基本不等式ppt课件

梳理 (1)重要不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立. (2)基本不等式
a＋b ①定理 2：如果 a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立 .
②定理2的应用：对两个正实数x，y， (ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最大 值； (ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
题型探究
类型一 不等式的证明 例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明
跟踪训练1 已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
解答
(2)若 x＜0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最大值. 解 ∵x＜0，∴－x＞0, 故 f(x)＝－－12x＋3－x≤－2 36＝－12， 当且仅当－1x2＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立， ∴f(x)的最大值是－12.
解答
跟踪训练 2 若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为
证明
类型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)设 x＞0，y＞0 且 2x＋y＝1，求1x＋2y的最小值； 解 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋yx≥4＋2 4yx·xy＝4＋4＝8， 当且仅当4yx＝yx，即 x＝14，y＝12时，等号成立， ∴1x＋2y的最小值是 8.
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析 答案
2、下列说法中，正确的个数是（ ）
①函数 y x 1 的最小值是2
x
②函数
y
cosx
9
cosx
π （x∈ (0, 2)）的最小值为6
③若正数a，b满足2a+b=2，则ab的最大值为
1 2
A、0 B、1 C、2 D、3
1.对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结 论，可使应用更加灵活快捷.
因为 ( p 1)2≥16，所以p≥9
跟踪训练3 已知x>0,y>0且满足x+y=6，则使不等式 1 9 ≥m恒成立的 xy
实数m的取值范围（ ）
因为x>0,y>0
1 9 x y ( 1 9 ) 1 (10 y 9x )
xy
6 xy 6
xy
≥ 1 (10 6) 8
6
3
y 9x
当且仅当 x y 时等号成立，又x+y=6，x>0,y>0,
得x 3,y 9 22
所以m的取值范围为m≤ 8 3
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
本课结束
学习目标
1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2). 2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个 不等式证明一些简单的不等式.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 基本不等式
思考 回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件. 答案 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.
A. 2
B.2
√C.2 2
D.4
解析 因为1a＋2b＝ ab，所以 a＞0，b＞0，
因为 ab＝1a＋2b≥2 1a×2b＝2 a2b，
所以 ab≥2 2(当且仅当 b＝2a 时取等号)，所以 ab 的最小值为 2 2.
解析 答案
类型三 利用基本不等式解决恒成立问题
例3
对于x∈
(0,π2 ），不等式
1 six 2x
p cos2 x
≥16恒成立，则p的取值范
围为（
）
1
p
1
p
six 2x cos2 x =（ six 2x cos2 x ）（sin2 x cos2 x ）
cos2 x p sin2 x =1+p+ sin2 x cos2 x ≥1+p+2 p = ( p 1)2
当且仅当 p sin2 x cos2 x 时，等号成立
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2.
a＋b
a2＋b2
(2) ab≤ 2 ≤
2 (a，b∈R＋).
(3)ba＋ab≥2(a，b 同号).
(4)(a＋b)1a＋b1≥4(a，b∈R＋).
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
规律与方法
2.利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和 式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出 使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.