2021年北师大版数学五下第二单元《长方体(一)》章节复习知识点、达标训练附解析

2021北师大版数学五年级下册章节复习知识点、达标训练附解析
第二单元《长方体（一）》
知识点一：长方体的认识
1. 长方体和正方体的各部分名称：
在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。

2. 长方体和正方体的特征
3. 长方体和正方体的异同点
4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体
5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。

知识点二：展开与折叠
1. 正方体展开图的特点
（1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。

在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。

（2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。

（3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。

（4）正方体的展开图，可分四个类型.
○1“一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个
○2“二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个
○3“二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个
○4“三三”型：两侧各三个
2. 长方体展开图的特点：长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。

3.长方体和正方体与展开图之间的对应关系
（1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要
找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。

（2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。

知识点三：长方体的表面积
1. 长方体表面积的计算方法：
2. 正方体表面积的计算方法：
知识点四：露在外面的面
1. 正方体组合体露在外面的面积的计算方法：计算堆放在墙角的小正方体露在外面的面积时，要先数出露在外面的面的总个数，再用一个面的面积乘以露在外面的面的总个数。

2. 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数：数堆放在一起的小正方体露在外面的面的个数时，要先观察小正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数间存在的规律。

一、精挑细选（共5题；每题3分，共15分）
1. 用一根长（）cm的铁丝正好围成长6cm、宽5cm、高2cm的长方体框架。

A. 26
B. 117
C. 52
D. 60
2. 两个正方体拼成一个长方体，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比是：
A. 增加了
B. 减少了
C. 不变
D. 无法确定
3. 下图（）是下面正方体的展开图。

A. B. C. D.
4. 下面每个图片都是由6个大小相同的正方形组成的，其中不能折成正方体的是（）。

A. B. C. D.
5. 把长方体的长、宽、高都扩大3倍，长方体的表面积扩大（）倍。

A. 3
B. 6
C. 9
D. 27
二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）
6.至少用8个同样的小正方体，才能拼成一个较大的正方体。

（）
7.一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个边长为1cm的小正方体。

其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个。

（）
8.如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的4倍。

（）
9.至少要用4个棱长1厘米的小正方体才可以拼成一个较大的正方体。

（）
10.一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积就扩大到原来4倍。

（）
三、仔细想，认真填（共10题；每空1分，共15分）
11. 一个无盖长方体纸盒，长、宽、高分别是3分米、4分米、5分米。

这个纸盒的表面积是________平方分米。

12. 如图，如果每个小方块的棱长是1米，则这堆小方块露在外面的面积是________米2。

13. 用铁丝焊接成一个长10厘米，宽8厘米，高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝________厘米。

14. 把一个长10分米，宽8分米，高6分米的长方体截成两个同样的长方体，则表面积最多增加
________分米2。

15.一根2m长的长方体木料，横截面是一个正方形，如果把这根木料截去80cm，那么表面积减少320cm2，原来这根木料的表面积是________ cm2，体积是________ cm3。

16.（如图）6个棱长都是10cm的正方体纸箱堆放在墙角处，露出________个面，露在外面的面积是________平方厘米。

17.如图，用棱长1cm的小正方体拼成棱长3cm的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有________块，两面涂色小正方体有________块。

18. 把一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体表面积的和最多增加________平方厘米。

19. 一个正方体的底面周长是40厘米，如果把它的高增加3厘米，则表面积比原来增加________平方厘米。

20. 把一个棱长8厘米的正方体表面积涂上红色，再切成棱长2厘米的小正方体，其中两面涂色的有________个，一面涂色的有________个，一面都不涂的有________个。

四、综合提升（共2题；共12分）
21. ( 5分) 一些棱长为4厘米的小正方体如图堆放在墙角处。

（1）这个物体露在外面的面有________个。

（2）所有露在外面的面的面积是________平方厘米。

22. ( 7分) 用若干个棱长为2厘米的小正方体可以拼成长方体：
按这种方式继续摆下去：
（1）第1个长方体的表面积是________平方厘米。

（2）第9个长方体由________个小正方体拼成，它的表面积是________平方厘米。

（3）如果摆成的长方体的表面积是280平方厘米，这个长方体排在第________个。

（4）第n个长方体的表面积是________平方厘米。

（用含有字母的式子表示）
五、计算能手（共1题；共6分）
23. ( 6分) 计算下面长方体的体积和正方体的表面积。

（1）
（2）
六、解答问题（共7题；共42分）
24. ( 10分) 下面是一个正方体的不同展开图。

（1）请用相同的数字标出相对的面。

（2）如果图①的周长是8.4dm，那么这个正方体的表面积是多少？
25. ( 5分) 有一个正方体木块,把它分成两个长方体木块后,表面积增加了24cm2,这个正方体木块原来
的表面积是多少平方厘米?
26. ( 5分) 一根长2米的通风管，横截面是长为1分米，宽为6厘米的长方形，制作10根这样的通风管至少需要铁皮多少平方分米?
27. ( 5分) 5个棱长都是10cm的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图）。

