小学数学应用题类型讲解——和倍问题

和倍问题
含义：已知两个数的和，以及它们的倍数关系，求这两个数各是多少，这样的问题叫做和倍问题。

数量关系：和÷（倍数+1）=较小数
较小数×倍数=较大数
和－较小数=较大数
和倍问题类型一：基本型
【例1】工厂有职工480人，其中男职工人数是女职工人数的3倍，工厂的男、女职工各有多少人？
解题思路1：已知男、女职工的人数和是480，两者的倍数关系是3。

由公式直接求解。

列式：女职工480÷（3+1）=120（人）
男职工120×3=360（人）或 480-120=360（人）
答：女职工有120人，男职工有360人。

解题思路2：画线段图分析
由图可知，将女职工的人数看作1份，男职工的人数是女职工的3倍，男职工的人数就是3份，总共是4份，总人数是480人，先求出1份的人数，再求出几份的人数。

列式：女职工480÷（3+1）=120（人）
男职工120×3=360（人）或 480-120=360（人）
答：女职工有120人，男职工有360人。

【例2】在一道除法算式中，已知被除数和除数的和为360，商是5，被除数和除数各是多少？
解题思路1：在除法算式中，被除数÷除数=商，此题中商是5，说明被除数是除数的5倍，已知被除数和除数的和是360，由公式直接求解。

列式：除数 360÷（5+1）=60
被除数 60×5=300 或 360-60=300
答：被除数是300，除数是60。

解题思路2：画线段图分析
由图可知，被除数是除数的5倍，除数和被除数的和为360，直接用公式求解。

列式：除数 360÷（5+1）=60
被除数 60×5=300 或 360-60=300
答：被除数是300，除数是60。

总结：基本的和倍问题是题目中直接给出两个数的和与倍数关系，那么我们可以直接利用数量关系式求出这两个数各是多少，同时也可以利用画线段图的方式去理解分析。

【巩固练习】
1、学校将450本课外书分给五、六两个年级，已知六年级分得的课外书本数是五年级的2倍，请问五、六年级各分得多少本课外书？
2、水果店运来苹果和西瓜共75箱，已知苹果的箱数是西瓜的4倍，水果店运来苹果和西瓜各多少箱？
和倍问题类型二：总和不变，两数变化
【例3】甲乙两筐水果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，那么此时甲筐的重量是乙筐的2倍，两筐水果原来各有多少千克？
解题思路1：从甲筐中取出放入乙筐，两筐的总和是不变的，先根据公式求出现在甲乙两筐水果的重量，再求出原来两筐水果的重量。

列式：现在乙筐 78÷（2+1）=26（千克）
原来乙筐 26-12=14（千克）
原来甲筐 78-14=64（千克）
答：原来甲筐有64千克，乙筐有14千克。

解题思路2：画线段图分析
由图可知，从甲筐中取出放入乙筐，两筐的总和是不变的，先根据公式求出现在甲乙两筐水果的重量，再求出原来两筐水果的重量。

列式：现在乙筐 78÷（2+1）=26（千克）
原来乙筐 26-12=14（千克）
原来甲筐 78-14=64（千克）
答：原来甲筐有64千克，乙筐有14千克。

【例4】某工厂第一车间有工人150人，第二车间有工人90人。

要使第一车间人数是第二车间人数的2倍，需要从第二车间调多少人到第一车间？
解题思路1：总人数150+90不变，从二车间调工人到一车间之后，一车间人数是二车间的2倍，根据公式先求出现在一二两车间的人数，再依据二车间原先的人数，求出调到一车间的人数。

列式：现在二车间人数（150+90）÷（2+1）=80（人）
调往一车间人数 90-80=10（人）
答：需要从第二车间调10人到第一车间。

解题思路2：画线段图分析
由图可知，总人数150+90不变，从二车间调工人到一车间之后，一车间人数是二车间的2倍，根据公式先求出现在一二两车间的人数，再依据二车间原先的人数，求出调到一车间的人数。

