平行四边形的性质与判定习题课

平行四边形的性质与判定 (习题课)
知识再现
一、性质 如图：四边形ABCD是平行四边形
你能得到哪些结论？
D
C
1.两组对边分别平行
AB∥CD, AD∥BC
O
2.平行四边形的对边相等
A
B
AB=CD, AD=BC
3.平行四边形的对角相等 ∠DAB= ∠DCB, ∠ABC= ∠ADC
4.平行四边形的对角线互相平分
20
选择：
1．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，
则这个四边形（ ）C
A．一定是平行四边形 B．一定不是平行四边形 C．可能是平行四边形 D．上述答案都不对 2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为
平行四边形的是（ ）C．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 3．已知△ABC的周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，
有的特征是（ B ）
A、不稳定性
B、对边平行且相等
C、内角的为360度 D、外角和为360度
10
例题１：如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，AB=10，A
D=8，
ＤＢ⊥ＡＤ,求ＢＣ,ＣＤ及ＯＢ的长及 Ａ8
□ AＤBCD
的面积．
解；∵四边形ABCD是平行四边形
∟
Ｏ
10
∴ＢＣ＝ＡＤ＝８，ＣＤ＝ＡＢ＝１０
∴ AO=CO，BO=DO ∵AE=CF ∴AF－AO=CE－CO ∴FO=EO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 ∴18 ∠EBF=∠EDF
当堂测试
4、如图所示,已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E
在BC上,点F在AD上,AF=CE,EF与对角线BD相交于点O,试
说明O是BD的中点.
四边形ABCD的周长。
平行四边形的对边相等
A3
E2
D
C
12
让我们一起来探索：
如图，△ABC中， BD平分∠ABC， ED∥ BC，EF∥ AC，
试探索出FC与BE的关系，并说明你所探索的结论的正确性。
探索：FC=BE
说明：∵ ED∥ BC，即EF ∥ DC
EF∥ AC, 即ED ∥ FC
A
根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形
那么△ADE的周长等于（ ）D
A．1 B．2 C．4 D．8
21
解答题：
3.如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：BE=DF．
平形四边形的对角线互相平分
O
对角线互相平分的四边形是平形四边形
平行四边形的对边相等
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A
证明：延长AD至点M，使DM=AD，
连结BM、CM。
∵ AD为BC边上的中线
B
∴DB=DC
D
C
根据对角线互相平分的四边形为平行四边形
∴四边形ABMC为平行四边形
根据平行四边形对边相等
M
∴CM=AB
在△ACM中 ∵CM+AC >AM ∴ AB+AC>2AD
14
基础题组
例题
例1：已知E、F是□ABCD边AD、BC的中点，
4
知识再现
三、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的 第三边，且等于第三边的一半.
A
如图：点D、E为△ABC边AB、AC的中点.
D
E
∵点D、E分别为AB、AC的中点
B
C
∴ DE∥BC, 且DE= 1 BC
2
5
性质：平行四边形的对角相等
1. 在 ABCD中, ∠B=60°,
则:
A
(1)∠BAD=＿12＿0,°∠C=＿1＿20，°
A
B
7
平行四边形的对边相等
3. 在 ABCD中, AB=4cm， BC=7cm,则这个平行四边形的周长
是＿2＿2＿cm.
4. 在 ABCD中, 已知AC=3cm，△ABC
的周长是８cm,则这个平行四边形的周长
是＿1＿0＿cm.
B
C
A
D
8
两组对边分别平行的 四边形是平行四边形.
5.在 ABCD中，EF∥BC，GH ∥CD ，
∠D=__6_0_°.
(2)AE⊥BC，AF ⊥CD，
E、F为垂足，
∠EAF=__6_0_°_.
B
E
D
F C
6
性质：平行四边形的对角相等
2. 如图: 在 ABCD中,∠B = 110°,
延长AD至F，延长CD至E，连结
F
E F，则∠ E ＋∠ F＝（ D）
D
C
A、110°
B、30° E
C、50°
D、70°
3. □ABCD的对角线交于O,AC=10cm,BD=4cm,△OAB的周长
为11cm,则CD= 4c.m
图1
图2
4．如图1，已知□ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的
高AE=2，则DC边上的高AF的长是 3．
5．如图2,△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，
且DE=6cm，则BC= 12cm．
EF与GH交于点O，则该图中的
平行四边形的个数共有（ c ） B
H
C
E F
A、7个 B、8个
C、9个 D、11个
A
G
D
9
基础闯关
1.判断：
①平行四边形是轴对称图形 （ ╳）
②平行四边形的边相等
（ ╳）
③平行四边形的内角相等 （ ） ╳
④对边平行的四边形叫平行四边形 （ ╳）
2.选择：平行四边形具有而一般四边形不具
OA=OC, OD=OB
2
知识再现
二、判定 如图：四边形ABCD满足什么条件
是平行四边形
D
C
1.定义法：两组对边分别平行的
O
四边形是平形四边形
A
B
∵ AB∥CD, AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
3
知识再现
二、判定 如图：四边形ABCD满足什么条件
是平行四边形
D
C 2.判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平形四边形
O
∵AB=CD, AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
对角线互相平分的四边形是平形四边形
∵ OA=OC, OD=OB
∴四边形ABCD是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平形四边形
∵ AB∥CD, AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平形四边形
∵∠DAB= ∠DCB, ∠ABC= ∠ADC ∴四边形ABCD是平行四边形
E
D
B
F
C
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基础题组
变 式二
已知如图BE、CF分别是□ABCD内角∠ABC与
∠ADC的角平分线。
A
求证：BE=DF。
E
DBiblioteka Baidu
B
F
C
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能力题组
变 式一
A
E
B
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线 AC上的两点，并且AF=CE。
求证： ∠EBF=∠EDF
证明： 连接对角线BD，交AC于点O
OF
C
D ∵四边形ABCD是平行四边形
AF
D
证明：连接BF，DE
在四边形ABCD中
O
∵ AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
B
EC
∴AD∥BC
∵AF=CE
∴AD-AF=BC-CE
∴DF=BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴O是BD中点
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填空：
1．在□ABCD中，AB＝6,AD＝4,则BC ＝ 4. 2．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C ＝ 1. 00°
Ｂ
Ｃ
在Ｒt△ＡＤＢ中，ＡＤ＝８，ＡＢ＝１０，
∴ＢＤ＝ AB2 AD2 ＝ 102 82 ＝６，
1
∴ＯＢ＝ ＢＤ＝３
2
S□ ABCD BC AC 86 48
11
8. 如图， 在 ABCD中， BE平分 ∠ABC交AD于E， 求证：
⑴AB=AE； ⑵ ED+DC=BC； ⑶ AE=3，ED=2时，求 B
求证：BE=DF。
A
E
D
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC， AD=BC
∵E，F分别是BC，AD的中点
B
F
C
∴AE=
1 2
1 AD，BF= 2
BC
∴AF=CE ∴四边形AECF是平行四边形. ∴BE=DF
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基础题组
变 式一
已知E、F是□ABCD边AD、BC的点，且
AE=CF
A
求证：BE=DF。
∴四边形EFCD为平行四边形 根据平行四边形对边相等
∴ED=FC ∵BD平分∠ABC ∴ ∠ 1=∠2
∵ ED∥ BC ∴∠ 1=∠3
E 3D
2
B1 F
C
∴ ∠2=∠3 根据等角对等边 ∴ED=BE ∴ CF=BE
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让我们一起来证一证：
如图， △ABC中，AD为BC边上的中线，试推
理证明:AB+AC>2AD