电磁学课件 第八章 静磁能

所以
讨论
要分析磁化功的具体形式及其后果，必须考虑介质 r r r r r 的磁化规律，即 M和H 的函数关系。 dB = μ (dH + dM ) 0 下面来具体分析。
1. 线性(无损耗)磁介质
r r 这时 M = χ m H
因此 所以
r r 所以 dM = χ m dH
r r r r r r r r μ 0 H ⋅ dM = μ 0 H ⋅ ( χ m dH ) = μ 0 χ m ( H ⋅ dH ) = μ 0 M ⋅ dH
所以
(δWm ) I = δA'−δA = 2(δWm ) I − δA
⇒ (δWm ) I = δA
物理意义：当维持各载流线圈电流不变时，磁力作 功等于系统磁能的增加，原因就是因为外界即电源同时参 与作功，且作功量正好是磁力作功的两倍。
r r 利用 δA = F ⋅ δr 和 (δWm ) I = δA 可得： r F = (∇Wm ) I
(2) 当研究载流导线在外磁场中受到的磁力时，可用 载流导线在外磁场中的静磁能代替 Wm ，而不必计入载流 线圈和外磁场本身的自能。 前面已经得出结论：
Wm = ∑ I i ∫∫
i =1
N
Si
r r r B (ri ) ⋅ dS
r r 这是N个载流线圈置于一外磁场 B(ri ) 中，系统在外磁
场中的静磁能。 当外磁场为均匀磁场时，
dψ = Ndφ = NSdB
与此同时，电源克服感应电动势所作的元功为： dψ dA' = −εIdt = I dt = Idψ = INdφ = NSIdB dt dq dψ 其中再次利用了 dA' = −ε dq ，而 ε = − 和 i = dt dt
r 下面由安培环路定理来求出磁场强度为 H 和电流强度 为I之间的关系。
利用上式中脚标i表示在求的梯度或偏导数时将由上式可以看出只要给定静磁能的表达式则可由此求出磁力或它的分量由此大家可以看出由磁能求磁力的方便之处即可以不考虑在受力载流线圈实际位移过程中系统各线圈的电流是否变化或怎样变化
§2 非线性介质及磁滞损耗
前面我们讨论的对象为线性无损耗介质，本节讨论 非线性介质的静磁能及磁滞损耗问题。 为简单起见，我们只讨论螺绕环情况。设螺绕环的截 面积为S，长度为 l ，线圈匝数为N，电流为I，内部填满 r 磁化强度为 M 的磁介质。设在dt时间内螺绕环内的磁感应 强度由B增至B+dB，则穿过线圈的总磁通量为：
Py = (χ e ) yx E x + (χ e ) yy E y + (χ e ) yz E z
极化率有九个量，通常称它为极化率张量。
§3. 利用磁能求磁力
一般来说，求静磁力的方法有2种： r r (1) 已知外磁场 B 和电流 J 的分布，用安培力公式或 洛伦兹力公式计算，即：
V S L
r r r r r r r r r F = qv × B = ∫∫∫ J × BdV = ∫∫ i × BdS = ∫ Idl × B
于是电源所作的总功为： 这时系统磁能的变化为：
δA' = ∑ δA'i = ∑ I iδφ i
i =1 i =1
N
N
δA' = 2(δWm ) I 与 δA' 比较可得：
1 N (δWm ) I = ∑ I i δφ i 2 i =1
该式表示维持所有载流线圈电流不变，电源所作的 功正好是系统磁能变化的两倍。 而系统磁能的变化又可以表示为：(δWm ) I = δA'−δA 该式表示电源作功 δA' 使系统磁能增加，这正好符合 前面的分析，而磁能作功 δA 则使系统磁能减少，这也是 符合能量守恒的。 即 δA'= 0 则有 δA = −(δWm ) I
0 磁化
a ' 磁化 = ∫ da ' 磁化 = ∫ μ 0 HdM
等式右边沿磁滞回线的闭路积分正好等于磁滞回线 所围的“面积”。这部分功不改变磁场强度和介质的磁化状 态，它所传递的能量将转化为热量。这部分因磁滞现象而 损耗的能量称为磁滞损耗。 强调：在交流电路中，电感元件铁芯的磁滞损耗是有 害的，应当尽量使之减少，并采取措施防止铁芯过热。 3. 磁化率张量 类似于极化率张量的讨论，此处从略。
r 其中 mi 是整个系统的磁矩。这个结果后面还要用。
r ⎛ N r⎞ r r W m = B ⋅ ⎜ ∑ I i S i ⎟ = mi ⋅ B ⎝ i =1 ⎠
(3) 静磁能与静电能的比较 一般：
Wm = Wm ( I , φ ) 和 W = W (u , Q ) e e
Fmx
⎛ ∂We ⎞ ⎛ ∂Wm ⎞ ⎟ 对应； = −⎜ ⎟ 和 Fex = −⎜ ⎝ ∂x ⎠ Q ⎝ ∂x ⎠φ
1 r r 式中 μ0 H ⋅ M = a '磁化 ，通常称作磁化能密度。 2
