天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析).doc

天津市和平区2021届高考数学一模试题（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{}
33,I x x x Z =-<<∈，{}1,2A =，{}2,0,2B =-，则()I A C B =( )
A. {}1
B. {}1,1,2-
C. {}2
D.
{}0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用补集运算求出I C B ，即可根据并集运算求出()I A
C B ．
【详解】因为{}
{}33,2,1,0,1,2I x x x Z =-<<∈=--，所以{}1,1I C B =-， 故()I A
C B ={}1,1,2-．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．
2.“()3k k Z π
απ=
+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据特殊角的正切函数值，可知()tan ,666
k k Z πππ
ααπ⎛
⎫
-=⇔-=+∈ ⎪
⎝
⎭，根据充分必要条件的判断，即可求出结果. 【
详
解
】
由
题
意可
知
，
()()
tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ⎛
⎫-=⇔-=+∈⇔=+∈ ⎪⎝
⎭,，
所
以
“()3k k Z π
απ=
+∈”是“tan 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
”的充分必要条件. 故选：C.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题. 3.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数
()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =（ ）
A. 4
B. 5
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得()0g x 的值. 【详解】函数()ln 4
f x x x =+-(0,)+∞递增，
且(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->， 所以函数()f x 存在唯一的零点0(2,3)x ∈， 故()02g x =， 故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.
4.已知双曲线2222:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线2
:2(0)y px p Γ=>的
准线分别交于A ，B 两点．若双曲线C 的离心率为2，ABO ，O 为坐标原点，则抛物线Γ的焦点坐标为 ( )
A. 0)
B. (1,0)
C. D. 1(,0)2
【答案】B 【解析】 【分析】
求出双曲线双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准
线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，列出方程，由此方程求出p 的值．
【详解】∵双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y ＝±
b
a
x 又抛物线y 2
＝2px （p ＞0）的准线方程是x 2
p =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±2bp a
， 又由双曲线的离心率为2，所以
c a =2，则3b
a =， A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±
3p
，即AB =3p , 又△AOB 的面积为3，且AB x ⊥轴， ∴
13322
p
p ⨯⨯=，得p ＝2． 抛物线的焦点坐标为：（1，0） 故选B ．
【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A ，
B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，
做题时要严谨．
5.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为
( )
A.
13
B.
12
C.
23
D.
34
【答案】B 【解析】
由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分)的
学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212C C ＝6
11
，P(ξ＝1)
＝1139212C C C ⋅＝922，P(ξ＝2)＝232
12C C ＝122
， ∴ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×
611
＋1×922＋2×122＝12.选B.
6.已知函数2
()
sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5[
,]88
ππ
上是减函数
C. 函数()f x 的图象关于16
x π
=
对称
D. 函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移
4
π
个单位得到 【答案】B 【解析】 【分析】
先将()2
221f x sin x sin x =-+化简为(
)24f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，再逐个选项判断即可．
【详解】2
()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛
⎫=-+=+=
+ ⎪⎝
⎭
A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；
B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数，结论正确；
C 选项，
因为16f π⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
，则()f x 的图象不关于直线16x π=对称，结论错误； D 选项，设(
)g x x =
，则
()2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，结论错误．
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题. 7.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有
()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则,,a b c 大小关系为（ ） A. c b a >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D.
a c
b >>
【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x
=
，则函数()g x 单调递减，且a =()
2
0.2g ，b =()1g ，
c =()3log 5g ，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数()
()f x g x x
=
，则函数()g x 单调递减，
(
)2
250.2
a f =()()222
0.20.20.2
f g =
=，
()1b f =()
()111
f g =
=， 51335c log f log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
()
()333log 5log 5log 5f g ==，
230.21log 5<<，a b c ∴>>.
故选C .
【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A. 378 B. 306 C. 268 D. 198
【答案】D 【解析】 【分析】
分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 【详解】解：分两种情况讨论. ①若选两个国内媒体一个国外媒体,
有212
63
290C C A 种不同提问方式；
②若选两个外国媒体一个国内媒体,
有123
6
33108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式. 故选：D
【点睛】本题考查组合数公式的运用,排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序,则是排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
9.已知圆O 的半径为2，P,Q 是圆O 上任意两点，且POQ 60∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足()1λλ=-+OC OP OQ （λR ∈），则CA CB ⋅的最小值为（ ） A. -1 B. -2
C. -3
D. -4
【答案】C 【解析】
【详解】因为()()
()
2
·
··=++=+++⋅CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CA CB ， 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，
所以0OA OB +=，()2214⋅=⨯⨯-=-OA OB ，又60POQ ∠=︒，
所以()2
2·414
λλ⎡⎤=-=-+-⎣⎦CA CB CO OP OQ ()()22
2
2·121?··4λλλλ=-+-+-CA CB OP OP OQ OQ
·CA CB ()()
22
43314433λλλλ=-+-=- 2
134324λ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以，当1
2λ=时，2
1333244min
λ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故·CA CB 的最小值为3434⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卷上．
10.已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2
(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2020
||1a i
i
+=+__．
【解析】 【分析】
利用纯虚数的定义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案. 【详解】解：
2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=且10a +≠，解得1a =
20001112(1)111(1)(1)
i i i i i i i ++-∴===-+++-
，所以20201|||1|1i i i +=-=+
.
