[精品]2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3椭圆及其性质练习文

§9.3椭圆及其性质
考纲解读
分析解读
从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.
(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.
(ii)由a=2c,可得b=c,
故椭圆方程可以表示为+=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为+=1.
五年高考
考点一椭圆的定义及其标准方程
1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2
B.3
C.4
D.9
答案 B
2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B 两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
答案 A
3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN
的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案12
4.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(x B,y B),由方程组消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.
由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.
由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=.
因此直线MH的方程为y=-x+.
设M(x M,y M),由方程组消去y,
解得x M=.
在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.
所以,直线l的斜率为-或.
5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;
(2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.
解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此
2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.
故所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)如图,连接QF1,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得
|QF1|==|PF1|.
由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而
|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.
于是(1+λ+)|PF1|=4a,
解得|PF1|=,
故|PF2|=2a-|PF1|=.
由勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,
从而+=4c2,
两边除以4a2,得
+=e2.
若记t=1+λ+,则上式变成
e2==8+.
由≤λ<,并注意到t=1+λ+关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而<e2≤,即<e≤.
6.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
(i)求λ的值;
(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.
解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c.
又因为B(0,b),F(-c,0),
故直线BF的斜率k===2.
(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).
(i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得
3x2+5cx=0,解得x P=-.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.
又因为λ=,及x M=0,可得λ===.
(ii)由(i)有=,所以==,
即|PQ|=|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=.
又因为y P=2x P+2c=-c,
所以|BP|==c,
因此c=,得c=1.
所以,椭圆方程为+=1.
7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.
解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.
所以椭圆的离心率e=.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).
由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有
x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上,
故+=1.②
由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-c,代入①得y0=,
即点P的坐标为.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,
整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.
所以直线l的斜率为4+或4-.
教师用书专用(8—10)
8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
答案 D
9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边
形OPTQ的面积.
解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=.
又由a2=b2+c2,解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联
立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
因为四边形OPTQ是平行四边形,
所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以解得m=±1.
此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|
=2=2.
10.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.
解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐
标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=,由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,
即S有最小值,因此点P的坐标为(,).
(2)设C的标准方程为+=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由
得b2x2+4x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此
由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=·.
由点P到直线l的距离为及S△PAB=×|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而
所求C的方程为+=1.
考点二椭圆的几何性质
1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( )
A. B. C. D.
答案 B
2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0,]∪[4,+∞)
答案 A
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P 为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
答案 B
6.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.
答案
7.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.
解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,
又k OM=,从而=.
进而a=b,c==2b.故e==.
(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=.
又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).
由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.
8.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a,①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2.
教师用书专用(9—14)
9.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
11.(2013四川,9,5分)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
答案 C
12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B 与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于.
答案
13.(2013福建,15,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.
答案-1
14.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
解析(1)由题意得c=,∵e==,∴a=3,
∴b==2,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,
则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,
由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,
∴k1k2=(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,
∴=-1,
∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.
当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P 点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.
综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.
考点三直线与椭圆的位置关系
1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与
△BDN的面积之比为4∶5.
解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
由题意得
解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m).
直线BN的方程为y=(x-2).
联立
解得点E的纵坐标y E=-.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.
所以y E=-n.
又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,
S△BDN=|BD|·|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E 上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.
解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)
将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(4分)
(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·(-2)=得x1=,
故|AM|=|x1+2|=.
由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),
故同理可得|AN|=.(7分)
由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.
又f()=15-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2.(12分)
3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点
P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
解析(1)由已知得,a=2b.
又椭圆+=1(a>b>0)过点P,
故+=1,
解得b2=1.
所以椭圆E的方程是+y2=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.
由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以M点坐标为,直线OM的方程为y=-x,
由方程组得C,D.
所以|MC|·|MD|=(-m+)·(+m)=(2-m2).
又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2),
所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
4.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE 与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
解析(1)椭圆C的标准方程为+y2=1.
所以a=,b=1,c=.
所以椭圆C的离心率e==.
(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,
所以可设A(1,y1),B(1,-y1).
直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).
令x=3,得M(3,2-y1).
所以直线BM的斜率k BM==1.
(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知k BM=1.
又因为直线DE的斜率k DE==1,所以BM∥DE.
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).
令x=3,得点M.
由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
直线BM 的斜率k BM =.
因为k BM -1=
=
121221(-1)[-2()-3]
(3-)(-2)
k x x x x x x ++
=
=0,
所以k BM =1=k DE . 所以BM∥DE.
综上可知,直线BM 与直线DE 平行.
5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C 1:x 2
=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2
.过点F 的直线l 与C 1相交于A,B 两点,与C 2相交于C,D 两点,且
与
同向.
(1)求C 2的方程;
(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.
