高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 1.4.2 单位圆

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2单位圆与周期性
知识点一正弦函数、余弦函数的定义
[填一填]
1．单位圆
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
2．任意角的正弦函数、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sinα；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cosα.
通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y＝sin x和y＝cos x，它们的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号
象限
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数
sinα＋＋－－
cosα＋－－＋
[答一答]
1．怎样理解正弦函数、余弦函数的定义？
提示：(1)定义中，α是一个任意角，同时它也是一个实数(弧度数)．
(2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即
实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦
实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦
(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．
(4)sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的．
知识点二单位圆与周期性
[填一填]
4．(1)终边相同的角的正、余弦函数
sin(2k π＋x )＝sin x ，k ∈Z . cos(2k π＋x )＝cos x ，k ∈Z . (2)周期函数与周期
一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的周期．
(3)最小正周期
对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作它的最小正周期．
[答一答]
2．怎样理解周期函数的概念？
提示：(1)周期是对定义域中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )或不满足都不能说T 是f (x )的周期．
(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调的是自变量x 本身加的常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是周期，而应写成f (2x ＋T )＝f [2(x ＋T 2)]＝f (2x )，则T
2
是f (2x )的周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期．
例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．
(5)周期函数的周期不只一个，若T 是周期，则kT (k ∈N ＋)一定也是周期．
(6)在周期函数y ＝f (x )中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x ＋kT (k ∈Z ，且k ≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界．
1．对三角函数定义的五点说明
(1)角α的正弦、余弦虽然是用角α终边上一点P的坐标来定义的，但是正弦、余弦的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的大小有关，即由角α的终边的位置决定．
(2)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(3)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．
(4)明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，离开α单独的“sin”“cos”等都无意义．
(5)此处角的概念扩展以后，其三角函数的定义用的是坐标法，这与初中所学的直角三角形中的定义是统一的．
2．三角函数的定义域
(1)三角函数是以角为变量的函数，故从函数的角度，首先研究其定义域，而确定函数的定义域离不开定义．
(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．
3．三角函数在各个象限的符号
三角函数在各个象限内的符号的正负可以这样来概括(这里只包含正弦、余弦)：
“一全正，二正弦，三两负，四余弦”．
(1)“一全正”的意思是：第一象限的角的正弦值、余弦值都是正的；
(2)“二正弦”的意思是：第二象限的角的正弦值是正的，余弦值为负的；
(3)“三两负”的意思是：第三象限的角的正弦值和余弦值是负的；
(4)“四余弦”的意思是：第四象限的角的余弦值为正的，正弦值为负的．
类型一任意角的三角函数的定义
【例1】已知角α的终边在射线y＝4x(x≥0)上，求角α的正弦、余弦值．
【思路探究】解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．
【解】设α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝4x(x>0)．
又∵x 2
＋y 2
＝1，∴⎩⎨
⎧
x ＝17
17
y ＝41717
.
于是sin α＝y ＝41717，cos α＝x ＝17
17
.
规律方法 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝
b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a
a 2＋
b 2
. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α、cos α的值． 解：∵终边在直线y ＝3x 上， ∴终边所处位置有两种情况．
当终边在射线y ＝3x (x ≥0)上时，设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )(x >0)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝3x (x >0)
x 2＋y 2＝1解得⎩⎨⎧
x ＝1
2
y ＝3
2
.
∴sin α＝
32，cos α＝1
2
. 同理，当终边在射线y ＝3x (x ≤0)上时
可得⎩⎨⎧
sin α＝－32cos α＝－1
2
.
类型二 判断三角函数值的符号
【例2】 判断下列各式的符号： (1)sin(－670°)cos1 230°；(2)sin8·cos8. 【思路探究】 判断出相关角的终边所在的象限
→确定三角函数值的符号
→运用积的符号判断
【解】 (1)因为－670°＝－2×360°＋50°， 所以－670°是第一象限角，则sin(－670°)>0. 又1 230°＝3×360°＋150°，
所以1 230°是第二象限角，则cos1 230°<0. 所以sin(－670°)cos1 230°<0.
(2)因为2π＋π
2<8<2π＋π，即8 rad 是第二象限角，则sin8>0，cos8<0，所以sin8·cos8<0.
规律方法 确定正弦函数值、余弦函数值的符号需先确定角的终边所在的象限，再根据正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号进行判断，即“一全正，二正弦，三两负，四余弦”．
判断下列各式的符号： (1)sin2 018°·cos(－2 018°)； (2)sin6·cos6.
解：(1)因为2 018°＝218°＋5×360°，所以2 018°是第三象限角，所以sin2 018°<0. 又－2 018°＝－6×360°＋142°，所以－2 018°是第二象限角，所以cos(－2 018°)<0. 所以sin2 018°·cos(－2 018°)>0.
(2)因为3
2π<6<2π，所以6弧度为第四象限角，所以sin6<0，cos6>0，所以sin6·cos6<0.
【例3】 若sin2α>0，且sin α<0，试确定α所在的象限．
【思路探究】 由sin2α>0，推出α是第一、第三象限角，由sin α<0，推出α是第三、第四象限角或在y 轴的负半轴，从而可确定α在第三象限．
【解】 ∵sin2α>0，∴2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， ∴k π<α<k π＋π
2
(k ∈Z )．
当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 有2m π<α<2m π＋π
2
(m ∈Z )；
当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 有2m π＋π<α<2m π＋3π
2(m ∈Z )．
∴α为第一或第三象限的角．
又由sin α<0，可知α在第三或第四象限，或α终边在y 轴的非正半轴上．综上可知，α在第三象限．
规律方法 对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．
(1)已知点P (sin α，cos α)在第四象限，则角α在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°); ②cos(－220°)； ③cos(－10); ④cosπ. 其中符号为负的有( D ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：(1)因为点P 在第四象限，
所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
sin α>0，cos α<0，由此可判断角α在第二象限．
(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0； －220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10∈(－7
2π，－3π)，在第二象限，
故cos(－10)<0，cosπ＝－1<0.