露在外面的面积是多少平方厘米？
28. ( 5分) 两个相同的正方体木块，拼成一个长方体，棱长之和减少了24cm，这两个正方体木块原来棱长总和是多少？
29. ( 6分) 把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的面积之和少多少平方厘米？
30. ( 6分) 如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？
能力达标百分训练（答案解析）
一、精挑细选
1.C
解：（6+5+2）×4
=13×4
=52（cm）
所以用一根长52cm的铁丝正好围成长6cm、宽5cm、高2cm的长方体框架。

故答案为：C。

思路引导：长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4，本题代入数值计算即可得出答案。

2.B
解：两个正方体拼成一个长方体，其表面积与原来两个正方体表面积之和相比是减少了。

故答案为：B。

思路引导：两个正方体拼成一个长方体，其表面积会比原来两个正方体表面积之和少了两个正方形的面。

3.C
A：彩色正方形和圆点是相对面，不是这个正方体展开图；
B：彩色正方形和圆点是相对面，不是这个正方体展开图；
C：彩色正方形和圆点是相邻面，是这个正方体的展开图；
D：有4个彩色正方形与圆点是相邻面，不是这个正方体的展开图。

故答案为：C。

思路引导：观察原图，有一个正方形面与圆点的面是相邻的，根据每项中的图形选择展开图即可。

4.C
解：其中不能折成正方体的是C。

故答案为：C。

思路引导：正方体的表面展开图要熟记并且认真观察，可得C折叠后有2面重合，少一个表面。

5.C
解：长方体的表面积：（长×宽+长×高+宽×高）×2；
长方体的长、宽、高都扩大3倍后的表面积：
（长×3×宽×3+长×3×高×3+宽×3×高×3）×2；
=（长×宽×9+长×高×9+宽×高×9）×2；
=（长×宽+长×高+宽×高）×9×2；
和原表面积相比，表面积扩大9倍。

故答案为：C。

思路引导：长方体的长、宽、高都扩大3倍，长方体的表面积扩大3×3倍，体积扩大3×3×3倍。

二、判断正误
6.正确
解：至少用8个同样的小正方体，才能拼成一个较大的正方体，说法正确。

故答案为：正确。

思路引导：用小正方体拼大正方体，大正方体棱长上小正方体的个数为2、3、4、……，小正方体的个数为：2×2×2、3×3×3、4×4×4、……。

7.错误
一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个边长为1cm的小正方
体。

其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体有6个，原题说法错误。

故答案为：错误。

思路引导：此题主要考查了立体图形的切拼，根据切割特点，只有在顶点上的小正方体才有三个面露在外面，所以三面涂红色的小正方体处在8个顶点上，三面涂红色的小正方体有8个，两个面涂有红色的有12个，一个面涂有红色的有6个，六个面都没涂色的有1个，据此判断。

8.正确
解：长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的表面积是：
（2长×2宽＋2长×2高＋2宽×2高）×2=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2×4，表面积扩大到原来的4倍。

故答案为：正确。

思路引导：如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则它的表面积扩大到原来的4倍。

9.错误
解：至少要用8个棱长1厘米的小正方体才可以拼成一个较大的正方体，所以说法错误。

故答案为：错误。

思路引导：用小正方体搭建一个大正方体，若大正方体每条棱上的小正方体个数是2（3、4、……），则要用小正方体的个数为2×2×2（3×3×3、4×4×4,、……），本题据此进行判断。

10.正确
解：设正方体的棱长为1cm，则
（2×2×6）÷（1×1×6）
=24÷6
=4
所以一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积就扩大到原来4倍，说法正确。

故答案为：正确。

思路引导：正方体的表面积=棱长×棱长×6，设正方体的棱长为1cm，根据正方体的表面积公式分别计算出扩大后喝扩大前正方体的表面积，再相除即可得出答案。

三、仔细想，认真填
11.82
解：3×4+（3×5+4×5）×2
=12+（15+20）×2
=12+35×2
=12+70
=82（平方分米）
所以这个纸盒的表面积是82平方分米。

