2020_2021学年高中数学第三章概率单元质量评估二习题含解析新人教A版必修3

第三章单元质量评估(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( C )
A ．A 与
B B ．B 与
C C ．A 与
D D ．C 与D
解析：A 与B 是对立事件，B 与C 既不是互斥事件也不是对立事件，A 与D 是互斥事件但不是对立事件，C 与D 既不是互斥事件也不是对立事件，选C.
2．在给连体婴儿动手术之前，外科医生会告知病人家属一些情况，其中有一项是这种手术的成功的概率大约是65%.下列解释正确的是( D )
A ．65%的医生能做这个手术，另外35%的医生不能做这个手术
B ．这个手术一定成功
C ．100个手术有65个手术成功，有35个手术失败
D ．这个手术成功的可能性大小是65%
解析：成功的概率大约是65%，说明手术成功的可能性大小是65%，故选D.
3．某地区高中达标校分为三个等级，一级达标校共有3 000名学生，二级达标校共有3 900名学生，三级达标校共有4 100名学生，若采取分层抽样的方法抽取1 000名学生，则一级达标校中的学生甲被抽到的概率为( B )
A.110
B.111
C.13
D.13 000
解析：因为总体的个数为3 000＋3 900＋4 100＝11 000，采取分层抽样的方法抽取1 000名学生，由于每个个体被抽到的概率都相等，所以一级达标校中的学生甲被抽到的概率P ＝
1 00011 000＝1
11
，故选B. 4．小陈与小李两人相约去游玩，他们约定各自独立地从1～5号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们在同一个景点的概率为( C )
A.125
B.110
C.15
D.25
解析：若用1,2,3,4,5代表5个景点，显然最后1小时，小陈、小李两人各选择一个景点游览的结果数为25，其中两人在同一个景点有5种结果，所以最后1小时他们在同一个景点的概率为525＝1
5
，故选C.
5．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[1,8]，则1≤f (x )≤2成立的概率是( B ) A.17 B.27 C.37 D.47
解析：由1≤f (x )≤2可知1≤log 2x ≤2，解得2≤x ≤4，由几何概型可知P ＝2
7，选B.
6．如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是1
3
，则小狗图案的面积是( D )
A.π3
B.4π3
C.8π3
D.16π3
解析：设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的概率计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π
3
.故选D. 7．在五个数字5,6,7,8,9中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是( B )
A.35
B.310
C.25
D.710
解析：列举出从五个已知数字中随机取出三个数字后剩下两个数字的所有可能情况：{5,6}，{5,7}，{5,8}，{5,9}，{6,7}，{6,8}，{6,9}，{7,8}，{7,9}，{8,9}，共有10种情况，剩下两个数字都是奇数的可能情况：{5,7}，{5,9}，{7,9}，共有3种情况，所以所求概率P ＝3
10
，故选B. 8．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( A )
A.35
B.45
C.23
D.34
解析：设3只白兔分别为b 1，b 2，b 3,2只灰兔分别为h 1，h 2，则所有可能的情况有(b 1，h 1)，(b 1，h 2)，(b 2，h 1)，(b 2，h 2)，(b 3，h 1)，(b 3，h 2)，(h 1，b 1)，(h 2，b 1)，(h 1，b 2)，(h 2，b 2)，(h 1，b 3)，(h 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 1)，(b 2，b 3)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(h 1，h 2)，(h 2，h 1)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12种，∴所求概率为1220＝35
.
9．有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器(自身体积可忽略)，若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为( A )
A.π6
B.π4
C.12
D.23
解析：设“蚊子被灭蚊器消灭”
为事件A ，由题知，墙角安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器，其覆盖区域为1
8个以正方体顶点为球心，1为半径的球体，正方体的8
个顶点覆盖区域合计为1个球体．则P (A )＝V 球V 正＝43π8＝π
6
.
10．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛起自己的硬币．硬币落下后若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( B )
A.14
B.716
C.12
D.916
解析：由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率．四个人同时抛硬币，共有24＝16种不同的情况，其中两个人的硬币同为正面时需要站起来的情况有4种，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P ＝4＋4＋116＝
916.故没有相邻的两人站起来的概率P ＝1－916＝716
. 11．从区间[－1,1]上随机抽取实数x ，y ，则|x |＋2|y |≤1的概率为( B ) A.16 B.14 C.13 D.1
2
解析：由几何概型得，|x |＋2|y |≤1在区间[－1,1]上所形成的区域的面积S 1＝12＋1
2＝1，
总面积S ＝2×2＝4，则所求概率P ＝S 1S ＝1
4
，故选B.
12．周三下午第一节40分钟的自习课，小聪和小明分别去教师办公室单独请罗老师讲解数学疑难问题，两人在自习课内的任何时刻去是等可能的，若罗老师给每个人讲解的时间都是10分钟，则罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为( C )
A.716
B.34
C.916
D.1
2
解析：设上课开始的时刻为第0分钟，小聪和小明到达教师办公室的时刻分别为第x
分钟和第y 分钟，则⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤40，
0≤y ≤40，
若罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突，则x ，y 满
足⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤40，
0≤y ≤40，|x －y |>10，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤40，
0≤y ≤40，
x －y >10，y －x >10，
令事件A 为罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲
突，则总的基本事件空间为如图所示的正方形，其中事件A 构成的基本事件空间为正方形中的阴影部分．
于是P (A )＝1
2×30×30×240×40＝9
16，即罗老师给他们两人单独讲解没有时间冲突的概率为
9
16
，故选C. 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．在区间[－3,5]上随机地取一个数x ，则关于x 的不等式2－m ≤x ≤1＋m 成立的概率为3
8
，则实数m 的值为2. 解析：依题意，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
2－m ≤1＋m ，1＋m －(2－m )5－(－3)＝3
8，所以⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥12
，m ＝2，
解得m ＝2.
