2022-2023学年浙江省台州市路桥区九校数学八上期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．图中的小正方形边长都相等，若MNP MFQ ≌，则点Q 可能是图中的（ ）
A ．点D
B ．点
C C ．点B
D ．点A
2．如图，AE 垂直于∠ABC 的平分线交于点D ，交BC 于点E ，CE=1
3
BC ，若△ABC 的面积为2，则△CDE 的面积为（ ）
A ．
13
B ．
16
C ．
18
D ．
110
3．不等式组551
1x x x m +<+⎧⎨->⎩
的解集是x ＞1，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ≥1
B ．m ≤1
C ．m ≥0
D ．m ≤0
4．禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为（ ） A ．70.910-⨯米
B ．7910-⨯米
C ．6910-⨯米
D ．7910⨯米
5．已知三角形三边长3，4，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．7x <
C ．17x <<
D ．17x -<<
6．在实数π，196
，3-，303••
838中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．若分式2||3
6
x x x ---的值为零，则x 的值为（ ）
A ．±3
B ．3
C ．﹣3
D ．以上答案均不正确
8．如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，CD CA =，D 在BC 上，45ADE ∠=︒，
E 在AB 上，则BED ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．75︒
C ．80︒
D ．85︒
9．下列各式：213,,,3122x x a b a x a π
+-++中，分式的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠AED =90°②∠ADE =∠CDE ③DE =BE ④AD =AB +CD ，四个结论中成立的是（ ）
A ．①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①③
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．2
2
34xy z
·（-2
8z y ）的值为_______ 12．如图，在△ABC 中，∠ACB =2∠A ，过点C 的直线能将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠A 的度数为____．
1321x
-的值为零，则x =____．
14．如图，矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，AO 中点，则线段EF =_________．
15．01(2)3--+=______；
16．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
17．将直线y ＝ax+5的图象向下平移2个单位后，经过点A （2，1），则平移后的直线解析式为_____．
18．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长最小值为_____．
三、解答题(共66分) 19．（10分） (1)计算:
(
)
1
131133-⎛⎫
⎪⎝⎭
-+---
(2)已知()2
3227x -=，求x 的值.
20．（6分）如图，()23A -，
，()43B ，，()13C --，.
（1）点C 到x 轴的距离为：______；
（2）ABC ∆的三边长为：AB =______，AC =______，BC =______； （3）当点P 在y 轴上，且ABP ∆的面积为6时，点P 的坐标为：______.
21．（6分）如图，在ABC 中，点M 为BC 边上的中点，连结AM ，D 是线段AM 上
一点（不与点A 重合）.过点D 作//DE AB ，过点C 作//CE AM ，连结AE ． （1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：
①ABD EDC △≌△； ②四边形ABDE 是平行四边形．
（2）如图2，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且2BH AM =，求CAM ∠的度数．
22．（8分）每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间（单位：min ）进行调查，过程如下： 收集数据： 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据： 课外阅读平均
时间x （min ） 0≤x ＜40
40≤x ＜80
80≤x ＜120
120≤x ＜160
等级 D C B A 人数 3
a
8
b
分析数据： 平均数 中位数 众数 80
m
n
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a ＝ ，b ＝ ；m ＝ ，n ＝ ；
（2）已知该校学生500人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80min 为达标，请估计达标的学生数；
（3）设阅读一本课外书的平均时间为260min ，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年（按52周计）平均阅读多少本课外书？
23．（8分）已知点P （8–2m ，m –1）．
（1）若点P 在x 轴上，求m 的值．（2）若点P 到两坐标轴的距离相等，求P 点的坐标． 24．（8分）已知y 与2x +成正比，当4x =时，4y =． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点(3)a ，
在这个函数图象上，求a 的值． 25．（10分）（1）求式中x 的值：2(1)16x -=； （2）计算：2020312527--+-
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A （0，3），点B （-1，0），点D （2，0），DE ⊥x 轴且∠BED=∠ABD ，延长AE 交x 轴于点F ． （1）求证：∠BAE=∠BEA ； （2）求点F 的坐标；
（3）如图2,若点Q （m ，-1）在第四象限，点M 在y 轴的正半轴上，∠MEQ=∠OAF ，设AM-MQ=n ，求m 与n 的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A
【分析】根据全等三角形的判定即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知△MNP ≌△MFD ．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2、A
【解析】先证明△ADB≌△EBD，从而可得到AD=DE，然后先求得△AEC的面积，接下来，可得到△CDE的面积．
【详解】解：如图
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD．