列式：现在二车间人数（150+90）÷（2+1）=80（人）
调往一车间人数 90-80=10（人）
答：需要从第二车间调10人到第一车间。

总结：总和不变，两个量之间相互转换。

先利用总和和倍数关系求出现在两个量各是多少，再根据题目意思求出转换的量。

此类题型通常可以画线段图来理清两者之间的变化关系。

【巩固练习】
1、哥哥有零花钱20元，弟弟有零花钱25元。

哥哥给弟弟多少元后，弟弟的零花钱是哥哥的2倍？
2、甲乙两桶油共重340千克，如果从甲桶中倒入30千克油到乙桶中，此时甲桶中的油是乙桶的3倍。

原来甲乙两桶油各有多少千克？
和差问题类型三：总和变化
【例5】养殖场一共有公鸡和母鸡共470只，养殖场为了扩大规模，又买了50只母鸡，此时母鸡的只数是公鸡的3倍，养殖场原来有公鸡和母鸡各多少只？
解题思路1：当母鸡的只数增加50只后，母鸡的数量是公鸡的3倍，此时总数也应该增加50，现在的总数是470+50=520只，倍数关系是3，利用公式求解。

列式：公鸡（470+50）÷（3+1）=130（只）
母鸡470-130=340（只）
答：养殖场原来有公鸡130只，母鸡340只。

解题思路2：画图分析
由图可知当母鸡的只数增加50只后，母鸡的数量是公鸡的3倍，此时总数也应该增加50，现在的总数是470+50=520只，倍数关系是3，利用公式求解。

列式：公鸡（470+50）÷（3+1）=130（只）
母鸡470-130=340（只）
答：养殖场原来有公鸡130只，母鸡340只。

【例6】甲、乙两个粮仓原来共有粮食230吨，后来从甲仓库运出50吨，乙仓库运进20吨，这时乙仓库的粮食是甲仓库的3倍。

甲乙两个仓库原来各有粮食多少吨？
解题思路1：甲仓库运出50吨，乙仓库运进20吨，此时两个仓库的粮食共有230-50+20=200吨，此时乙仓库是甲仓库的3倍，根据公式可求出现在甲、乙两个仓库的粮食吨数，再求出原来两个仓库各有多少吨粮食。

列式：现在甲仓库（230-50+20）÷（3+1）=50（吨）
现在乙仓库50×3=150（吨）
原来甲仓库50+50=100（吨）
原来乙仓库150-20=130（吨）
答：原来甲仓库有100吨，乙仓库有130吨。

解题思路2：画图分析
由图可知，甲仓库运出50吨，乙仓库运进20吨，此时两个仓库的粮食共有230-50+20=200吨，此时乙仓库是甲仓库的3倍，根据公式可求出现在甲、乙两个仓库的粮食吨数，再求出原来两个仓库各有多少吨粮食。

列式：现在甲仓库（230-50+20）÷（3+1）=50（吨）
现在乙仓库50×3=150（吨）
原来甲仓库50+50=100（吨）
原来乙仓库150-20=130（吨）
答：原来甲仓库有100吨，乙仓库有130吨。

总结：先根据题意求出现在两数之间的总和，根据现在两数之间的总和两数的倍数关系，求出现在两数各是多少，再根据题意求出原先两数各是多少。

【巩固练习】
1、水果店有梨和香蕉共250箱。

梨卖出40箱，又运进香蕉70箱，这时梨的箱数正好是香蕉的3倍。

水果店原来有梨和香蕉各多少箱？
2、学校合唱队原来有队员42人，开学时又加入3名男生，这是男生的人数正好是女生的2倍，合唱队原来有男生和女生各多少人？
和差问题类型四：非整数倍
【例7】学校将360本图书分给五、六两个年级，已知六年级分得的图书数量比五年级的2倍还多60本。

五、六年级各得图书多少本？
解题思路1：若六年级去掉60本图书之后，六年级的图书数量正好是五年级的2倍，此时总和也要去掉60本。

现在五六年级的图书总数是360-60=300本，六年级是五年级的2倍，把五年级的图书数量看作1份，六年级的图书数量是2份，根据公式可求出五年级的图书数量，再根据题意求出六年级的图书数量。

列式：五年级（360-60）÷（2+1）=100（本）
六年级 100×2+60=260（本）或 360-100=260（本）
答：五年级分得100本，六年级分得260本。

解题思路2：画图分析
有图可知若六年级去掉60本图书之后，六年级的图书数量正好是五年级的2倍，此时总和也要去掉60本。

现在五六年级的图书总数是360-60=300本，六年级是五年级的2倍，把五年级的图书数量看作1份，六年级的图书数量是2份，根据公式可求出五年级的图书数量，再根据题意求出六年级的图书数量。

列式：五年级（360-60）÷（2+1）=100（本）
六年级 100×2+60=260（本）或 360-100=260（本）
答：五年级分得100本，六年级分得260本。

【例8】建筑工地运来水泥和沙子共300吨，已知水泥的重量是沙子的4倍还少20吨，建筑工地运来水泥和沙子各多少吨？
解题思路1：若水泥的重量再增加20吨，水泥的重量正好是沙子的4倍，此时总和也要再增加20吨。

