即f ( x)与g( x)在同一点取得最大值, 此时 , 取x1,有f ( )g ( ) ；若 x1x2,不妨设 x1x2,则( x1 ) f (x1) g (x1) 0 ,(x2 ) f (x2 ) g( x2 ) 0 ,且( x) 在a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b), 使得( ) 0 ,即 f ( ) g( ) ；由题设 f (a) ＝ g (a) , f (b) ＝ g (b) ,则(a) 0(b) ,结合( ) 0 ,且(x) 在a, b 上连续 , 在(a, b)内二阶可导 , 应用两次使用罗尔定理知：存在1(a, ), 2 ( , b),使得( 1)＝0, ( 2)0.在[ 1,2 ] 再由罗尔定理,存在( 1, 2)，使( )0 .即 f ( ) g ( ) .(20)( 本题满分 10 分)设幂级数a n x n在 (,)内收敛,其和函数 y(x) 满足 y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.n 0(I) 证明a n22a n , n1,2, .n1(II)求 y( x) 的表达式.答案： (I)证明：对 y ax n n , 求一阶和二阶导数, 得y na n x n 1, y n(n 1)a n x n 2 ,n 0n 1n 2代入 y2xy 4 y 0 ,得n( n 1)a n x n 22x na n x n 1 4 a n x n0 .n 2n 1n 0即(n 1)(n 2) a n 2 x n2na n x n4a n x n0 .n 0n 1n 0于是2a 2 4a 0 00, n 1,2,,从而an 22a n , n 1,2, .1)a2an 1 (nn 2 n(II) yxe x 2.(21) ( 本题满分 11 分 )x 1 x 2 x 3 0设线性方程组x 1 2x 2 ax 30 (1) 与方程 x 12x 2 x 3a 1 (2) 有公共解 , 求 a 得x 14x 2 a 2 x 3 0值及所有公共解 .1 1 1 0答案：当 a 1 时, ( A b)0 1 0 0 , 所以方程组的通解为 k (1,0, 1)T , k 为任意常数 , 此即为0 0 0 00 0 0方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .1 11 0当 a2 时 , ( A b)1 1 0 , 此时方程组有唯一解(0,1, 1)T , 此即为方程组 (1) 与1 10 00 0(2) 的公共解 .(22) ( 本题满分11 分)设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1, 1,1)T是 A 的属于1 的一个特征向量 .记 BA 5 4 A 3 E ,其中 E 为3 阶单位矩阵 .(I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量 , 并求 B 的全部特征值与特征向量； (II)求矩阵 B .答案：(I) 由 A 11 , 可得 A k1A k 1 ( A 1)A k 1 11 , k 是正整数 , 则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 14A 31E 114112 1 ,于是 1 是矩阵 B 的属于特征值12特征向量 .所以 B 的所有的特征向量为：对应于12 的全体特征向量为 k 11 ,其中k 1 是非零任意常1k , k200011 (II)BP010P 110 1 .001110 (23) (本题满分11 分 )设二维随机变量( X ,Y) 的概率密度为 f ( x, y)2x y,0 x 1,0 y 1, 0,其他 ,(I)求PX 2Y；(II)求 Z X Y 的概率密度f Z(z).答案：111 5 x7(I)P X2Y dx xx y)dy2 ) dx.2 (2( x008242z z2 ,0z1,(II) f Z (z)z24z4,1z2,0,其他 .(24) (本题满分11 分)1,0 x,2设总体 X 的概率密度为 f (x; )1,x 1, 其中参数 (01) 未2(1)0,其他知,X1, X 2 ,... X n是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(I)求参数的矩估计量；(II)判断 4X 22的无偏估计量 , 并说明理由 .是否为答案：(I)12X；222是否成立即可 .(II) 只须验证E(4 X )E(4X ) 4E(X ) 4(DX (EX )2) 4( 1DX (EX )2) ,22nE(X )1 1 , E(X 2)1(12 2),4 2 6D(X) E(X 2) (EX )25 12 1 2 ,代入得 E(4 X)5 3n 3n 14812 ,所以4X 不是2的无偏估计量 .3n 1 2 22212n 3n3n。