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=∠EDB．
在△ADB和△EDB中，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∠ADB=∠EDB，
∴△ADB≌△EBD，
∴AD=ED．
∵CE=1
3
BC，△ABC的面积为2，
∴△AEC的面积为2
3
．
又∵AD=ED，
∴△CDE的面积=1
2
△AEC的面积=
1
3
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之
比是解题的关键． 3、D
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m 的范围即可．
【详解】解：不等式整理得：1
1x x m >⎧⎨>+⎩
，由不等式组的解集为x ＞1，得到m+1≤1，
解得：m≤0. 故选D. 【点睛】
本题考查了不等式组的解集的确定. 4、B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】70.000000452910-⨯=⨯． 故选：B ． 【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5、C
【分析】根据三角形三边的关系即可得出结论 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x ，3，4， ∴x 的取值范围是1＜x ＜1． 故选：C 【点睛】
此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6、B
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无线不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
=2=，
无理数有：π共2个， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是无理数的知识，掌握无理数的形式是解题的关键． 7、C
【分析】根据分式的值为零的条件得到|x |﹣1＝2且x 2﹣x ﹣6≠2，先解|x |﹣1＝2得x ＝1或﹣1，然后把x 的值代入x 2﹣x ﹣6进行计算可确定x 的值． 【详解】解：根据题意得|x |﹣1＝2且x 2﹣x ﹣6≠2， 解|x |﹣1＝2得x ＝1或﹣1，
而x ＝1时，且x 2﹣x ﹣6＝9﹣1﹣6＝2， 所以x ＝﹣1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为2，分母不为2，则分式的值为2．易错点是忘记考虑分母不为2的限制. 8、B
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出60C ∠=°，从而可知ADC ∆是等边三角形，再由等边三角形的性质可求出60CAD ∠=︒，从而可得30DAE ∠=︒，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】
90,30BAC B ∠=︒∠=︒
9006B C ︒-∠∴=∠=︒ CD CA =
ADC ∴∆是等边三角形，60CAD ∠=︒
30BAC DAE CAD =∠∴-=∠∠︒ 45ADE ∠=︒
375450AD BED DAE E ∠=∴∠=︒∠+︒+=︒
故选：B ． 【点睛】
本题是一道较为简单的综合题，考查了直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟记并灵活运用各性质是解题关键． 9、B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：
3,312
x a b x a -++的分母中含有字母，是分式； 21,2x a
π
+的分母中不含字母，不是分式； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查分式的概念，掌握分式的概念是解题的关键. 10、A
【分析】过E 作EF ⊥AD 于F ，易证得Rt △AEF ≌Rt △AEB ，得到BE=EF ，AB=AF ，∠AEF=∠AEB ；而点E 是BC 的中点，得到EC=EF=BE ，则可证得Rt △EFD ≌Rt △ECD ，得到DC=DF ，∠FDE=∠CDE ，也可得到AD=AF+FD=AB+DC ，∠AED=∠AEF+∠FED=
1
2
∠BEC=90°，即可判断出正确的结论． 【详解】过E 作EF ⊥AD 于F ，如图，
∵AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD ， ∴Rt △AEF ≌Rt △AEB ，
∴BE=EF ，AB=AF ，∠AEF=∠AEB ； 而点E 是BC 的中点， ∴EC=EF=BE ，所以③错误； ∴Rt △EFD ≌Rt △ECD ，
∴DC=DF ，∠FDE=∠CDE ，所以②正确； ∴AD=AF+FD=AB+DC ，所以④正确； ∴∠AED=∠AEF+∠FED=1
2
∠BEC=90°，所以①正确． 故选A ． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-6xy
【解析】试题分析：原式＝
22
2
38
4
xy z
z y
⋅
-
⋅
＝
22
2
24
4
xy z
yz
-＝－6xy．
故答案为－6xy．
12、45°或36°或(540
11
)°．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，
①如图1．
∵∠ACB=2∠A，∴AD=DC=BD，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=45°；
②如图2，AD=DC=BC，
∴∠A=∠ACD，∠BDC=∠B，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠A=36°，
③AD=DC，BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，∠A=∠ACD，
∴∠BCD=∠BDC=2∠A，
∴∠BCD=2∠A．
∵∠ACB=2∠A，故这种情况不存在．
④如图3，AD=AC，BD=CD，
∴∠ADC=∠ACD，∠B=∠BCD，
设∠B=∠BCD=α，
∴∠ADC=∠ACD=2α，
∴∠ACB=3α，
∴∠A=3
2α．
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴3
2
α+α+3α=180°，
∴α=360
11
︒
，
∴∠A =54011︒， 综上所述：∠A 的度数为45°或36°或(
54011)°． 故答案为：45°或36°或(54011
)°．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质．解题关键在于掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 13、-2
21x
-的值为零，则分子为0，且代数有意义，求出x 的值即可. 21x
-的值为零，则分子为0，及24=0x -，解得=2±x ， 代数式有意义，则10x -＞，解得：1x ＜，
则x=-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题是对代数式综合的考查，熟练掌握一元二次方程解法及二次根式知识是解决本题的关键.