故答案为：82。

思路引导：长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，本题中长方体无盖，即需要少计算一个长×宽的面，据此进行计算即可。

12.15
解：（6+4+5）×（1×1）
=15×1
=15（平方米）
所以这堆小方块露在外面的面积是15平方米。

故答案为：15。

思路引导：从正面看露在外面的面是6个，从上面看露在外面的面是4个，从右面看露在外面的面是5个，用露在外面的面的个数之和乘以1个小正方体1个面的面积，即可得出答案。

13.88
解：（10+8+4）×4
=22×4
=88（厘米）
所以至少需要铁丝88厘米。

故答案为：88。

思路引导：长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4，本题据此公式即可得出至少需要铁丝的厘米数。

14.160
解：从长上截，表面积增加8×6×2
=48×2
=98（平方分米）；
从宽上截，表面积增加10×6×2
=60×2
=120（平方分米）；
从高上截，表面积增加10×8×2
=80×2
=160（平方分米）
所以表面积最多增加160平方分米。

故答案为：160。

思路引导：从长上截，表面积增加2个宽×高面的面积；从宽上截，表面积增加2个长×高面的面积；从高上截，表面积增加2个长×宽面的面积，计算并比较大小即可得出答案，
15.802；200
解：2m=200cm
横截面边长：320÷4÷80=1（cm）；
表面积：1×1×2+1×200×4
=2+800
=802（cm2）
体积：1×1×200=200（cm3）
故答案为：802；200。

思路引导：这是一个特殊的长方体，横截面是正方形，另外四个面是完全相同的长方形。

截去80cm 后，表面积减少的是80cm长方体的四个侧面的面积，用表面积减少的部分除以4求出一个侧面的面积，再除以80即可求出横截面边长。

然后根据长方体表面积和体积公式分别计算表面积和体积即可。

16.13；1300
解：露出了13个面；
10×10×13
=100×13
=1300（平方厘米）。

故答案为：13；1300。

思路引导：通过数一数，数出来露出了13个面；露出外面的面积=每个面的面积×数量；其中每个面的面积=棱长×棱长。

17.8；12
如图，用棱长1cm的小正方体拼成棱长3cm的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有8块，
两面涂色小正方体有：
（3-2）×12
=1×12
=12（个）。

故答案为：8；12。

思路引导：观察图可知，三面都涂色的位于8个顶点处；
两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体），据此列式解答。

18.160
10×8×2=80×2=160（平方厘米）
故答案为：160。

思路引导：这两个小长方体表面积的和最多增加两个原长方体的前面的面积。

19.120
棱长：40÷4=10（厘米）
表面积增加：10×3×4=120（平方厘米）
故答案为：120。

思路引导：棱长= 底面周长÷4，表面积增加的数量=棱长×增加的高度×4。

20.24；24；8
解：把一个棱长8厘米的正方体表面积涂上红色，再切成棱长2厘米的小正方体，其中两面涂色的有24个，一面涂色的有24个，一面都不涂的有8个。

故答案为：24；24；8。

思路引导：每条棱长上可以截出4个小正方体。

每条棱上中间两个小正方体都是两面涂色的，因此两面涂色的共12×2=24个；每个面中间会有4个小正方体是一面涂色的，所以一面涂色的共有6×4=24个；每个顶点处共有8个小正方体是三面涂色的。

一共切成了64个小正方体，所以没有涂色的有64-24-24-8=8（个）。

四、综合提升
21.（1）17
（2）272
（1）这个物体露在外面的面有：6+5+6=17（个）.
（2）所有露在外面的面的面积是：
4×4×17
=16×17
=272（平方厘米）
故答案为：（1）17；（2）272.
思路引导：（1）从前面看，露在外面的面是6个正方形面，从上面看，露在外面的面是5个正方形面，从右面看，露在外面的面是6个正方形面，用加法即可求出这个物体露在外面的总面数；（2）根据题意，先求出一个面的面积，然后乘露在外面的面的数量，即可得到所有露在外面的面的
面积之和，据此列式解答.
22.（1）40
（2）10；168
（3）16
（4）16n+24
（1）第1个长方体的表面积是
（4×1+6）×（2×2）
=10×4
=40（平方厘米）
（2）9+1=10（个），
第9个长方体的表面积：
（4×9+6）×（2×2）
=42×4
=168（平方厘米）
（3）解：设这个长方体排在第n个，
（4n+6）×（2×2）=280
（4n+6）×4=280
（4n+6）×4÷4=280÷4
4n+6=70
4n+6-6=70-6
4n=64
4n÷4=64÷4
n=16
（4）第n个长方体的表面积是16n+24（平方厘米）。