【7A版】2007年考研数学三真题及完整解析

20GG 年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1e x -（B ）ln1x-（C ）11x +-（D ）1cos x -[] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++.[]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -.（B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -.（D ）226(1)p p -[]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A)()X f x .(B)()Y f y .(C)()()X Y f x f y .(D)()()X Y f x f y .[] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+__________.（12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂__________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){,||||D x y x y =+（19）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. （20）(本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a的值及所有公共解. （22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B . （23）(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）求{}2P X Y >； (II)求Z X Y =+的概率密度.20GG答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x+→时，1x--，112x，()211122x x-=，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，000lim lim lim1x xx+++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x=，则()()l i m0xf x f xx→--=，但()f x在0x=不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f=.在（C）中，()limxf xx→存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim0x xf x f f xf fx x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】. 5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）. 商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-，故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xx x x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意e x 当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-，所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】 10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim 0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y ∂''=-∂，所以122z zy x xy f f x y x y ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】,【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C =⇒=，将11x y==代入左式得e C =，故满足条件的方程的特解为22e e x y x =，即y =，1e x ->. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】,【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩. 【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算.图如下：【评注然后利用它们的独立性求得3讲【例11】，《数学】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 【详解】方程ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=，即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y '''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222000110d d d d xx x x x y x y x y --⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰(1112=++. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时,可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰210r π=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.（2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c =于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.【评注】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212n n nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑，所以1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，收敛区间为13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组 123123************21x x x x x ax x x a x xx x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵 22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-. 【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零. （II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则 011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II)利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II)利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰ 20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】(II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24）(本题满分11分)设总体X 的概率密度为 1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以()2225121248DX EX EX θθ=-=-+，所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。

2007—数二真题、标准答案及解析

2007年考研数学二真题一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→（）A. 1-B.lnC. 1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =( )A. 0B. 1C. 2π-D.2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散（7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是（） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x →-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y→-=C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦ （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ，（）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x xx→-=____. (12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____(13)设函数123y x =+，则()0ny ＝_____.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_____.(15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y =,则_____z zx y x y∂∂-=∂∂.(16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为______. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x . （18）（本题满分11分）设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求0x dzdx=，202x d z dx =.(21)（本题11分）设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f ag a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=. （22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)T α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .2007年考研数学二真题解析一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2）当0x +→（B ）A. 1-B.lnC. 1D.1-（2）函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =(A)A. 0B. 1C. 2π-D.2π （3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x→+-存在, (0)0f =C. 若0()lim x f x x →存在, 则(0)0f '=D. 0()()lim x f x f x x→--存在, (0)0f =（5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是 (D)A.若12u u >，则{}n u 必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散（7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B ） A.()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B. ()()0,00,0lim0x f x f x →-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y→-=C.()(,0,0,00,0lim0x y f x f →-=D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →-=⎡⎤⎣⎦且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤-=⎣⎦ （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A10arcsin (,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 10arcsin (,)y dy f x y dy ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（10）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ，（B ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx x x x →-=16.(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=1）.(13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -⋅.(14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32x y y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-.(15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y =,则1222(,)(,)z z y y x x y xx y f f x y x x y y x y∂∂''-=-+∂∂.(16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导函数，且满足()100cos sin ()sin cos f x x t t f t dt t dt t t --=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x . 【详解】：设(),y f t =则1()t f y -=.则原式可化为：1(0)0cos sin '()sin cos xxf t t yf y dy tdt t t--=+⎰⎰ 等式两边同时求导得：cos sin '()sin cos x xxf x x x x-=+c o s s i n '()s i n c o sx x f x x x -=+ （18）（本题满分11分）设D是位于曲线y =- ()1,0a x >≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值. 【详解】：22222()())(ln )xa a I V a y dx dx a πππ-+∞+∞===⎰⎰ 22412(ln )(2ln )2()()0(ln )a a a a II V a a π-'=⋅= 得ln (ln 1)0a a -=故ln 1a =即a e =是唯一驻点，也是最小值点，最小值2()V e eπ=（19）求微分方程()2''''y x y y +=满足初始条件(1)'(1)1y y ==的特解.【详解】：设dy p y dx '==，则dpy dx''=代入得： 22()dp dx x p x x p p p dx dp p p++=⇒==+设x u p= 则()d pu u p dp =+du u p u p dp ⇒+=+1dudp ⇒=1u p c ⇒=+即21x p c p =+ 由于(1)1y '= 故11110c c =+⇒=即2x p =32223dy p y x c dx ⇒==⇒=±+ 由21(1)13y c =⇒=或253c = 特解为322133y x =+或322533y x =-+（20）已知函数()f a 具有二阶导数，且'(0)f ＝1，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin ),z f y x =-求0x dzdx=，202x d zdx =.【详解】：11y y xe --=两边对x 求导得11()0y y y e xe y --''-+⋅=得 111y y e y xe --'=- （当01)x y ==，故有11121x e y -='==-1(ln sin )(cos )(0)(111)0x x dz f y x y x f dxy=='''=--=⨯-=222221()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )x x d z y f y x y x f y x x dx y y=='''''=--+--+221(0)(111)(0)(10)1(1)11f f -'''=⨯-+⨯+=⨯-=- (21)（本题11分）设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f ag a f b g b ==证明：存在(,)a b ξ∈，使得''''()()f g ξξ=. 【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得. （22）（本题满分11分）设二元函数2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 的第一象限部分.由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D = ,且1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +≤≥≥≤+≤≥≥于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而111112200111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰(1)(2)121222cos sin 10cos sin 1(,)()D D f x y d d rdr rπθθθθσσθ++==⋅⎰⎰⎰⎰极坐标变换220221122200021112001cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan22221)u td d d du du u u u dt dtt πππθθθθθθθθθθθ-===+-+===-+---+==+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以11(,)1)12D f x y d σ=+⎰⎰得1(,)4(1))12Df x y d σ=⎰⎰(23)（本题满分11分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即矩阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ== 当2a =时，方程组(3)的系数矩阵为11101110122001101440000111110000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)T k -(24)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)T α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TTαα=-=（Ⅱ）令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333B P d i a g P d i a g -⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