现在水泥和沙子的总重是300+20=320吨，水泥的重量是沙子的4倍。

把沙子的重量看作1份，水泥的重量就是4份，根据公式可求出的沙子的重量，再根据题意求出水泥的重量。

列式：沙子（300+20）÷（4+1）=64（吨）
水泥 64×4-20=236（吨）或300-64=236（吨）
答：建筑工地运来沙子64吨，水泥236吨。

解题思路2：画图分析。

由图可知，若水泥的重量再增加20吨，水泥的重量正好是沙子的4倍，此时总和也要再增加20吨。

现在水泥和沙子的总重是300+20=320吨，水泥的重量是沙子的4倍。

把沙子的重量看作1份，水泥的重量就是4份，根据公式可求出的沙子的重量，再根据题意求出水泥的重量。

列式：沙子（300+20）÷（4+1）=64（吨）
水泥 64×4-20=236（吨）或300-64=236（吨）
答：建筑工地运来沙子64吨，水泥236吨。

总结：非整倍数的和倍问题，解题时根据“多减少加”的原则，“几倍多多少”就把多出来的去掉，“几倍少多少”就把少掉的部分加上。

需要注意的是总和也需要同步增加或减少。

【巩固练习】
1、果园里面种了梨树和桃树一共340棵，其中桃树比梨树的3倍多20棵，果园里面两种树各种了多少棵？
2、一道除法算式中，商是15，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是247，这道题中的被除数和除数各是多少？
和差问题类型五：三个量的和倍问题
【例9】甲乙丙三个数之和是175，甲数是乙数的一半，丙数是乙数的2倍，甲乙丙三数各是多少？
解题思路1：把最小的甲数看作一份数，乙数就是2份，丙数就是4份，总共就是7份。

转化为基本的和倍问题求解。

列式：甲数 175÷（1+2+4）=25
乙数 25×2=50
丙数 50×2=100
答：甲数是25，乙数是50，丙数是100。

解题思路2：画图分析
有图可知把最小的甲数看作一份数，乙数就是2份，丙数就是4份，总共就是7份。

转化为基本的和倍问题求解。

列式：甲数 175÷（1+2+4）=25
乙数 25×2=50
丙数 50×2=100
答：甲数是25，乙数是50，丙数是100。

【例10】花园里共有玫瑰花、月季花和茉莉花共410盆，已知玫瑰花的数量是月季花的3倍，茉莉花的数量比月季花的2倍还多20盆。

花园里面三种花各有多少盆？
解题思路1：把月季花的数量看作1份，玫瑰花的数量就是3份，茉莉花的数量就是2份还多20盆，按按照“多减少加”的原则，先把多出来的20盆减掉，总数也要减去20，现在玫瑰花、月季花和茉莉花一共有6份，一共有410-20=390盆，用公式求出1份数，再求出几份数。

列式：月季花（410-20）÷（1+3+2）=65（盆）
玫瑰花 65×3=195（盆）
茉莉花 65×2+20=150（盆）
答：花园里月季花有65盆，玫瑰花有195盆，茉莉花有150盆。

解题思路2：画图分析。

由图可知，把月季花的数量看作1份，玫瑰花的数量就是3份，茉莉花的数量就是2份还多20盆，按按照“多减少加”的原则，先把多出来的20盆减掉，总数也要减去20，现在玫瑰花、月季花和茉莉花一共有6份，一共有410-20=390盆，用公式求出1份数，再求出几份数。

列式：月季花（410-20）÷（1+3+2）=65（盆）
玫瑰花 65×3=195（盆）
茉莉花 65×2+20=150（盆）
答：花园里月季花有65盆，玫瑰花有195盆，茉莉花有150盆。

总结：三个量的和倍问题，解题时转化为基本的和倍问题求解，若有非整数倍时根据“多减少加”的原则，“几倍多多少”就把多出来的去掉，“几倍少多少”就把少掉的部分加上。

需要注意的是总和也需要同步增加或减少。

【巩固练习】
1、小明买了红、黄、蓝三种颜色的玻璃球共270个，黄球的个数是红球的2倍，蓝球的个数是黄球的3倍，小明买了三种颜色的玻璃球各多少个？
2、饲养场养鸡、鸭、鹅共412只，其中鸡的只数比鸭的2倍多16只，鸭的只数比鹅的3倍少8只，饲养场养鸡、鸭、鹅各多少只？。