【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题. 11.若83
()x x
+
的展开式中4x 的系数为448-，则实数a =__．
【答案】﹣2 【解析】 【分析】
写出展开式通项公式，令x 的指数为4，求得4x 的项数，得其系数，由系数为－448可得a ． 【详解】由题意展开式通项公式为488318
83()r r r
r r r
r T C x
a C x x
--+==，令4843r -=，3r =，
∴4x 系数为33
8448a C =-，解得2a =-．
故答案为：2-．
【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．
12.已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为__． 【答案】46π 【解析】 【分析】
过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆，在此平面图形中求得半球的半径后可得体积， 【详解】过正方体对角面作半球的截面，得半个大圆O ，矩形11AAC C 是正方体对角面，O 是11A C 中点，设正方体棱长为a ，则38a =，2a =， 由图知球半径为222(2)6OC =
+=，半球体积为
3322
(6)4633
V OC πππ=⋅=⨯=．
故答案为：46π．
【点睛】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角面作半球的截面，得出正方体与
半球的关系．
13.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22
:2440C x y x y +-+-=截得
弦长为2，则实数a 的值为________. 【答案】6-或2. 【解析】 【分析】
由题可知切线的斜率()11k f '==，又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.圆心到切线的距
离d =
，
则2
2213+=，求出实数a 的值.
【详解】因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+ 代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==. 又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的
图象
在1x =处的切线方程为1y x a =+-.
又因为圆2
2
:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3，
所以圆心到切线的距离d =
. 因为切线被圆2
2
:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，
则2
2213+=， 解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.
14.若0x >,0y >,且224log 3log 9log 81x y
+=,则此时2x y +=__,
233x y x y
++的最小值为__．
【答案】
(1). 2 (2). 2+ 【解析】 【分析】
(1)由对数运算和换底公式,求得x y 、的关系为22x y +=即可. (2)根据22x y +=化简232233x y y x
x
y x y
++
=++,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】(1)因为0x >,0y >,224log 3log 9log 81x y
+=,
所以(
)2
24222222
log 33
log
3log 3log 3x y
x y +⇒=⨯=,所以22x y +=.
(2)因为22x y +=,
故
2323222333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+
2=+当且仅当23y x x y =,22x y +=,
即62
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩时取等号.
所以最小值为2+
故答案为：2
；2+
【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用,根据“1”的代换联系基本不等式求最值,综合性强,属于中档题． 15.已知函数11,[2,0]()2(2),(0,)
x x f x f x x ⎧-+∈-=⎨
-∈+∞⎩，则(3)log 2563f =__；若方程()f x x a =+在区间
[2-，4]有三个不等实根，则实数
1
a
的取值范围为__． 【答案】 (1). 81 (2). {}11,2⎛
⎫⋃-∞- ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
（1）利用函数的递推关系式，代入()11f x x =-+即可求解. （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数
1
a
的取值范围.
【
详解】（1）由[]()11,2,0()2(2),0,x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
， 则()()()()()()3232212212414104f f f f f =-==⨯-=-=⨯-=，4log 25643381== 答案：81
（2）作出函数()f x 在区间[
]
2,4-上的图象，如图所示，
设y x a =+，由图象可知要使方程()f x x a =+在区间[]
2,4-有3个不等实根， 则直线y x a =+应位于1l 与2l 之间或直线3l 的位置， 所以实数a 的取值范围为20a -<<或1a =.
所以，
112a <-或1
1a
= 故答案为：{}11,2⎛
⎫⋃-∞-
⎪⎝
⎭
【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，
2(cos cos )0C a B b A c ++=．
（1）求角C 的大小； （2）若2a =
2b =．求：
（ⅰ）边长c ；
（ⅱ）sin(2)B C -的值．
【答案】（1）34
C π=； （2）（ⅰ）10c =；（ii ）72
sin(2)B C -=-．
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得角C 的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边c ； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得sin(2)B C -的值.