2007年考研数学三真题与完整解析

2007 年研究生入学考试数学三试题一、选择题： 1～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（ 1）当 x0 时，与 x 等价的无穷小量是（ A ）1 e x（）1 x （） 1x 1 （ D）1 cos x[]B lnxC1（ 2）设函数 f ( x) 在 x0 处连续，下列命题错误的是：（A ）若 limf ( x) 存在，则 f (0)0 （ B ）若 lim f (x)f ( x)存在，则 f (0) 0 .x 0xx 0x（B ）若 limf ( x)存在，则 f (0)0 （ D ）若 lim f (x)f (x)存在，则 f (0) 0 .xxx 0x[ ]（ 3 ）如图，连续函数y f (x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2, 0 , 0, 2 的图形分别是直径为2 的下、上半圆周，设 F ( x)xf (t )dt ，则下列结论正确的是：（A ） F(3)3F( 2)(B)F (3)5F(2)44（C ） F (3)3F(2)（D ） F(3)5F( 2)[]414（ 4）设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分f ( x, y)dy 等于dxsin x21dyf (x, y)dx1 f ( x, y)dx（ A ）（ B ）dy0 arcsin y 0 arcsin y 1arcsin y1arcsin y（ C ）dyf (x, y)dx（D ）dyf ( x, y)dx22（ 5）设某商品的需求函数为 Q 1602P ，其中 Q, P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是(A) 10.(B) 20 (C) 30.(D)40.[]（ 6）曲线 y1 ln 1 e x 的渐近线的条数为x（A ）0.（B ）1. （C ）2. （D ）3. []（ 7）设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) 12 ,23 ,31(B) 12 ,23 ,3 1(C)122 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,32 1 .[]2 1 1 1 0 0（ 8）设矩阵 A1 21 , B 0 1 0 ，则 A 与B1120 0(A) 合同且相似（ B ）合同，但不相似 .(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 []（ 9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p 1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为（A ） 3 p(1p) 2 .（ B ） 6 p(1 p) 2 .（C ） 3 p 2 (1 p)2 .（D ） 6 p 2 (1 p) 2[ ]（ 10）设随机变量 X ,Y 服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关， f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X ,Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下， X 的条件概率密度f X|Y ( x | y) 为(A) f X ( x) .(B)f Y ( y) . (C) f X ( x) f Y ( y) . (D)f X (x)[].f Y ( y)二、填空题： 11～ 16 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .（ 11）x 3 x 2 1cos x)__________.limx3(sin xx2x（ 12）设函数 y1，则 y ( n ) (0)________.2x3（ 13）设 f (u, v) 是二元可微函数， zfy , x，则 x zyz__________.x y xy3（ 14）微分方程dyy 1 y 满足 y x 1 1的特解为y________.dxx 2 x0100（ 15）设矩阵A0010，则 A3的秩为.00010000（ 16）在区间0,1 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1的概率为. 2三、解答题：17～ 24 小题，共86 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 17）(本题满分 10分 )设函数 y y(x) 由方程 y ln y x y0 确定，试判断曲线y y( x) 在点 (1,1)附近的凹凸性.（ 18）(本题满分 11分)x2 ,| x | | y |1设二元函数 f (x, y)1, 1| x || y |2，计算二重积分 f ( x, y)d ，其中Dx2y 2D x, y | x | | y | 2.（ 19）(本题满分 11分)设函数 f ( x), g ( x) 在a, b上连续，在 (a, b) 内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a)g(a), f (b)g(b) ，证明：存在(a, b) ，使得 f( )g ( ) .（ 20）(本题满分 10分 )将函数 f ( x)1展开成 x1的幂级数，并指出其收敛区间. x23x4（ 21）(本题满分 11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax30与方程 x12x2x3a1有公共解，求 a 的值及所有公共解.x14x2a2x3 0（ 22）(本题满分 11分)设三阶对称矩阵 A 的特征向量值11, 22, 3 2 ，1(1, 1,1)T是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B A54A3E，其中E为3阶单位矩阵 .（I ）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B .（23）(本题满分 11 分)设二维随机变量( X , Y) 的概率密度为2 x y, 0x 1,0 y 1f ( x, y).0,其他（I）求P X 2Y；(II)求Z X Y 的概率密度. 2007 答案1⋯ .【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 x0 时，1 e x x ，1x 11x ， 1cos x1x21x ，222故用排除法可得正确选项为（ B ） .ln1xln(1 x)ln(1x )111事实上， lim1x lim lim1x11x 2 x1，x0x x 0x x 02x1xx)ln(1x)x o(x)x o(x )x o(x)x .或 ln ln(11x所以应选（ B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算..2⋯⋯ .【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f ( x) 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取 f (x)| x |，则 lim f ( x) f ( x)0 ，但 f ( x) 在 x0 不可导，故选（D）.x 0x事实上，在 (A),(B) 两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得 f (0) 0 .