类型三 利用终边相同的角的公式化简、求值
【例4】 求下列三角函数值． (1)cos(－1 050°)； (2)sin(－31
4π)；
(3)log 2(4sin1 110°)．
【思路探究】 先利用终边相同的角的公式化简，再求值． 【解】 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴角－1 050°与角30°的终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos30°＝
3
2
. (2)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同．∴sin(－314π)＝sin π4＝22.
(3)∵sin1 110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin30°＝12，
∴log 2(4sin1 110°)＝log 2(4×1
2
)＝log 22＝1.
规律方法 解答此类题目的方法是先把已知角借助终边相同的角转化到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中重在体现数学上的转化思想．
计算：sin 25π6＝1
2
.
解析：sin 25π6＝sin(4π＋π6)＝sin π6＝1
2
.
类型四 判断周期函数
【例5】 已知函数f (x )在其定义域上满足f (x ＋2)＝－1
f (x )
，求证：函数f (x )是以4为周期的周期函数．
【思路探究】 证明一个函数是周期函数，只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)即可，同时应注意多次使用所给式子的结构．
【证明】 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1
－1f (x )
＝f (x )，
∴由周期函数定义可知，函数f (x )是以4为周期的周期函数．
规律方法 一般地，如果f (x ＋a )＝－f (x )，那么f (x )的周期为2a (a ≠0)；如果f (x ＋a )＝1f (x )
，那么f (x )的周期也为2a (a ≠0)．
求下列函数的周期： (1)y ＝3cos x ，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .
解：(1)因为3cos(x ＋2π)＝3cos x ，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.
(2)因为sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin2x，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
——易错警示——
三角函数定义中忽视字母的正负致误
【例6】已知角α的终边上有一点P(－t,3t)(t≠ 0)，则cosα＝________.
【错解】－
10 10
【正解】由题意知
r＝OP＝(－t)2＋(3t)2＝10|t|，①
当t>0时，r＝10t，此时cosα＝－t
10t
＝－
10
10，
当t<0时，r＝－10t，此时cosα＝
－t
－10t
＝
10
10，
故cosα＝
10
10或－
10
10.
【错解分析】忽视①处t的正负不确定，误认为t>0而得出r＝10t，从而导致答案
cosα＝－
10
10的错误．
【答案】
10
10或－
10
10
【防范措施】分类讨论思想的应用
在含有字母的式子的化简和运算过程中一定要细心计算，且化简时会用到分类讨论思想．如本例中计算r时，有r＝10t2，要先对t的正负分类讨论再解．
已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求sin α＋cos α的值． 解析：角α的终边在直线y ＝－3x 上，令x ＝m ，y ＝－3m (m ≠0)，即P (m ，－3m )，∴r ＝m 2＋(－3m )2＝2|m |. ①当m >0时，r ＝2m .
∴sin α＝y r ＝－3m 2m ＝－32，cos α＝x r ＝m 2m ＝12
. ∴sin α＋cos α＝1－32
. ②当m <0时，r ＝－2m .
∴sin α＝y r ＝－3m －2m ＝32，cos α＝x r ＝m －2m ＝－12
. ∴sin α＋cos α＝3－12
. 综上，sin α＋cos α＝±3－12
.
一、选择题
1．已知P (1，－5)是角α终边上一点，则sin α＝( C )
A ．1
B ．－5
C ．－526
26 D ．2626
解析：∵x ＝1，y ＝－5，∴r ＝26.
∴sin α＝y r ＝－526
26. 2．若sin α·cos α<0，则α的终边落在( D )
A ．第一或第二象限
B ．第一或第三象限
C ．第一或第四象限
D ．第二或第四象限
解析：∵sin α·cos α<0，∴sin α与cos α异号，∴α的终边落在第二或第四象限．
3．在△ABC 中，下列结论正确的是( A )
A ．若A 为锐角，则sin A >0
B ．若sin A >0，则A 为锐角
C ．A 为锐角⇔sin A >0
D ．“A 为锐角”与“cos A >0”不能互推
解析：A 为锐角时，一定有sin A >0，sin A >0时，A 不一定为锐角，A 还可以是直角或钝角．
二、填空题
4．已知角α的终边经过P (32，12)，则sin α＝12，cos α＝32
. 解析：点P 到原点的距离r ＝
(32)2＋(12)2＝1即P 在单位圆上，由正弦函数、余弦函数定义可得sin α＝12，cos α＝32
. 5．sin420°cos750°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝1.
解析：原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)·cos(－720°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°·cos60°＝
32×32＋12×12
＝1. 三、解答题
6．如图，已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的正弦、余弦值．
解：过P 作PM 垂直于x 轴，则在Rt △OMP 中，
|OP |＝22＋(－3)2＝13，
|MP ||OP |＝313＝31313，|OM ||OP |＝213＝21313，又因为角α的终边即OP 在第四象限，所以sin α<0，cos α>0，
所以sin α＝－|MP ||OP |＝－31313，cos α＝|OM ||OP |＝21313
.。