解析 (1)由C 1:x 2
=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2
-b 2
=1.① 又C 1与C 2的公共弦的长为2
,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2
=4y,
由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为,
所以+=1.②
联立①,②得a 2=9,b 2
=8.故C 2的方程为+=1. (2)如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4). 因
与
同向,且|AC|=|BD|,所以
=
,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=(x 3+x 4)2
-4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k,则l 的方程为y=kx+1.
由得x 2
-4kx-4=0.
而x 1,x 2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤
将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,
即16(k2+1)=,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.
6.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程.
解析(1)由题设知
解得a=2,b=,c=1,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,
∴圆心到直线l的距离d=,由d<1得|m|<.(*)
∴|CD|=2=2=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-mx+m2-3=0,
由根与系数关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.
∴|A B|==.
由=得=1,
解得m=±,满足(*).
∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.
教师用书专用(7—10)
7.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
解析(1)因为焦距为4,所以a2-b2=4.又因为椭圆C过点P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4,从而椭圆C的方程为
+=1.
(2)由题意,得E点坐标为(x0,0),设D(x D,0),则=(x0,-2),=(x D,-2),
再由AD⊥AE知,·=0,
即x0x D+8=0.
由于x0y0≠0,故x D=-.
因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G.
故直线QG的斜率k QG==.
又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以
+2=8.①
从而k QG=-.
故直线QG的方程为
y=-.②
将②代入椭圆C的方程,得
(+2)x2-16x0x+64-16=0.③
再将①代入③,化简得x2-2x0x+=0.
解得x=x0,所以y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.
解析(1)设M到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|MN|.
由此得|4-x|=2,化简得+=1,
所以动点M的轨迹方程为+=1.
(2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=-, ①
x1x2=. ②
又因A是PB的中点,故x2=2x1, ③
将③代入①,②得x1=-,=,
可得=,且k2>,
解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或.
解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
∵A是PB的中点,
∴x1=, ①
y1=. ②
又+=1, ③
+=1, ④
联立①,②,③,④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),
所以直线m的斜率为-或.
9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1.从而e2+=1.
由e=得b2==8,从而a2==16.
故该椭圆的标准方程为+=1.
(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则
|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).
设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当
x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由对称性知P'(x1,-y1),故|PP'|=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|
==.
当x0=±时,△PP'Q的面积S取到最大值2.
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,
(x-)2+y2=6.
10.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设=t,求实数t的值.
解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得a=,b=1.
因此椭圆C的方程为+y2=1.
(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知-<m<0或0<m<.
将x=m代入椭圆方程+y2=1,
得|y|=.
所以S△AOB=|m|=.
解得m2=或m2=.①
又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0),
因为P为椭圆C上一点,所以=1.②
由①②得t2=4或t2=,
又因为t>0,所以t=2或t=.
(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,
设直线AB的方程为y=kx+h.
将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由判别式Δ>0可得1+2k2>h2,
此时x1+x2=-,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2h=,
所以|AB|=
=2.
因为点O到直线AB的距离d=,
所以S△AOB=|AB|d
=×2·
=|h|.
又S△AOB=,所以|h|=.③
令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0,
解得n=4h2或n=h2,
即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④
又=t=t(+)=t(x1+x2 ,y1+y2)=, 因为P为椭圆C上一点,
所以t2=1,
即t2=1.⑤
将④代入⑤得t2=4或t2=,
又知t>0,
故t=2或t=,
经检验,适合题意.
综合(i)(ii),得t=2或t=.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一椭圆的定义及其标准方程
1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
答案 C
2.(2018广东惠州二调,10)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
答案 C
4.(2017河南三市联考,5)“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
5.(2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
答案 A
6.(2016河南八市重点中学联考,14)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则= .
答案
考点二椭圆的几何性质
7.(2018黑龙江哈六中12月模拟,9)椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.-1
答案 D
8.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 B
9.(2017黑龙江哈六中模拟,13)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为.
答案
考点三直线与椭圆的位置关系
10.(2018河南开封调研,10)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),
则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
答案 C
11.(2016天津和平调研考试,13)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.
答案
12.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点,离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设点A、F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).
解析(1)由题设得:解得
∴椭圆方程为+=1.
(2)设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程+=1联立得(3k2+4)y2+6ky-9=0.
设C(x1,y1),D(x2,y2),
∴y1+y2=- ,y1y2=-,
∴S四边形OCAD=S△OCA+S△ODA=×2×|y1|+×2×|y2|=|y1-y2|
====,
其中t=,t≥1.
∵t≥1,∴f(t)=3t+单调递增,∴3t+≥4,
∴S四边形OCAD≤3(当且仅当k=0时取等号).
故四边形OCAD的面积的最大值为3.
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:75分时间:60分钟)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2018贵州贵阳摸底测试,12)P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离心率e2为( )
A. B. C. D.
答案 B
3.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为.
答案+=1
5.(2017广东五校联考,16)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1、F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范
围是.