在（ C）中，lim f (x)存在，则 f (0) 0, f(0)lim f ( x)f(0)lim f ( x)0 ，所以(C)项正确，x 0x x0x0x 0x故选 (D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 .3⋯⋯ .【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得F(3) 1211213，F(2)1221，222822121F( 2) f (x)dx f ( x)d x f (x)dx1.20202022所以 F (3)3F(2)3F( 2) ，故选（ C ）.44【评注】本题属基本题型 . 本题利用定积分的几何意义比较简便.4⋯⋯ .【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，x,sin x y 1，则 0 y 1,arcsin y x，2故应选（ B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出 .5⋯⋯ .【分析】本题考查需求弹性的概念 .【详解】选（ D ） .dQ P 2P P 40，商品需求弹性的绝对值等于Q1dP 160 2P故选（ D ） .【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念 .6⋯⋯ .【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断 .【详解】 lim ylim 1 ln 1 e x, lim ylim 1 ln 1 e x0 ，xxxxxx所以y 0是曲线的水平渐近线；lim ylim1 ln 1 e x，所以 x0 是曲线的垂直渐近线；x 0x 0xlim ylim 1 ln 1 e xln 1 e xe x x 1xlimlim 1e ，xx xxx xx11 x，所以 y x是曲线的斜渐近线 .b l i m y xl i ml n 1 exxxx故选（ D ） .【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意 e x 当 x, x时的极限不同 .7⋯⋯ ..【分析】本题考查由线性无关的向量组1, 2 , 3 构造的另一向量组 1, 2 , 3 的线性相关性 . 一般令1, 2, 31, 2, 3 A ，若 A 0，则 1, 2,3线性相关；若 A0，则1, 2,3线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由1223310 可知应选（ A ）.或者因为1 0 1 1 0 112 ,23 ,311,2,31 1 0 ，而 1 1 00 ，0 1 1 0 1 1所以12 ,23 ,3 1 线性相关，故选（ A ） .1,0,0 TT0,0,1 T【评注】本题也可用赋值法求解，如取1,20,1,0 , 3 ，以此求出（ A ），（ B ），（ C ），（ D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.8⋯⋯ 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得 A 的特征值，并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.2 1 1【详解】由 E A1 2 1(3)2可得 123,3 0，112所以 A 的特征值为 3,3,0；而 B 的特征值为 1,1,0.所以 A 与 B 不相似，但是A 与B 的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以 A 与 B 合同，故选（ B ） .【评注】若矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算 A 与 B 的特征值可立即排除（ A ）（C ）.9⋯⋯ ..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率 . 关键要搞清所求事件中的成功次数 .【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4 次击中目标｝C 31 p(1 p) 2 p 3p 2 (1 p) 2 ，故选（ C ） .【评注】本题属基本题型 .10⋯⋯ .【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与 Y 的独立性和公式f X |Y ( x | y)f ( x, y) 可求解 .f Y ( y)【详解】因为 X ,Y 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，所以 X 与 Y 独立，所以 f (x, y) f X ( x) f Y ( y) .故 f X |Y ( x | y)f (x, y) f X (x) f Y ( y)f X ( x) ，应选（ A ） .f Y ( y)f Y ( y)【评注】若X ,Y 服从二维正态分布，则 X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立是等价的 .11⋯ .【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论 .x 3x 2x 3x 2 1【详解】因为 lim x 3 1lim 2x2x3 2x 00,| sin x cos x | 2 ，x2 xxx 112x所以 lim x3x x23 1(sin x cos x)0 .x2x【评注】无穷小的相关性质：（ 1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（ 2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（ 3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.12,⋯⋯ ..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】 y1 , y 2，则 y ( n) ( x) ( 1)n 2n n! ，故 y (n) (0) ( 1)n 2n n! .2x 32x 3 2(2 x 3)n 13n 1【评注】本题为基础题型 .13⋯⋯ .【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可 .【详解】利用求导公式可得z y 1 x x 2 f1f 2 ，yz 1 f 1 x2 f 2 ，yxy所以 xzyz2 f 1 yf 2 x.xyxy【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性 .14⋯ ..【分析】本题为齐次方程的求解，可令uy.xy，则原方程变为【详解】令 uxu x du1 u 3 dudx .udx2u 3 2x两边积分得11ln x1ln C ，2u 2221y 2即 x1e u 2x1e x 2 ，将 y x 11代入左式得 Ce ，CCx 2x故满足条件的方程的特解为ex e y 2 ，即 y， x e 1 .ln x1【评注】本题为基础题型 .15⋯⋯⋯ .【分析】先将 A 3 求出，然后利用定义判断其秩 .0 1 0 0 0 0 0 10 0 1 00 0 0 0【详解】A0 0A30 0 0 r ( A) 1.0 1 0 0 0 0 00 0 0 0【评注】本题为基础题型 .16⋯⋯⋯ .【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便 .【详解】利用几何概型计算 . 图如下： y1AO 1/2 1/2x1 2S A 132所求概率1.S D4【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.17⋯⋯ ..