【详解】解：（1）由已知及正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin 0C A B B A C ++=
∴2cos sin sin 0C C C +=，∴2cos C =-，
0C π<<， ∴34
C π=
（2）（ⅰ）因为2,2a b ==，34
C π=
， 由余弦定理得2222
2cos 24222()10c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-
=，∴10c = （ⅱ）由
5
sin sin sin c b B C B =⇒=
，因为B 为锐角，所以25cos B = 5254sin 225
B =⨯⨯=
，22
3cos 2cos sin 5B B B =-=， 423272
sin(2)sin 2cos cos2sin ()55B C B C B C -=-=⨯--⨯=-
【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.
17.如图所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．
（Ⅰ）求证：//AF 平面CDE ；
（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4π；（Ⅲ）3
2
． 【解析】 【分析】
证明DC ⊥平面BCEF ，以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）CB 为平面CDE 的一个法向量，证明AF 平面CDE ，只需证明·0AF CB =;（Ⅱ）求出平面ADE 的一个法向量、平面BCEF 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面ADE 一个法向量为()()10,1,1,2,2,0n EF ==-，利用向量的夹角公式，即可求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）证明：
四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，
BC CE ∴⊥，BC CD ⊥，
又
平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD
平面BCEF BC =，DC CE ∴⊥
DC ∴⊥平面BCEF ．
以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：
(2,0,4)A ，(20,0)B ，，(00,0)C ，，(00,4)D ，，(04,0)E ，，(22,0)F ， 则(0,2,4)AF =-，(20,0)CB =，
． BC CD ⊥，BC CE ⊥， ∴CB 为平面CDE 的一个法向量．
又·0AF CB =．AF ⊂
/平面CDE ． //AF ∴平面CDE ．
（Ⅱ）设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则(20,0)AD =-，，(044)DE =-，
，， ·
20·
440AD n x DE n y z ⎧=-=⎪⎨
=-=⎪⎩得(01,1)n =， DC ⊥平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，
设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，
则cos =
4n CD n CD
α⋅=
=⨯⋅
因此，平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为
4
π． （Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE 一个法向量为 得(01,1)n =， (2,2,0)EF =-，
设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则 111
1
sin cos ,2
2
2
2EF n EF n EF
n θ=〈〉=
=
=
cos θ∴==
因此，直线EF 与平面ADE 【点睛】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力
.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小
18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2
e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，以
原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:
相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M 、N 两个不同的点，记21PF M
S S
=，22OF N
S S
=，令12S S S =+，求S 的最大值．
【答案】（Ⅰ）22
142
x y +=；
． 【解析】 【分析】
（1）由圆心到切线的距离求出b ，再由离心率可求得a ，从而得椭圆方程； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由平行线的等积转化，得
12S S S =+2121||||2
OMN S OF y y ==-=，因此设直线方程为
x ky =1212,y y y y +，代入S 后利用基本不等式
可得最大值．
【详解】解：（1）由题意可知：椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>焦点在x 轴上，以原点O 为
圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线20l x y -+=:
相切，
所以
b =
，
又椭圆的离心率2
c e a ===，解得：24a =， 椭圆C 的方程为：22
142
x y +=；
（2）由（1）可知：椭圆的右焦点2F 0)，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 2//OP F M
∴22PF M
OF M S
S =，
122121||||2OMN S S S S OF y y ∴=+==
=-
设直线:2MN x ky =+，
2
2
214
2x ky
x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(2)2220k y ky ++-=， 122222
k
y y k -+=
+，12
222y y k -=+， 22222222221
()422
222(2)k k S k k k -+∴=-⨯=+++， 22221122221(1)111
k k k k +==⨯
++++
+，
由2
2
121
k k ++
+，
1
2222
S ⨯
=， 当且仅当2
211
k k +=
+时，即0k =时，取等号，
S 的最大值为2．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题中设交点坐标，设直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求弦长、求面积等．这是直线与椭圆相交问题中的常用方法．
19.数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和*