r r 1 r r μ0 H ⋅ dM = d ( μ0 H ⋅ M ) = da '磁化 2
上式说明磁化功 da ' 磁化 全部转换为介质的磁化能 r r 1 d ( μ0 H ⋅ M ) 2
r r μ0 2 1 r r da ' = d ( H ) + μ0 H ⋅ dM = d ( H ) + d ( μ0 H ⋅ M ) 2 2 2 r r μ0 2 1 r r μ0 r r r 1 r = d ( H + μ0 H ⋅ M ) = d [ H ⋅ ( H + M )] = d [ H ⋅ μ0 ( H + M )] 2 2 2 2 r r 1 r r μ0 2 = d ( H ⋅ B ) = d ωm da ' = d ( H ) + μ0 H ⋅ dM 2 2
⎛ ∂Wm ⎞ Lθ = ⎜ ⎟ ⎝ ∂θ ⎠ I
2. 维持磁通不变 下面推出另一个等效的由磁能求磁力的公式。假定在 受力线圈虚位移过程中，维持各线圈的磁通量 φ 不变，这 样在线圈中不会产生感应电动势，也就是说，这时电源将 不参与作功，磁力作功 δA 正好等于系统的磁能的减少。 即： (δWm ) φ = −δA 。 r 同样我们可得： F = −(∇Wm ) φ 或 W 式中下标 φ表示在求Wm 的梯度或偏导数时， m 表达式 r 中的 φ i 应视作常数。当用角位移 δθ 代替位移 δr 时，有 磁力矩公式： L = −⎛ ∂Wm ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎝ ∂θ ⎠φ
r r 由 ∫ H ⋅ dl = Hl = NI L
所以，
Hl I= 可得 N
dA' = NSIdB = HlSdB = VHdB
其中 V = Sl 为螺绕环的体积。考虑单位体积的螺绕环 介质，电源所作的元功为：
dA' da ' = = HdB V r r
r r r r 利用 B = μ 0 ( H + M ) ，可得 dB =
或
⎛ ∂Wm ⎞ Fx = ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ I
⎛ ∂Wm Fy = ⎜ ⎜ ∂y ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠I
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ I
讨论
r F = (∇Wm ) I
(1) 上式中脚标I表示在求 Wm 的梯度或偏导数时，将 Wm 中的 I i 看作常数； (2) 由上式可以看出，只要给定静磁能 Wm的表达式， r 则可由此求出磁力 或它的分量 Fx、Fy、Fz ； F 由此大家可以看出由磁能求磁力的方便之处, 即可以 不考虑在受力载流线圈实际位移过程中系统各线圈的电流 是否变化或怎样变化。 r (3) 当用角位移 δθ 代替位移δr 时，则得磁力矩公 式：
⇒ da' = H ⋅ dB
（这是普遍表达式）
r r μ 0 (dH + dM )
r r r r r r r r μ0 2 da' = H ⋅ dB = μ 0 H ⋅ dH + μ 0 H ⋅ dM = d ( H ) + μ 0 H ⋅ dM 2 μ0 2 右边第1项 d ( H ) ，为宏观磁能密度的变化, 2 r r 第2项 μ 0 H ⋅ dM 为磁场对单位体积磁介质所作的磁化 功。 因此上式的物理意义为：电源所作的功一部分用来 增加宏观磁能，另一部分为对磁介质作的磁化功。
⎛ ∂Wm ⎞ Fx = −⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠φ
⎛ ∂Wm F y = −⎜ ⎜ ∂y ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠φ
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = −⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠φ
二．小结：
r F = (∇Wm ) I 或
和
(1)
⎛ ∂Wm ⎞ Fx = ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ I
⎛ ∂Wm Fy = ⎜ ⎜ ∂y ⎝
∫
∫
式中右式的沿电滞回线的闭合回路 积分正好等于电滞回线所包围的“面 积”。这部分能量既不改变电场，又 不改变电介质的极化状态，而是转 化为热量，使电介质发热。这部分因电滞现象而消耗的 能量，称为电滞损耗，类似于在铁磁体中也会存在磁滞损 耗一样。