14．某县准备从5名报名者(其中男性3名，女性2名)中选2人参加副局长职务的竞选，则所选2人均为女性的概率为1
10
.
解析：设5人中的3名男性分别为a ，b ，c,2名女性分别为D ，E ，所以从这5人中选2人的所有基本事件有{a ，b }，{a ，c }，{a ，D }，{a ，E }，{b ，c }，{b ，D }，{b ，E }，{c ，D }，{c ，E }，{D ，E }，共10个，其中2人均为女性的基本事件有{D ，E }，共1个，所以所选2人均为女性的概率为
110
. 15．某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置)，若踩到炸弹，则返回起点重新开始，若达到终点，则游戏结束．现在已知小明掷完三次骰子后游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为21.
解析：所有不同的情况种数有(3,4,5)，(3,6,3)，(3,5,4)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)．共21种．
16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个两数都小于1的正实数对(x ，y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边长的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈78
25
.(用分数表示)
解析：由题意知，200个两数都小于1的正实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤1，
对应图形面
积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边长的数对(x ，y )满足x 2
＋y 2
<1且⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤1，
x ＋y >1，
对应图形的面积为π4－1
2，因为统计两数能与1构成钝角三角形三边长的数对(x ，y )的个数m
＝56，所以56200≈π4－12，∴π≈78
25
.
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)某医院一天内派出下乡医疗的医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，∴x ＝0.3. (2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，∴z ＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y ＋0.2＋z ＝0.44，∴y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2. 18．(本小题12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，若采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5)．
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率．
解：甲、乙两人可能被排在1,2号；1,3号；1,4号；1,5号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；3,5号；4,5号，共10种情形．
其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的情形有：1,2号；1,4号；2,3号；2,4号；2,5号；3,4号；4,5号，共7种．甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的情形有：1,3号；1,4号；1,5号；2,4号；2,5号；3,5号，共6种．
(1)记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事件A ，则P (A )＝7
10.
(2)记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事件B ，则P (B )＝610＝3
5
.
19．(本小题12分)某市为了成为宜商、宜居的国际化现代新城，在该市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对这两个城区的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．
(1)根据茎叶图判断哪个城区的厂家的平均分较高；
(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家，若从这两个城区各选1个优秀厂家，求得分差距不超过4的概率．
解：(1)根据茎叶图，可知东城区的厂家的平均分为1
8×(78＋79＋79＋87＋88＋89＋93
＋94)＝85.875.
西城区的厂家的平均分为1
8×(72＋79＋81＋83＋84＋85＋94＋95)＝84.125.
因为85.875>84.125，所以东城区的厂家的平均分较高． (2)东城区、西城区的优秀厂家分别有5家、3家．
从这两个区域各选一个优秀厂家，共有15种不同的取法，其基本事件分别为(东87，西85)，(东87，西94)，(东87，西95)，(东88，西85)，(东88，西94)，(东88，西95)，(东89，西85)，(东89，西94)，(东89，西95)，(东93，西85)，(东93，西94)，(东93，西95)，(东94，西85)，(东94，西94)，(东94，西95)．
其中满足得分差距不超过4的基本事件有7种，分别为(东87，西85)，(东88，西85)，(东89，西85)，(东93，西94)，(东93，西95)，(东94，西94)，(东94，西95)．所以所求
概率P ＝7
15
.
20．(本小题12分)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：小时)，停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：
停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
解：(1)a ＝1
100
×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.
(2)设甲船到达的时间为x 时，乙船到达的时间为y 时，则⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤24，
0≤y ≤24，
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y －x |<4，|y －x |<4表示的区域如图中阴影部分所示，所以必须等待的概率P ＝1－202242＝11
36
.
21．(本小题12分)x 的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x .
(1)请写出程序框图所表示的函数表达式； (2)求输出的y 满足y <5的概率； (3)求输出的y 满足6<y ≤8的概率．
解：(1)由已知可得程序框图所表示的函数表达式是y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1，7<x ≤10，
x ＋1，0≤x ≤7.
(2)当y <5时，若输出y ＝x ＋1(0≤x ≤7)，此时输出的结果满足x ＋1<5，所以0≤x <4；若输出y ＝x －1(7<x ≤10)，此时输出的结果满足x －1<5，所以0≤x <6(不合题意)，所以输出的y 满足y <5时，x 的范围是0≤x <4.则使得输出的y 满足y <5的概率P ＝4－0
10－0＝2
5
.
(3)当0≤x ≤7时，输出y ＝x ＋1，由6<x ＋1≤8，解得5<x ≤7；当7<x ≤10时，输出y ＝x －1，由6<x －1≤8，解得7<x ≤9.
综上，输出的y 满足6<y ≤8时x 的范围是5<x ≤9.则使得输出的y 满足6<y ≤8的概率P ＝9－510＝25
.
22．(本小题12分)某高中有高一新生500名，分成水平相同的A ，B 两类进行教学试验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A ，B 两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试．
(1)求该学校高一新生A ，B 两类学生各有多少人； (2)经过测试，得到以下三个数据图表．
①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图(图2)补充完整； ②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B 类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．
解：(1)由题意知A 类学生有500×40
40＋60＝200名，B 类学生有500－200＝300名．
(2)①
②79分以上(含79分)的B 类学生共4人，记80分以上的三人分别是1,2,3,79分的学生为a .
从中随机抽取2人，有(1,2)、(1,3)、(1，a )、(2,3)、(2，a )、(3，a )共6种抽法， 抽出的2人分数均在80分以上有(1,2)、(1,3)、(2,3)共3种抽法，则抽到的2人分数均在80分以上的概率P ＝36＝12.。