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】方程 y ln y x y 0 两边对 x 求导得y ln y yy1 y 0 ， y即 y (2 ln y)1，则1 y (1).2上式两边再对 x 求导得y2y (2ln y)0y1，所以曲线 y y( x) 在点 (1,1)附近是凸的.则 y (1)8【评注】本题为基础题型 .18⋯⋯ .【分析】由于积分区域关于x, y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于x, y 均为偶函数，且积分区域关于x, y 轴均对称，所以f (x, y)d f (x, y)d，其中 D1为 D 在第一象限内的部分.D D1而 f ( x, y)d x2d1dD1x y 1,x 0, y 0 1 x y2,x 0, y 0x2y21x12x1dy22x1dydx x2 dy dx dx000 1 xx2y210x2y212 ln 1 2 .12所以 f ( x, y)d 14 2 ln1 2 . 3D【评注】被积函数包含x 2y 2时 , 可考虑用极坐标，解答如下：f (x, y)d1d x 2y 21 x y2 1 x y 2x 0, y 0x0, y 022 d sin1cos drsin cos2 ln(12) ..19⋯⋯ . 【分析】由所证结论 f ( ) g ( ) 可联想到构造辅助函数 F ( x) f (x)g ( x) ，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令 F (x) f (x) g( x) ，则 F ( x) 在a,b上连续，在 (a,b) 内具有二阶导数且 F (a) F (b)0 .（ 1）若f (x), g( x)在(a, b)内同一点c取得最大值，则 f (c) g(c) F (c)0 ，于是由罗尔定理可得，存在1( a,c), 2(c,b) ，使得F(1) F(2) 0.再利用罗尔定理，可得存在( 1 , 2 ) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) g ( ) .（ 2）若 f (x), g( x) 在 (a, b) 内不同点 c 1, c 2 取得最大值，则 f (c 1) g(c 2 ) M ，于是F (c 1 ) f (c 1 ) g(c 1) 0, F (c 2 ) f (c 2 ) g( c 2 ) 0 ，于是由零值定理可得，存在c 3 (c 1 , c 2 ) ，使得 F (c 3 ) 0于是由罗尔定理可得，存在1( a,c 3 ), 2 (c 3 ,b) ，使得F(1) F(2) 0.再利用罗尔定理，可得，存在( 1 , 2)，使得 F () 0 ，即 f( ) g ( ) .【评注】对命题为 f ( n) () 0 的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为 f (n 1) ( x) 的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证 f ( n 1) ( x) 在包含 x于其内的区间上满足罗尔定理条件..20⋯ .【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】 f (x)11 1 11 ，而3x 4 ( x 4)( x 1) 5 x 4 x 1x 21 1 11x 1n( x n1)1n, 2 x 4 ，1x 43 1 x 3 n 03 n 03311 11n( 1)n( x 1)nx 11 x 3 ，x 1n 1, x 1 2 12 n 02n 022所以 f ( x)(x 1)n( 1)n ( x 1)n1( 1)n nn 102n 1n 1n 1 ( x 1) ，n 03n n 032收敛区间为 1 x 3 .【评注】请记住常见函数的幂级数展开 .21⋯ ..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组x1x2x30x12x2ax302x14x2 a x30x12x2x3 a 1其系数矩阵11101110A12a001a10.1 4 a200 3 a2 1 0121 a 1010a111101110 01a1001a100 0 a23a 2 00 0 1 a.a 10 0 1 a a 10 0 (a 1)(a 2)0显然，当 a1, a 2 时无公共解.当时，可求得公共解为Ta1k 1 , 0 ,1为任意常数；, k当 a 2 时，可求得公共解为T 0,1, 1.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.22⋯⋯【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I）B1A54A3 E 1543543 1 1 2 1，1 1 1 1111则1是矩阵 B 的属于－2的特征向量.同理可得532 ，B 543133.B22 4 2 12333所以 B 的全部特征值为2，1， 1设B的属于 1 的特征向量为2( x1, x2 , x3 )T，显然 B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T120 .即x1x2x30 ，解方程组可得 B 的属于1的特征向量2k1 (1,0, 1)T k2 (0,1,0) T，其中 k1 , k2为不全为零的任意常数.由前可知 B 的属于－2的特征向量为k3 (1, 1,1)T，其中 k3不为零.101100（II）令P011，由（Ⅰ）可得 P-1BP010，则101002011B10 1 .110【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为 Ax x 的形式.请记住以下结论：（1）设是方阵 A 的特征值，则kA, aA bE, A2 , f ( A), A 1, A*分别有特征值k, a b, 2 , f ( ),1A, ( A 可逆），且对应的特征向量是相同的.（ 2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的23⋯⋯ .【分析】（I）可化为二重积分计算；(II)利用卷积公式可得.1x7【详解】（I）P X 2Y dx 22 x y dxdy 2 x y dy.0024x 2 y(II)利用卷积公式可得f Z ( z) f ( x, z x)dxz(2x)dx,0z102z z20z11(2x)dx,1z2(2z)21z 2 .z10,其他0,其他【评注】 (II) 也可先求出分布函数，然后求导得概率密度..（24） (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为10x,21,x 1f ( x)2(1)0,其他( X1, X 2 , ,, X n ) 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（ I ）求参数的矩估计量；（II ）判断 4X 2 是否为2的无偏估计量，并说明理由 .【分析】利用 EX X 求（ I ）；判断 E 4X 2?2.【详解】（I ） EX xf ( x)d xx dx1xdx1 ，222 14令 X11242X.2（II ）E 4X24E X24 DXEX 241DXEX 2，n而 EX2x 2f ( x)dxx 21x 221 ，dxdx330 22 16EX2225所以DXEX，121248所以E 4X24 1DX EX11 2111 52 ，2n3n3n4 12n故4X 2 不是2的无偏估计量 .【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法 .。