类似于电介质中的极化功一样，我们也可以计算当从 某点A出发，沿着磁滞回线循环一周到A时，电源对单位 r r 体积所作的功为： μ H ⋅ dM = da '
2
于是 μ0
物理意义为电源作功，在线性非损耗介质情况下， r r r r 能全部转化为螺绕环的静磁能。 μ0 H ⋅ dM = d ( 1 μ0 H ⋅ M )
2
不过请注意，在这儿的磁能密度等于宏观磁能密度
μ0
2
H
2
和磁化能密度
μ0 r
2
r H ⋅M
之和。
2. 非线性磁介质 对非线性磁介质不再有上述简单结论。 下面我们以铁磁体为例来进行讨论。在前面我们已经 介绍了铁磁体M和H的关系是非单值的，一定的H所对应 的M值依赖于磁化过程。 当磁场在H0和-H0之 间反复变化时，铁磁 体的磁化状态将沿磁 滞回线周期变化。上 述磁化过程是不可逆 过程，图中用箭头标 出了过程进行的方向。
回顾： 非线性电介质及电滞损耗பைடு நூலகம்对非线性有损耗电介质，显然不可能象在线性无损 耗电介质中那样，极化功全部转换成电介质的极化能。也 就是说，不可能将电源作功全部转化为静电能，这时极化 能密度的表达式将会发生变化。在极化功中只有一部分转 化为极化能，另一部分则转换为热量。 下面以铁电体为例简单叙述一下。 在铁电体中，a ' = da ' = EdP
(2) 利用静磁能求，即采用虚功原理法。这部分内容 与电介质中的有关内容类似，我们照样可以采用类比法去 学。
一. 虚功原理 考虑N个载流线圈构成的电流系统，并考虑其中一个 r r 载流线圈所受的磁力F 。设想该载流线圈有一虚位移 δ r ， r r 磁力作功为：
δA = F ⋅ δr = Fx δx + Fy δy + Fz δz
回顾： 各向异性电介质 r r 典型材料如石英， 与E 不平行，关系极为复杂。 P 在直角坐标系中， ⎛ P ⎞ ⎛E ⎞
⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ Py ⎟ = (χ e )⎜ E y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Pz ⎠ ⎝ Ez ⎠
Px = (χ e )xx E x + (χ e )xy E y + (χ e )xz E z Pz = (χ e )zx E x + (χ e )zy E y + (χ e )zz E z
Fmx
⎛ ∂We ⎞ 对应。 ⎛ ∂Wm ⎞ 和 Fex = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ u ⎝ ∂x ⎠ I
φ 为磁通量；u为电势，Q为电荷。 其中I为电流， 由上式可以看出I与u对应；φ与Q 对应。
三．例题 例二． 具有恒定的高磁导率 μ r 的马蹄形磁介质，与 一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路，它们的横截面积 为矩形，面积为A，长度为 l 。马蹄形磁介质上绕有N匝 导线，通以恒定电流I，求马蹄形与条形磁介质之间的吸 力。 μr 解： 1 Wm = IΨ A 因为 2 假定I不变，
下面来具体讨论两种情况。 1. 维持电流不变，电源作功 这时对应的是非孤立系统，因为要想维持各线圈中 电流不变，则需要外部电源反抗感应电动势作功，这部分 r导致第i个线圈 功记作 δA' 。设因受力载流线圈作虚位移 δ r 的磁通量变化 δφ i ，则该线圈中的反抗感应电动势作功应 为：
dφ i δA'i = −ε i I i dt = I i dt = I i δφ i dt
⎞ ⎟ ⎟ ⎠I
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ I
r ⎛ ∂Wm ⎞ F = −(∇Wm ) φ 或 Fx = −⎜ ⎟ ∂x
⎝
⎠φ
⎛ ∂Wm Fy = −⎜ ⎜ ∂y ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠φ
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = −⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ φ
不仅适合于无磁介质时的情况，对有线性无损耗磁 介质存在时，上面诸式也成立。 只是注意此时系统的磁能 Wm 中应包括介质的磁化能 。上一节我们已经得到磁化能密度为 μ 0 r r 。 H ⋅M 2