14、3.1．
【详解】解：因为∠ABC=90°，AB=5，BC=12，所以AC=13，
因为AC=BD ，所以BD=13，
因为E ，F 分别为AB ，AO 中点，所以EF=
12BO ， 而BO=12BD ，所以EF=12×12
×13=3.1， 故答案为3.1．
15、43
【分析】分别计算零指数幂和负指数幂，然后把结果相加即可．
【详解】解：01(2)3--+ =113+
=43
． 故答案为：
43． 【点睛】
本题考查零指数幂和负指数幂．理解任意非零数的零指数幂都等于0和灵活运用负指数幂的计算公式是解题关键．
16、48°
【分析】将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝75°，
∴∠EFC ＝∠B ＝75°，
又∵∠EFC ＝∠D +∠E ，且∠E ＝27°，
∴∠D ＝∠EFC ﹣∠E ＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
17、y=-x+1．
【解析】根据一次函数的平移可得直线y=ax+5的图象向下平移2个单位后得y=ax+1，然后把（2，1）代入y=ax+1即可求出a 的值，问题得解.
【详解】解：由一次函数y=ax+5的图象向下平移2个单位后得y=ax+1，
∵经过点（2，1），
∴1=2a+1，解得：a=-1，
∴平移后的直线的解析式为y=-x+1，
故答案为：y=-x+1.
本题考查一次函数图像上的点的应用和图像平移规律，其中一次函数图像上的点的应用是解答的关键，即将点的坐标代入解析式，解析式成立，则点在函数图像上.
18、1
【解析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到
AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．
【详解】如图，连接BE．
∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分
线，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE．
∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题(共66分)
-3+1(2) x=5或x=-1
19、(1) )
【分析】(1) 按顺序分别进行0指数幂运算，负指数幂运算，化简绝对值，然后再按运算顺序进行计算即可；
(2) 利用直接开平方法进行求解即可.
【详解】(1)原式=1-3-)3-1
-3+1
=)
(2) ()2
x-=
3227
(x-2)2=9
x-2=±3
【点睛】
此题主要考查了实数的综合运算能力及解一元二次方程的方法，熟记概念是解题的关键.
20、（1）3；（2）6，（3）0,1，0,5
【分析】（1）点C 的纵坐标的绝对值就是点C 到x 轴的距离解答；
（2）利用A ，C ，B 的坐标分别得出各边长即可；
（3）设点P 的坐标为（0，y ），根据△ABP 的面积为6，A （−2，3）、B （4，3），所以12
×6×|x−3|＝6，即|x−3|＝2，所以x ＝5或x ＝1，即可解答． 【详解】（1）∵C （−1，−3），
∴|−3|＝3，
∴点C 到x 轴的距离为3；
（2）∵A （−2，3）、B （4，3）、C （−1，−3），
∴AB ＝4−（−
2）＝6，
AC =BC =；
（3）（3）设点P 的坐标为（0，y ），
∵△ABP 的面积为6，A （−2，3）、B （4，3）， ∴12。

、×6×|y −3|＝6， ∴|y −
3|＝2， ∴y ＝1或y ＝5，
∴P 点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
21、（1）①见解析；②见解析；（2）45CAM ∠=︒．
【分析】（1）①根据平行线的性质和中点性质即可得到ASA 证明ABD EDC △≌△； ②根据一组对边平行且相等即可证明四边形ABDE 是平行四边形；
（2）取线段HC 的中点I ，连接MI ，根据中位线的判断与性质，可得MI AM =，MI AC ⊥，即可求解．
【详解】（1）①如图1中，
∵//DE AB ，
∴EDC ABM ∠=∠，
∵//CE AM ，
∴ECD ADB ∠=∠，
∵AM 是ABC 的中线，且D 与M 重合，
∴BD DC =，
∴ABD EDC △≌△.
②由①得ABD EDC △≌△，
∴AB ED =，
∵//AB ED ，
∴四边形ABDE 是平行四边形.
（2）如图2中，取线段HC 的中点I ，连接MI ，
∵BM MC =，
∴MI 是BHC △的中位线，
∴//MI BH ，12
MI BH =， ∵BH AC ⊥，且2BH AM =. ∴2MI AM =，MI AC ⊥， ∴45CAM ∠=︒．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、中位线和三角函数，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
22、（1）a ＝5，b ＝4；m ＝81，n ＝81；（2）300人；（3）16本
【分析】（1）根据统计表收集数据可求a ，b ，再根据中位数、众数的定义可求m ，n ；
（2）达标的学生人数＝总人数×达标率，依此即可求解；
（3）本题需先求出阅读课外书的总时间，再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果．
【详解】解：（1）由统计表收集数据可知a ＝5，b ＝4，m ＝81，n ＝81；
（2）8450030020
+⨯=（人）． 答：估计达标的学生有300人；
（3）80×52÷260＝16（本）．
答：估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．
【点睛】
本题主要考查统计表以及中位数，众数，估计达标人数等，能够从统计表中获取有效信息是解题的关键.
