黑龙江省哈尔滨四十七中2015-2016学年八年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版五四制

黑龙江省哈尔滨四十七中2015-2016学年八年级数学上学期期中试
题
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．下列计算正确的是（）
A．x3+x2=x5B．x6÷x3=x2C．x3•x2=x5D．（x3）2=x5
2．下列图案中是轴对称图形的是（）
A．
中国移动B．
中国联通C．
中国网通D．
中国电信
3．在代数式，，，，，中，分式的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）
A．1或5 B．5 C．7 D．7或﹣1
5．若分式的值为0，则x的值为（）
A．1 B．0 C．﹣2 D．1或﹣2
6．如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
7．下列各式变形正确的是（）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．下列命题中，真命题的个数为（）
（1）等腰三角形的底角一定是锐角．
（2）三角形两边中垂线的交点到三边的距离相等．
（3）等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴．
（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值．
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，连接BD、AE、BE，∠DBE=20°，则∠AEB=（）
A．30 B．40 C．45 D．60
二、填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．计算： = ．
12．当x= 时，分式无意义．
13．已知a=6×109，b=2×103，则a÷b=．
14．计算： = ．
15．如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为．
16．如图，△ABC中，AB=AC，E为AC上一点，且AE=BE，CE=CB，则∠C= 度．
17．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，C点对称点为E，BE交AD于点O，若∠OBD=30°，则OE与OB的数量关系为．
18．如图，点A，B都在直线l的同一侧，若P为直线l上一点，且满足PA+PB最短为点A 到直线l的距离与点B到直线L的距离之和的2倍，则∠APB=度．
19．若（x﹣1）x+1=1，则x= ．
20．如图，已知等边△AB C中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E．∠ABC 的平分线BF，交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H．当∠EDC=30°，CF=，则DH= ．
三、解答题（21-25题各8分，27-28题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣（6a2b﹣2ab2）÷2b的值，其中a=﹣2，
b=．
22．因式分解：
（1）（3x+2y）2﹣y2
（2）4x3+xy2+4x2y．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（5，1）．
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
②在此坐标平面的格点上确定点P，使△BCP是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
24．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE．
25．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．
26．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△A BC的顶点A、B的坐标分别为（0，6），（﹣2，0），顶点C在x轴的正半轴上，△ABC的高BD交线段OA于点E，E点坐标为（0，1），且D点恰在AB的垂直平分线上．
（1）求D点坐标；
（2）动点P从点O出发沿线段OA以每秒1个单位的速度向终点A运动，动点Q从C出发沿折线C﹣O﹣y轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，且P点到达A 处时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，是否存在t值，使得△BPQ是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
27．如图，等边△ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边△DEF，连接CF，AF．
（1）求证：FE=FC；
（2）当∠DAF=90°，CE=1时，求等边△ABC的边长．
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨四十七中八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．下列计算正确的是（）
A．x3+x2=x5B．x6÷x3=x2C．x3•x2=x5D．（x3）2=x5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；
故选：C．
2．下列图案中是轴对称图形的是（）
A．
中国移动B．
中国联通C．
中国网通D．
中国电信
【考点】轴对称图形．
【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故不合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选：B．
3．在代数式，，，，，中，分式的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，是分式．
故选：A ．
4．若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值等于（ ）
A ．1或5
B ．5
C ．7
D ．7或﹣1
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x 和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和4积的2倍，故2（m ﹣3）=±8，m=7或﹣1．
【解答】解：∵（x±4）2=x 2±8x+16=x 2+2（m ﹣3）x+16，
∴2（m ﹣3）=±8，
∴m=7或﹣1．
故选D ．
5．若分式的值为0，则x 的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．﹣2
D ．1或﹣2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，解得x=﹣2．
故选C ．
6．如图（一），在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】左图中阴影部分的面积=a2﹣b2，右图中矩形面积=（a+b）（a﹣b），根据二者相等，即可解答．
【解答】解：由题可得：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
故选：A．
7．下列各式变形正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的基本性质把分子分母都乘以﹣1可对A、D进行判断；根据分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变对B、C进行判断．
【解答】解：A、原式=，所以A选项错误；
B、原式=，所以B选项错误；
C、原式=，所以C选项错误；
D、=，所以D选项正确．