答案[2,2)
6.(2016湖南长沙一中月考,15)如图,∠OFB=,△ABF的面积为2-,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为.
答案+=1
三、解答题(每小题15分,共45分)
7.(2018河南新乡一模,20)已知直线l:y=2x-2与椭圆Ω:+=1(m≠0)交于A,B两点.
(1)求Ω的离心率;
(2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点,求Ω的方程及圆C的标准方程.
解析(1)e====.
(2)由得17x2-32x+16-4m2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(-32)2-68(16-4m2)>0,
x1+x2=,x1x2=.
由已知得·=x1x2+y1y2=x1x2+4(x1-1)(x2-1)=5x1x2-4(x1+x2)+4=0,
即5·-4·+4=0,∴m2=1,且满足Δ>0.
故Ω的方程为+y2=1.
设圆C的圆心为(x0,y0),
则x0==,y0=2(x0-1)=-.
|AB|=·=.
故圆C的标准方程为+=.
8.(2018四川成都一模,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴长度之比等于2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.
解析(1)∵c=,=2,a2=b2+c2,
∴a=2,b=1.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)易知当直线l的斜率为0时,不合题意.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,
设M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去x可得(4+m2)y2+2my-3=0.
∴Δ=16m2+48>0,y1+y2=,y1y2=.
∵点B在以MN为直径的圆上,
∴·=0.
∴·=(my1+1,y1-1)·(my2+1,y2-1)
=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0,
∴(m2+1)·+(m-1)·+2=0.
整理,得3m2-2m-5=0,解得m=-1或m=.
∴直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0.
9.(2017湖南六校联盟联考,20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,点F1,F2是椭圆E的左、右焦点,过F1的直线与椭圆E交于A,B两点,且△F2AB的周长为8.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)动点M在椭圆E上,动点N在直线l:y=2上,若OM⊥ON,探究原点O到直线MN的距离是否为定值,并说明理由. 解析(1)由题意得解得a=2,b=,
所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)设原点O到直线l的距离为d.
①若直线ON的斜率不存在,
则|ON|=2,|OM|=2,所以|MN|=4,d==.
②若直线ON的斜率存在,设直线OM的方程为y=kx(k≠0),
代入+=1得x2=,
∴y2=,
易知直线ON的方程为y=-x,代入y=2,
得N(-2k,2),
|MN|2=|ON|2+|OM|2=(-2k)2+(2)2+=,
则|MN|·d=|OM|·|ON|⇒d2==3,则d=.
综上所述,原点O到直线MN的距离为定值.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 求椭圆标准方程的方法
1.(2017河北衡水六调,8)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )
A.+=1
B.-=1
C.-=1
D.+=1
答案 D
2.(2016河南三市调研,8)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且与抛物线y2=x交于A、B两点,若△OAB(O为坐标原点)的面积为2,则椭圆C的方程为( )
A.+=1
B.+y2=1
C.+=1
D.+=1
答案 A
方法2 求椭圆的离心率(范围)的方法
3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使k MH k NH∈,则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案 A
4.(2018湖北武汉部分重点中学调研,11)已知A,B分别为椭圆+=1(0<b<3)的左、右顶点,P,Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点,设直线AP,BQ的斜率分别为m,n,若点A到直线y=x的距离为1,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.
答案 B
5.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,9)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B 和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
6.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为.
答案
方法3 与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法
7.(2016河北唐山统考,11)平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2=( )
A. B.- C.- D.-2
答案 B
8.(2018湖北重点中学12月联考,21)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线x=c交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.
(1)求椭圆E的标准方程与离心率;
(2)若直线l与椭圆E交于C、D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.
解析(1)由题知解得
∴椭圆E的标准方程为+=1,离心率e==.
(2)易知直线l的斜率存在,设为k,
设C(x1,y1),D(x2,y2),则
∴+=0,
∴+=0,
又P(2,2)是线段CD的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,
∴k==-,
故直线l的方程为y-2=-(x-2),化为一般形式即3x+4y-14=0.
9.(2017广东七校第二次联考,20)已知圆E:x2+=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C
在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且=λ(λ≠0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程.
解析(1)∵圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2,
∴c2+=,解得c=.
∵F1,E,A三点共线,∴AF1为圆E的直径.
∴AF2⊥F1F2,∴|AF2|2=|AF1|2-|F1F2|2=9-8=1,
∴2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2.
由a2=b2+c2,得b=,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)可得,点A的坐标为(,1),
由题意知直线l的斜率为,设直线l的方程为y=x+m,
联立得
整理得x2+mx+m2-2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由Δ=(m)2-4(m2-2)>0,得-2<m<2.
∵
∴|MN|=·=.
又点A到直线l的距离d==|m|,
∴S△AMN=|MN|d=·|m|
=≤·=,
当且仅当4-m2=m2,即m=±时,等号成立.
∴当△AMN的面积取最大值时,直线l的方程为y=x+或y=x-.。