23、（1）1m =；（2）()2,2P 或()6,6-．
【分析】(1)直接利用x 轴上点的坐标特点得出m-1=0，进而得出答案； (2)直接利用点P 到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
【详解】解：()1点()82,1P m m --在x 轴上，
10m ∴-=，
解得：1m =；
()2点P 到两坐标轴的距离相等，
821m m ∴-=-，
821m m ∴-=-或821m m -=-，
解得：3m =或7m =，
()2,2P ∴或()6,6-．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键．
24、 (1)()224 y x 2x 333
=+=+;(2)a=2.5. 【分析】()1首先设()2y k x =+，再把4x =，4y =代入所设的关系式，即可算出k 的值，进而得到y 与x 之间的函数关系式；
()2把(),3a 代入()1中所求的关系式即可得到a 的值．
【详解】解：()1设 ()y k x 2=+，
当x 4=时，y 4=，
()k 424∴+=，
2k 3
∴=， y ∴与x 之间的函数关系式为()224y x 2x 333
=+=+； ()2点()a,3在这个函数图象上，
24a 333
∴+=， a 2.5∴=．
【点睛】
考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．
25、（1）x =5或﹣3；（2）﹣1．
【分析】（1）直接利用平方根的定义化简得出答案；
（2）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案．
【详解】（1）(x ﹣1)2=16，
x ﹣1=±4，
解得：x =5或﹣3；
（2）20201-=﹣1﹣5﹣3
=﹣1．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
26、（1）证明见解析；（2）F （3，0）；（3）m=n ，证明见解析．
【分析】（1）先证明△ABO ≌△BED ，从而得出AB=BE ，然后根据等边对等角可得出结论；
（2）连接OE ，设DF=x ，先求出点E 的坐标，再根据S △AOE ＋S △EOF =S △AOF 可得出关于x 的方程，求出x ，从而可得出点F 的坐标；
（3）过Q 作QP ∥x 轴交y 轴于P ，过E 作EG ⊥OA ，EH ⊥PQ ，垂足分别为G ，H ，在GA 上截取GK=QH ，先证明△EQH ≌△EKG ，再证明△KEM ≌△QEM ，得出MK=MQ ，从而有AM-MQ=AM-MK=AK=n ①；连接EP ，证明△AEK ≌△PEQ ，从而有AK=PQ ＝m ②，由①②即可得出结论．
【详解】解：（1）∵A （0，3），B （－1，0），D （2，0），
∴OB=1，OD=2，OA=3，
∴AO=BD，
又∠AOB=∠BDE=90°，∠BED=∠ABD，∴△ABO≌△BED（AAS），
∴BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA；
（2）由（1）知，△ABO≌△BED，
∴DE=BO=1，∴E（2，1），
连接OE，设DF=x，
∵S△AOE＋S△EOF=S△AOF，
∴3×2×1
2
＋（2＋x）×1×
1
2
=3（2＋x）×
1
2
，
∴x=1，
∴点F的坐标为（3，0）；
（3）m=n，证明如下：
∵OA=OF=3，∴∠OAF=45°=∠MEQ，
过Q作QP∥x轴交y轴于P，过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G，H，在GA 上截取GK=QH，
∵Q（m，－1），E（2，1），
∴EG=EH=PH=PG=2，
又GK=QH，∠EGK=∠EQH=90°，
∴△EQH≌△EKG（SAS），
∴EK=EQ，∠GEK=∠HEQ，
∵∠GEH=90°，∠MEQ=45°，∴∠QEH+∠GEM=45°，∴∠GEK+∠GEM=45°，
即∠KEM=45°=∠MEQ，
又EM=EM，
∴△KEM≌△QEM（SAS），∴MK=MQ，
∴AM-MQ=AM-MK=AK=n①，
∴MQ=MG+KG=MG+QH．
连接EP，△EHP为等腰直角三角形，∠EPH=45°，
∴∠EPQ=∠EPA=45°，△EHP为等腰直角三角形，PE=AE，∠PEA=90°，
∵∠KEM=∠MEQ=45°，∴∠KEQ=90°，
∴∠AEK=∠PEQ，∠EPQ=∠KAE，
∴△AEK≌△PEQ，
∴AK=PQ＝m②，
由①②可得，m=n．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点的坐标与图形的面积问题等，第（3）小题的关键是作出辅助线构造全等三角形解决问题．。