故选D．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的定义及判定：等角对等边解答．
【解答】解：首先直角三角形ABC是一个；
AB=BD，所以△ABD也是一个；
DE⊥BC，∠C=45°，∴CD=DE，∴△CDE也是；
AB=BD，∠B=45°，∴∠BAD=67.5，∴∠EAD=22.5，∠CED=45，∴∠AED=135°，∴∠EDA=22.5°，∴AE=DE，∴△ADE也是一个．
所以共4个．
故选B．
9．下列命题中，真命题的个数为（）
（1）等腰三角形的底角一定是锐角．
（2）三角形两边中垂线的交点到三边的距离相等．
（3）等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴．
（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：（1）等腰三角形的底角一定是锐角，原命题是真命题；
（2）三角形两边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，原命题是假命题；
（3）等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线是其对称轴，原命题是假命题；
（4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值，原命题是真命题．
故选C．
10．如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，连接BD、AE、BE，∠DBE=20°，则∠AEB=（）
A．30 B．40 C．45 D．60
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】先证△BCD≌ACE，得出∠CBD=∠CAE，再利△ABE内角和为180°建立角度等式，适当变形，将其它角度消去，得出∠AEB的度数．
【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌ACE（SAS），
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠DBE=20°，
∠CBE=∠DBC﹣20°，
∵∠ABE+∠BEA+∠EAB=180°，
∴∠ABC﹣∠EBC+∠BEA+∠BAC+∠CAE=180°，
∴60°﹣（∠DBC﹣20°）+∠BEA+60°+∠CAE=180°，
∴60°﹣∠DBC+20°+∠BEA+60°+∠CAE=180°，
∴∠BEA=40°．
故选B．
二、填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．计算： = ．
【考点】约分．
【分析】先将分子与分母进行因式分解，再约去它们的公因式，即可求解．
【解答】解： ==．
故答案为．
12．当x= 时，分式无意义．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分式无意义的条件是分母等于0．
【解答】解：分式无意义，则3x﹣4=0，
∴x=．
13．已知a=6×109，b=2×103，则a÷b=3×106．
【考点】整式的除法．
【分析】根据整式的除法：系数除以系数，同底数的幂相除，可得答案．【解答】解：a÷b=（6×109）÷（2×103）
=3×109﹣3
=3×106，
故答案为：3×106．
14．计算： = ﹣2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案．
【解答】解：原式=2×[299×（﹣）99]
=2×[2×（﹣）]99
=2×﹣1=﹣2，
故答案为：﹣2．
15．如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为7 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后求出△ABE 的周长=AB+BC，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC边上的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC，
∵BC=4，AB=3，
∴△ABE的周长=3+4=7．
故答案为：7．
16．如图，△ABC中，AB=AC，E为AC上一点，且AE=BE，CE=CB，则∠C=度．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，∠ABE=∠A，∠EBC=∠BEC，由外角的性质得到∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，推出∠EBC=2∠A，于是得到∠ABC=∠C=3∠A，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠A，
∵CE=CB，
∴∠EBC=∠BEC，
∵∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠EBC=2∠A，
∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴3∠A+3∠A+∠A=180°，
∴∠A=，
∴∠C=，
故答案为：．
17．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，C点对称点为E，BE交AD于点O，若∠OBD=30°，则OE与OB的数量关系为OB=2OE ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由翻折的性质可知∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD=30°，然后可求得∠EDB=60°，由AD∥BC，可得到∠ODB=30°，故此∠OBD=∠ODB=30°，从而得到OB=OD，然后再Rt△EOD中，求得∠ODE=30°，可知OD=2OE，从而可得到OB=2OE．
【解答】解：由翻折的性质可知∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD=30°．
∵AD∥BC，
∴∠ODB=∠CBD=30°．
∴∠OBD=∠ODB．
∴OD=OB．
∵在Rt△EBD中，∠E=90°，∠EBD=30°，
∴∠EDB=60°．
∴∠EDO=∠EDB﹣∠ODB=60°﹣30°=30°．
∵在Rt△OED中，∠EDO=30°，
∴OD=2OE．
∴OB=2OE．
故答案为：OB=2OE．
18．如图，点A，B都在直线l的同一侧，若P为直线l上一点，且满足PA+PB最短为点A 到直线l的距离与点B到直线L的距离之和的2倍，则∠APB=120 度．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】如图所示作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA′+PB=2（A′M+BM），
由BN∥MA′，可知，从而可求得∠BPN=∠MPA′=30°，从而可求得∠APB=120°．
【解答】解：如图所示：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．
由轴对称的性质可知；AP=PA′，
∵AP=PA′，
∴PA+PB=P′A+PB=A′P．
∵PA+PB最短为点A到直线l的距离与点B到直线L的距离之和的2倍，
∴．
∵BN∥MA′，
∴．
∴∠BPN=∠MPA′=30°，
∴∠APB=120°．
故答案为：120．
19．若（x﹣1）x+1=1，则x= ﹣1或2 ．
【考点】零指数幂．
【分析】由于任何非0数的0次幂等于1，1的任何次幂都等于1，故应分两种情况讨论．【解答】解：当x+1=0，即x=﹣1时，原式=（﹣2）0=1；
当x﹣1=1，x=2时，原式=13=1；
当x﹣1=﹣1时，x=0，（﹣1）1=﹣1，舍去．
故答案为：x=﹣1或2．
20．如图，已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E．∠ABC