故答案为：（1）40；（2）10；168；（3）16；（4）16n+24 。

思路引导：第n个长方体的表面积是：（4n+6）个小正方体的面；小正方体的一个面的面积为：2×2=4（平方厘米），也就是第n个长方体的表面积是16n+24平方厘米，据此规律解答：
（1）第1个长方体的表面积是（4×1+6）×（2×2），据此列式解答；
（2）第1个长方体由2个小正方体拼成，第2个长方体由3个小正方体拼成，则第9个长方体由个9+1=10小正方体拼成，要求表面积，依据公式：（4×9+6）×（2×2），据此列式解答；
（3）根据题意，可以列方程解答，设排在第n个，依据公式：（4n+6）×（2×2）=280，据此列方
程解答；
（4）观察可知，第n个长方体的表面积是16n+24平方厘米。

五、计算能手
23.（1）解：16×8×5=640(立方分米)
（2）解：20×20×6
=400×6
=2400(平方厘米)
思路引导：长方体体积=长×宽×高，正方体表面积=棱长×棱长×6，根据公式分别计算即可.
六、解答问题
24.（1）
（2）解：8.4÷14=0.6（分米）
0.6×0.6×6=2.16（平方分米）
答：这个正方体的表面积是2.16平方分米。

思路引导：（1）做这类题的方法就是平面图上标上数字，然后亲自动手折一折，即可看出答案；（2）图①的周长共14个小正方体的棱长，图①的周长÷14=小正方体的棱长，正方体表面积=棱长×棱长×6，据此解答。

25.解：24÷2×6=72(cm2)
24÷2×6
=12×6
=72（平方厘米）
答：这个正方体木块原来的表面积是72平方厘米.
思路引导：根据题意，一个正方体木块，把它分成两个长方体木块后，表面积增加了两个底面积，用增加的面积÷2=正方体的底面积，然后用底面积×6=正方体的表面积，据此列式解答.
26.解：2米=20分米，6厘米=0.6分米，
（1×20×2+0.6×20×2）×10
=（40+24）×10
=64×10
=640（平方分米）
答：制作10根这样的通风管至少需要铁皮640平方分米。

思路引导：通风管由4个面组成，横截面的长×通风管的长×2+横截面的宽×通风管的长×2=制作1根通风管需要的铁皮面积，制作1根通风管需要的铁皮面积×10=制作10根通风管需要的铁皮面积，计算时注意单位统一。

27.解：观察几何体得：从上面可以看到4个正方形面，从前面可以看到3个正方形面，从右面可以看到4个正方形面，所以露在外面的面一共有：4+3+4=11（个），则露在外面的面积：10×10×11=1100（平方厘米）。

答：露在外面的面积是1100平方厘米。

思路引导：先从不同的方向观察几何体，得到每个方向看到的正方形面的数量，从而求得露在外面的正方形面的数量，再根据“露在外面的面积=棱长×棱长×露在外面的正方形面的数量”，代入数据解答即可。

28.棱长：24÷8=3（cm），2个正方体的棱长之和：3×12×2=72（cm）
答：这两个正方体木块原来棱长总和是72厘米。

如图，棱长：24÷8=3（cm），2个正方体的棱长之和：3×12×2=72（cm）
答：这两个正方体木块原来棱长总和是72厘米。

思路引导：两个相同的正方体木块，拼成一个长方体，减少了8条棱长的长度，由此可以求出一条棱长的长度，即24÷8=3cm，再求两个正方体木块原来棱长总和3×12×2=72cm，即可解答。

29.解：3×3×3=27，所以大正方体的棱长为3厘米
原小正方体之面积之和=27×（1×1×6）=162（平方厘米）
大正方体面积=3×3×6=54（平方厘米）
162－54=108（平方厘米）
答：这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的面积之和少108平方厘米。

思路引导：把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，得出大正方体的棱长为3厘米，分别算出原来的小正方体的面积之和是162平方厘米，再算出大正方体的面积，就可以求出少了108平方厘米。

30.解：大正方体的表面积为：5×5×6=150；
一个小长方体的表面积（不包括前后面）：（1×2+1×2）×2=8；
6个小长方体的表面积（不包括前后面）：8×6=48；
所以这个图形的面积为：150+48=198；
答：挖后此形体的表面积是198．
思路引导：此题可先求出大正方体的表面积，然后求出一个小长方体的表面积就能求得六个小孔的表面积（去掉前面和后面的面积），由此即可解决问题．此题中小正方体要去掉小孔部分前后面的面积，这是此题的关键．。