()n S n N ∈，{}n b 是等差数列，已知11
2
a =
，32114a a =+，3461a b b =+，457
12a b b =+． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为*():n T n N ∈
（ⅰ）求n T ；
（ⅱ）若113
12()n n n n n n T b b c b b +++++-=，记1
n n n n R C ==∑，求n R 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）12n n a =；1n b n =-；（Ⅱ）（i ）112n
n
T n =-+；（ii ）3[8，1
)2． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比q ，得通项公式n a ，再由等差数列的定义求得1b 和d ，得n b ；
（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前n 项和公式求得n S ，由分组求和法求得n T ，（ⅱ）求得n c 后，用裂项相消法求得n R ，结合函数性质可得取值范围．
【详解】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为112a =，
32
114a a =+，可得121112114a a q
a q ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，整理得2
1120q q --=， 解得1q =-（舍)或 12q =
，所以数列{}n a 通项公式为1
2
n n a =． 设数列{}n b 的公差为d ，因为3461a b b =
+，457
12a b b =+，即11288
31616
b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得10b =，
1d =，
所以数列{}n b 的通项公式为1n b n =-；
（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前n 项和公式可得11
(1)
1
2211212
n n n
S -==--，
所以211111
(111)()(1)122222n n n n T n n =++⋯+-++⋯+=--=-+；
（ⅱ）由（ⅰ）可得
1113
1112
1
()(2)()(2)112(1)(1)22(1)2
n n n n n n n n n n n n n T b b n c b b n n n n n n +++++++++
-+-+=
=
==-+++，
所以{}n c 的前n 项和
122231*********
()()()122222322(1)22(1)2n n n n n R c c c n n n ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-++．
又n R 在*n N ∈上是递增的，∴
131
82
n R R =<． 所以n R 的取值范围为3[8
，1
)2．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和法与裂项相消法，解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力． 20.已知函数()x
ax b f x e x
+=
,a ,b R ∈,且0a > (1)若函数()f x 在1x =-处取得极值
1
e
,试求函数()f x 的解析式及单调区间； (2)设()(1)()x g x a x e f x =--,()g x '为()g x 的导函数,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立,求
b
a
的取值范围. 【答案】(1)函数()f x 的解析式为21()x
x f x e x
+=
,定义域为{|0}x x ≠； 单调增区间为(-∞,1]-和1
[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2
；(2)(1,)+∞.
【解析】 【分析】
(1)求导后根据()f x 在1x =-处取得极值1e 可得1(1)(1)0
f e f ⎧
-=⎪
⎨⎪'-=⎩,再求解即可得
21()x
x f x e x
+=
,求导分析导函数的零点以及正负区间,进而得到原函数单调区间即可. (2)根据题意可得存在0(1,)x ∈+∞为221
()()(23)0x
x g x g x e ax a b
x -+'=--=的根,再化简可得2(23)21b x x a x -=-,再求导分析2
(23)()21x x h x x -=-的值域,进而求得b a
的取值范围即可. 【详解】解；(1)由题意()()x x ax b b
f x e a e x x
+=
=+, 2()[()]()()()()x x x x b b b b b
f x a e a e a e a e x x x x x
∴'=+'==+'++'=-++,
由函数()f x 在1x =-处取得极值1e ,得1(1)(1)0
f e f ⎧
-=⎪
⎨⎪'-=⎩,即120a b a b +=⎧⎨
-=⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,
则函数()f x 的解析式为21()x
x f x e x
+=
,定义域为{|0}x x ≠, 21111()(2)(2)(1)x x
f x e e x x x x
'=-
++=--+, 又0x e >对x ∈R 恒成立, 令()0f x '则有21120x x -
++,解得1
12x -,且10x ≠,即1x -或12
x ； 同理令()0f x '<可解得10x -<<或1
02
x <<
； 综上,函数()f x 的单调增区间为(-∞,1]-和1
[2,)+∞,单调减区间为(1,0)-和1(0,)2
.
(2)由题意()(1)()(1)2x x
x
x x x
ax b e g x a x e f x a x e e axe ae b x x
+=--=--=--, 则2
()x x
x
x
xe e g x axe ae b x -'=--
22
221()()23(23)x x x
x
x
xe e x g x g x axe ae b e ax a b x x --∴+'=--=--,
由条件存在0(1,)x ∈+∞,使00()()0g x g x +'=成立得2
2230x x
x
x
xe e axe ae b
x ---=,对(1,)x ∈+∞成立,
又
0x e >
2
21
230x ax a b
x -∴--=对(1,)x ∈+∞成立, 化简得2(23)21b x x a x -=-,令2
(23)()21
x x h x x -=-,则问题转化为求()h x 在区间(1,)+∞上的值域,
求导得222(463)
()(21)x x x h x x -+'=-
令2463y x x =-+,为二次函数,图象开口向上,△120=-<,则24630x x -+>,又0x >, 则()0h x '>,()h x 在区间(1,)+∞上单调递增,值域为(1,)+∞, 所以
b
a
的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】本题主要考查了根据极值点求参数值的问题,同时也考查了利用导数分析函数的单调性与值域的问题,需要根据题意将所求的问题转换为函数的单调性与值域等.属于难题.。