广西民族大学数学分析2007真题

第 1 页共 1 页广西民族大学2007年硕士研究生入学考试试题
（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）
学科专业：基础数学、计算数学、应用数学研究方向：
考试科目：数学分析试卷代号：A 卷
一、
1．（15分）证明：等价于 .A x f Lim x =→)(2
0A x f Lim x =+→)(02．（15分）讨论函数的连续性，并确定它的连续点集.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin ),(x x y
x xy y x f 二、（20分）已知函数在有二阶连续导数,且. 试证：
)(x g ),(+∞-∞0)0(=g 在内有连续导数.⎪⎩⎪⎨⎧=≠'=0
0)0()()(x x g x x g x f ),(+∞-∞三、（20分）计算 J=,其中曲面S:由球面与
⎰⎰++S zdxdy ydzdx xdydz 2222a z y x
=++相交所得球面部分,球面外侧为正向.
ax y x =+22四、（20分）已知函数在上连续,试证至少存在一点使得
)(x f ],[b a ),(b a ∈ξ成立,其中.
⎰=b
a
f dx x f )()(ξ)(a b -b a <<ξ五、（20分）证明：如果函数在有界开区域D 内一致连续，那么它在D 内有界.
),(y x f 六、（20分）确定正数，使得曲面与曲面相切，并写出一个切平面方ηη=xyz 122
2222=++c
z b y a x 程.
七、（20分）计算：I=,其中是正整数.
⎰π
n dx x x 0
sin n。

