人教版教材高中数学必修一《函数模型的应用实例》教案

3.2.3 函数模型的应用实例（一）
（一）教学目标
1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.
2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.
3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的
应用意识，提高学习数学的兴趣.
（二）教学重点、难点
一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.
（三）教学方法
本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导
的方法进行教学.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入回顾一次函数和二次函
数的有关知识.
教师提出问题，学生回答.
师：一次函数、二次函数的解析式及图
象与性质.
生：回答上述问题.
以旧引新，激
发兴趣.
应用举例
1．一次函数模型的
应用
例1 某列火车从北
京西站开往石家庄，全程
277km.火车出发10min
开出13km后，以120km/h
的速度匀速行驶.试写出
火车行驶的总路程S与
匀速行驶的时间t之间的
关系，并求火车离开北京
2h内行驶的路程.
教师提出问题，让学生读题，找关
键字句，联想学过的函数模型，求出函
数关系式.学生根据要求，完成例1的解
答.
例1 解：因为火车匀速运动的时间
为(200 – 13)÷120 =
11
5
(h)，
所以
11
5
t≤≤.
因为火车匀速行驶时间t h所行驶路
程为120t，所以，火车运行总路程S与
匀速行驶时间t之间的关系是
11
130120(0).
5
S t t
=+≤≤
2h内火车行驶的路程
11
13120
6
S=+⨯=233(km).
通过此问
题背景，让学
生恰当选择相
应一次函数模
型解决问题，
加深对函数概
念本质的认识
和理解.让学
生体验解决实
际问题的过程
和方法.
解题方法：
1．读题，找关键点；
2．抽象成数学模型；
3．求出数学模型的解；
4．做答.
学生总结，教师完善.
培养学生
分析归纳、概括
能力.从而初步
体验解应用题
的规律和方法.
2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题
用
例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
①题目求什么，应怎样设未知量；
②每天客房的租金收入与每间客房
的租金、客房的出租数有怎样的关系；
③学生完成题目.
法一：用列表法求解.此法可作为学
生探求思路的方法，但由于运算比较繁
琐，一般不用，应以法二求解为重点.对
法二让学生读题，回答问题.教师指导，
学生自己动手解题.
师生合作由实际问题建模，让学生尝试
解答.
例2 解答：方法一依题意可列表如下：
x y
0 300×20 = 6000
1 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 6380
2 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 6720
3 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 7020
4 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 7280
5 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 7500
6 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 7680
7 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 7820
8 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =7920
9 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 7980
10 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 8000
11 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 7980
12 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 7920
13 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820
……
由上表容易得到，当x = 10，即每天租金
为40元时，能出租客房200间，此时每
天总租金最高，为8000元.再提高租金，
总收入就要小于8000元了.
方法二设客房租金每间提高x个2元，
则将有10x间客房空出，客房租金的总
收入为
y = (20 + 2x) (300 – 10x )
= –20x2 + 600x– 200x + 6000
= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000
= –20(x– 10)2 + 8000.
首先要读懂题
意，设计出问
题指导学生审
题，建立正确
的数学模型.
同时，培养学
生独立解决问
题的能力.
由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.
3．分将函数模型的应用
例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.
生：解答：
（1）阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小
时内行驶的路程为360km.
（2）根据图，有
502004,01,
80(1)2054,12,
90(2)2134,23,
75(3)2224,34,
65(4)2299,4 5.
t t
t t
s t t
t t
t t
+≤<
⎧
⎪-+≤<
⎪⎪
=-+≤<
⎨
⎪-+≤<
⎪
-+≤≤
⎪⎩
这个函数的图象如图所示.
实际应用
用问题解决的
一般步骤：理
解问题⇒简
化假设⇒数
学建模⇒解
答模型⇒检
验模型⇒评
价与应用的进
一步深体.
巩固练习课堂练习
习题1．如果一辆汽
车匀速行驶，1.5h行驶路
程为90km，求这辆汽车
行驶路程与时间之间的
函数关系，以及汽车3h
所行驶的路程.
习题2．已知某食品
5kg价格为40元，求该
食品价格与重量之间的
函数关系，并求8kg食品
的价格是多少元.
习题3．有300m长
的篱笆材料，如果利用已
有的一面墙(设长度够用)
作为一边，围成一块矩形
菜地，问矩形的长、宽各
为多少时，这块菜地的面
学生练习，师生点评.
1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车
行驶的路程S km与时间t h之间的函数关
系为
S = vt.
当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.
因此所求的函数关系为S=60t，
当t = 3时，S = 180，
所以汽车3h所行驶的路程为180km.
2．设食品的重量为x kg，则食品的
价格y元与重量x kg之间的函数关系式为
y=8x，当x = 8时，y = 64，
所以当8kg食品的价格为64元.
3．设矩形菜地与墙相对的一边长为
x cm，则另一组对边的长为
300
2
x
-
m，从
而矩形菜地的面积为：
学生动手实
践、体验所学
方法，从而提
升解应用题的
技能.
积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如
下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公
里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.
21
(300)
21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<
当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 10
0410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15
x y x x x x <≤⎧⎪
=+-<≤⎨⎪+->⎩
归纳小结
课堂小结
解决应用用问题的步骤：
读题—列式—解答. 学生总结，师生完善
使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.
学生练习
使学生巩固本节所学知识与方法.
例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？
【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：
3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩
（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.
（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2
投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求
出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①
y = bx②
把x = 1，y = 0.65代入①式，得
0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，
解得a = 0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金
额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元，
则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润
y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)
= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，
当
0.95
2(0.15)
x
-
=
⨯-
≈3.2时，
2
max 4(0.15) 2.60.95
4(0.15)
y
⨯-⨯-
=
⨯-
≈4.1.
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.
【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。