的平分线BF，交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H．当∠EDC=30°，CF=，则DH= ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH==5．【解答】解：连接AF．
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°﹣60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=AF=CF=，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°﹣60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=．
三、解答题（21-25题各8分，27-28题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣（6a2b﹣2ab2）÷2b的值，其中a=﹣2，
b=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣（6a2b﹣2ab2）÷2b
=a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣3a2+ab
=﹣a2+3ab，
当a=﹣2，b=时，原式=﹣（﹣2）2+3×（﹣2）×=﹣6．
22．因式分解：
（1）（3x+2y）2﹣y2
（2）4x3+xy2+4x2y．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=（3x+2y+y）（3x+2y﹣y）=3（x+y）（3x+y）；
（2）原式=x（4x2+y2+4xy）=x（2x+y）2．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（5，1）．
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
②在此坐标平面的格点上确定点P，使△BCP是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【考点】作图-轴对称变换；等腰直角三角形．
【分析】①分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，并写出点C1的坐标；
②作出点P，使△BCP是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：C1（﹣5，1）；
（2）P1（4，4），P2（2，0），P3（﹣1，﹣1），P4（3，﹣3）．
24．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，即可求出答案．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD=30°，∠E+∠EDC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠EDC，
∴∠E=30°=∠CBD，
∴BD=DE．
25．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；等边三角形的判定．
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a﹣b=0且b﹣c=0
即a=b=c，故该三角形是等边三角形．
26．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，6），
（﹣2，0），顶点C在x轴的正半轴上，△ABC的高BD交线段OA于点E，E点坐标为（0，1），且D点恰在AB的垂直平分线上．
（1）求D点坐标；
（2）动点P从点O出发沿线段OA以每秒1个单位的速度向终点A运动，动点Q从C出发沿折线C﹣O﹣y轴负方向以每秒4个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，且P点到达A 处时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，是否存在t值，使得△BPQ是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）首先在直角△ABO中利用勾股定理求得AB的长，然后根据△ABO是等腰直角三角形求得AD和BD的长，作DF⊥BC于F，根据△BOE∽△BDF求得DF和OF的长，则D的坐标即可求得；
（2）首先利用待定系数法求得AD的解析式，则C的坐标即可求得，然后分成Q在线段OC 上和在y轴的负半轴两种情况讨论，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）分成对称轴是x轴和y轴两种情况进行讨论，然后根据对称点到对称轴的距离相等即可列方程求解．
【解答】解：（1）∵A、B的坐标分别为（0，6），（﹣2，0），
∴OA=6，OB=2，
∴AB===2，
又∵D在AB的垂直平分线上，AD⊥AC，
∴AD=BD=AB×=2．
在直角△OBE中，BE===，
如图1，作DF⊥BC于F，
∵BD⊥AC，AO⊥BC，
∴△BOE∽△BDF，
∴，即，
∴DF=2，BF=4，即OF=2，
∴D的坐标是（2，2）；
（2）设直线AD的解析式是y=kx+b，则，
解得：，
则直线AD的解析式是y=﹣2x+6，
令y=0，解得x=3，
则C的坐标是（3，0）．
当0≤t≤时，Q在线段OC上，则PB=5﹣4t，OP=t，
则S=PB•OP=t（5﹣4t），即S=﹣2t2+t；
当＜t≤6时，Q在y轴的负半轴上，P在线段OA上，OP=t，OQ=4t﹣3，
则PQ=t+（4t﹣3）=5t﹣3．
则S=PQ•OB=×（5t﹣3）×2=5t﹣3．
（3）当对称轴是y轴时，Q在OC上，此时0≤t≤，OQ=3﹣4t，则OQ=OA，即3﹣4t=2，解得：t=；
当x轴是对称轴时，＜t≤6时，Q在y轴的负半轴上，P在线段OA上，OP=t，OQ=4t﹣3，OP=OQ，则t=4t﹣3，
解得：t=1．
总之，t=或1．
27．如图，等边△ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边△DEF，连接CF，AF．
（1）求证：FE=FC；
（2）当∠DAF=90°，CE=1时，求等边△ABC的边长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）如图1，连接CD，根据等腰三角形的性质得到CD平分∠ACB，∠DCE=∠ACB=30°，【分析】
作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，于是得到∠DCE=30°=∠DFE，证得F为△CDE外接圆圆心，即可得到结论；
（2）如图2，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，借助于平行线分线段成比例定理和全等三角形的判定和性质进行分析求解即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接CD，
∵D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=∠ACB=30°，
作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，
∴∠DCE=30°=∠DFE，
∴F为△CDE外接圆圆心，
∴FE=FC；
（2）解：如图2，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI=BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE=180°，∠BED+60°+∠BDE=180°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△DEB中，，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE=AD=AB=BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D为AB中点，DH∥AI，
∴BH=BI=BC，
BC=CE+HE+BH=1+BC+BC，∴BC=4，
即等边△ABC的边长为4．。