2007考研数二真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110 小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )A .1x e - 1.l n 1xB x+- .11C x +- .1c o s D x -(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是x =( ).A 0 .B 1 .C 2π-.D 2π(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是( ).A 若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在(5) 曲线1ln(1)xy e x=++渐近线的条数为( ).A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n == ，则下列结论正确的是( ).A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散(7) 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( )32-1O1 -2 -3yx.A[](,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.B []0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=且[]0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.C[]22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0x y f x y f x y→-=+.D []0lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ (8) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( ).A 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(9) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 122332,2,2αααααα+++ (10) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B ( ) .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似 .C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11) 30arctan sin lim_________x x xx →-=(12) 曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____(13) 设函数123y x =+，则()(0)___________n y =(14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为_____y =(15) 设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zxy x y∂∂-=∂∂＿＿＿＿＿ (16) 设矩阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()10cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰其中1f-是f 的反函数，求()f x .(18)设D 是位于曲线2(1,0)x ay xa a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; (II) 当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值.(19)求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.(20)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin )z f y x =-，求2002,x x dzd zdxdx ==.(21)设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(22)设二元函数 222,1(,)1,12x x y f x y x y x y⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤(23)设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 得值及所有公共解.(24)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.(I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x →时，11;11;2xe x x x -+- 2221cos 2sin 2(),222x xx x -==当0x +→时，此时0x →，所以11();11;2xe x x x --+- 211cos (),2x x - 可以排除A 、C 、D ，所以选(B). 方法2： 1ln1x x +=-1ln 1x x x x -++=-ln[1]1x xx++-当0x +→时，11x -→，01x xx+→-，又因为0x →时，()ln 1x x + ，所以()ln[1]~~1~11x x x xx x x x x x x++++=+--，选(B).方法3：()0001111ln()ln()()1111lim limlim 12x x x x x x x x x x x xxx+++'''→→→+⎡⎤+-+⎢⎥-+--⎣⎦=洛()()()()()2001111211221lim lim 1112x x x x x x x x x x x x xx++→→-++-⋅+-+-==+- 设()()()2211111x x xA B x xx x+-=++-+-，则()()11422A x B x x x x x -++=+- 对应系数相等得：2,1A x B = =，所以原式()()()022121lim lim 1111x x x x xx x x x x++→→+-⎡⎤==+⎢⎥+-+-⎣⎦021lim lim 0111x x x x x++→→=+=++-1=，选(B). (2)【答案】( A)【详解】首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.()f x 的不连续点为0、1、2π±，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点.逐个考虑各个选项即可.对A : 111111101()tan (1)lim ()lim lim lim 1,()(1)xxx x x x x xxxe e x e e e ef x x e e e ee e ++++-→→→→-+++====---11101110000lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim x x x x x x x x x x x e e e e x e e e f x e x e e e e e e -----→→→→→⎛⎫+⎪++⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f x 在0x =存在左右极限，但()()0lim lim x x f x f x +-→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选(A)；同样，可验证其余选项是第二类间断点，()1lim x f x →=∞，()2lim x f x π→=∞，()2lim x f x π→-=∞. (3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t d t =⎰ 知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰所以 3(3)(3)(2)4F F F -==，选择C (4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim 0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =，有00()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim lim ln(1)x x x e x →→=++=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21l n (1)1l n (1)l i m l i m l i m x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1l i m l i m l n (1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1lim lim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞= ++- 1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)。

2007—数二真题、标准答案及解析

在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的
是：（C）
.
(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
A. 若存在，则 B. 若存在,
C. 若存在, 则 D. 存在,
（5）曲线渐近线的条数为
（D）
0
12
3
(6)设函数在上具有二阶导数，且,
令=
则下列结论正确的是
(D)
A.若，则必收敛 B. 若，则必发散
则原式可化为：等式两边同时求导得：
（18）（本题满分11分）设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. 【详解】：
得故即是唯一驻点，也是最小值点，最小值（19）求微分方程满足初始条件的特解. 【详解】：设，则代入得：
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，
（）
(A) 合同，且相似
C. 若，则必收敛 D. 若，则必发散
（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（c）
A.
B. ，且
C.
D. 且
（8）设函数连续，则二次积分等于（B）
（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A)
（A）（B）
（C）（D）
（10）设矩阵A=，B=,则A于B，

广西民族大学601数学分析历年考研真题2016-2020

证明 g(x) 为[a,) 上一致连续。
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七、（15 分）设级数
an2 收敛，证明
an n
（ an
0 ）也收敛。
八、（15 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中 S 为球面
S
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 ，并取外侧为正。
九、（15
D
二、求解下面题目（每小题 20 分，共 3 小题, 共 60 分）
1. (i) 设 f (x) 在开区间 (a,b) 可微，且 f (x) 在 (a,b) 有界. 证明 f (x) 在 (a,b) 一致连续.
(ii) 设 f (x) 在开区间 (a,b) ( a b ) 可微且一致连续，试问 f (x) 在 (a,b) 是否
考试科目代码及名称：601 数学分析
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2019 年全国硕士研究生招生考试初试试题
【B】卷
科目代码：601
科目名称：数学分析
考生须知
1．答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。 2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。 3．交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
卷的凭证）。否则，产生的一切后果由考生自负。
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）（1） lim 1- cos x2 ； x0 1 cos x
(2） lim 1 1 ......... 1 .
n n 1 n 2
nn
二、（15
分）设函数
f
(x)
x
m
sin
1 x
0
x 0（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时， f 在 x 0 x0

广西民族大学科学技术概论2007--2015年考研真题／研究生入学考试试题

（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）学科专业：科学技术史研究方向：考试科目：科学技术概论试卷代号：A卷（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）学科专业：科学技术史研究方向：考试科目：832 科学技术概论试卷代号：A卷2009年硕士研究生入学考试初试广西民族大学自命题科目试题（试卷代号：A卷）科目代码：832科目名称：科学技术概论适用学科专业：科学技术史研究方向：命题教师签名：考生须知1．答案必须写在答题纸上，写在试题册上无效。

2．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。

3．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。

否则，产生的一切后果由考生自负。

一、名词解释（每小题5分，共10小题，共50分）1、物质波2、转基因技术3、等离子态4、大爆炸宇宙模型5、空间站6、自组织7、干细胞8、测不准原理（关系）9、熵10、人类基因组计划二、简答题（每小题10分，共5小题，共50分）1、简述伽利略的主要科学成就及其在科学史上的地位。

2、19世纪末物理学的三大发现及其意义。

3、简述美国科学社会学家默顿所概括的科学共同体的基本行为规范（精神气质）。

4、简述功能模拟方法的特点。

5、一个世纪以来，航空航天技术促进了哪些学科与技术的发展？三、论述题（共2小题，第1题20分，第2题30分，共50分）1、什么是耗散结构，耗散结构形成需要哪些条件，其理论意义有哪些？（20分）2、分析科学与技术的区别，再联系科技史谈一下二者之间的联系。

（30分）广西民族大学2010年硕士研究生入学考试初试自命题科目试题（试卷代号：A卷）科目代码：832科目名称：科学技术概论适用学科专业：科学技术史研究方向：所有方向考生须知4．答案必须写在答题纸上，写在试题册上无效。

5．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔作答，用其它笔答题不给分。

6．交卷时，请配合监考人员验收，并请监考人员在准考证相应位置签字（作为考生交卷的凭证）。

【7A版】2007年考研数学三真题及完整解析

20GG 年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1e x -（B ）ln1x-（C ）11x +-（D ）1cos x -[] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f =（B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '=（D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F =（D ）5(3)(2)4F F =--[]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A)10.(B)20(C)30.(D)40.[] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.[]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++.[]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A)合同且相似（B ）合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[]（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -.（B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -.（D ）226(1)p p -[]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A)()X f x .(B)()Y f y .(C)()()X Y f x f y .(D)()()X Y f x f y .[] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+__________.（12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂__________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.（18）(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){,||||D x y x y =+（19）(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=. （20）(本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21）(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a的值及所有公共解. （22）(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B . （23）(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）求{}2P X Y >； (II)求Z X Y =+的概率密度.20GG答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x+→时，1x--，112x，()211122x x-=，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，000lim lim lim1x xx+++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++.所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】. 2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x=，则()()l i m0xf x f xx→--=，但()f x在0x=不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f=.在（C）中，()limxf xx→存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim0x xf x f f xf fx x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型.画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】. 5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）. 商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-，故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xx x x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意e x 当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-，所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】 10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim 0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++，所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y ∂''=-∂，所以122z zy x xy f f x y x y ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】,【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C =⇒=，将11x y==代入左式得e C =，故满足条件的方程的特解为22e e x y x =，即y =，1e x ->. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】,【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩. 【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型. 矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算.图如下：【评注然后利用它们的独立性求得3讲【例11】，《数学】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 【详解】方程ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=，即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y '''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222000110d d d d xx x x x y x y x y --⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰(1112=++. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时,可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰210r π=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.（2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c =于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=.【评注】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212n n nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑，所以1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑，收敛区间为13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组 123123************21x x x x x ax x x a x xx x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵 22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-. 【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零. （II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则 011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式.请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II)利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II)利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰ 20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】(II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24）(本题满分11分)设总体X 的概率密度为 1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以()2225121248DX EX EX θθ=-=-+，所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。

广西民族大学高等代数2007真题

第 1 页共 2 页附件4 广西民族大学2007年硕士研究生入学考试试题（所有试题答案必须写在答题纸上，答案写在试卷上无效）学科专业: 基础数学、计算数学、应用数学研究方向：所有方向考试科目：高等代数试卷代号：A一、计算行列式(20分)1．； 2.（注：对角线上元素分别为201100102311132--133332333333(2)333n n æöç÷ç÷³ç÷ç÷ç÷èøL L L L L LL L L ，其余元素为3）1,2,n L 二、(15分)设是非齐次线性方程组的一个解，是对应齐次线性方程组的b Ax b =12,,,n r a a a -L 一个基础解系，证明：（1）线性无关；（2）线性12,,,,n r a a a b -L 12,,,,n r a b a b a b b -+++L 无关。

三、(15分)取何值时下列方程组有解？并求其解：a 12312321231ax x x x ax x a x x ax aì++=ï++=íï++=î四、(20分)证明：，其中是矩阵（）。

2**()n A AA -=A n n ´2n >五、(15分) 设是一个阶实对称矩阵，且。

证明：存在实维向量使得。

A n 0A <n x '0x Ax <六、(15分)设有向量组，()12312(1,0,2,1),(2,0,1,1),3,0,3,0,(1,1,0,1),(4,1,3,1)a a a b b ==-===令。

求的维数，并求一组基。

1123212(,,),(,)V L a a a V L b b ==12V V +七、(15分)设为维空间的一个线性变换，且。