四川省成都七中2018-2019学年高二(下)入学数学试卷(文科)(2月份)-解析版

2018-2019学年四川省成都七中高二（下）入学数学试卷（文科）（2
月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.抛物线y2=4x的准线方程是()
A. x=−1
B. x=1
C. x=−2
D. x=2
【答案】A
【解析】解：根据题意，抛物线的方程为y2=4x，
其开口向右，且p=2，
则其准线方程为：x=−1；
故选：A．
根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的开口方向与p的值，进而由抛物线的准线方程计算即可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线标准方程的形式．
2.双曲线x2
4−y2
12
=1的焦距为()
A. 4
B. 8
C. 2√2
D. 2√3【答案】B
【解析】解：由双曲线x2
4−y2
12
=1，可得c=√4+12=4，故其焦距2c=8．
故选：B．
利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
3.过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是()
A. 3x−y−5=0
B. 3x+y−7=0
C. x+3y−5=0
D. x−3y+5=0【答案】A
【解析】解：∵过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5
截得的弦长最大的直线方程经过圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1,−2)的直线，
∴其方程为：y+2
x−1=1+2
2−1
，
整理，得3x−y−5=0．
故选：A．
过点(2,1)的直线中被圆(x−1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，由此能求出结果．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．
4.已知p：“a=√2”，q：“直线x+y=0与圆x2+(y−a)2=1相切”，则p是q的()
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】解：当a=√2时，圆的方程为：x2+(y−√2)2=1，
则圆心坐标为(0,√2)，半径r=1，
所以圆心到直线x+y=0的距离d=√2|
√2=1=r，
则直线与圆的位置关系是相切；
而当直线与圆的位置关系相切时，圆心坐标为(0,a)，半径r=1，
则圆心到直线AB的距离d=
√2
=1，解得a=±√2，
所以p是q的充分非必要条件．
故选：A．
当a等于√2时，把a的值代入圆的方程中，找出圆心坐标和圆的半径，根据点到直线的距离公式求出圆心
到直线x+y=0的距离d，发现d等于圆的半径r，进而得到直线与圆的位置关系是相切；而当直线x+y=0
与圆相切时，由圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d，
让d等于圆的半径1列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值为两个值，综上，得到p是q的充
分非必要条件．
此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握必要、充分
及充要条件的判断方法，是一道中档题．
5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图
所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为x−A，x−B，A、B两班学生成绩的方差分别为S A2，
S B2，则观察茎叶图可知()
A. x−A<x−B，S A2<S B2
B. x−A>x−B，S A2<S B2
C. x−A<x−B，S A2>S B2
D. x−A>x−B，S A2>S B2
【答案】B
【解析】解：A班学生的分数多集中在[70,80]之间，B班学生的分数集中在[50,70]之间，故x−A>x−B；
相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2<S B2，
故选：B．
观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．
本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题．
6.某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参
其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的3
5
，为了了解学生对本次活动的满意程度，
现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取()
A. 6人
B. 12人
C. 18人
D. 24人
【答案】B
【解析】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为100×2
5
=40人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取
的人数为40×3
10
=12人．
故选：B．
先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数．
本题主要考查了分成抽样，分层抽样又称按比例抽样，是高考中常见的题型，同时考查了分析问题、解决
问题的能力，属于基础题．
7.在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“sinx≤0”发生的概率为()
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
【答案】C
【解析】解：解三角不等式sinx≤0(x∈[0,2π]，得：π≤x≤2π，
由几何概型中的线段型可得：
事件“sinx≤0”发生的概率为2π−π
2π−0=1
2
，
故选：C．
由三角不等式的解法得：π≤x≤2π，由几何概型中的线段型得：事件“sinx≤0”发生的概率为2π−π
2π−0=1
2
，
得解．
本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题．
8.如图程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(
)
A. A>1000和n=n+1
B. A>1000和n=n+2
C. A≤1000和n=n+1
D. A≤1000和n=n+2
【答案】D
【解析】解：因为要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“”内不能输入“A>1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．
本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
9.双曲线x2
9−y2
16
=1的左顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l，则点A
到直线l的距离为()
A. 8
15B. 32
5
C. 32
15
D. 8
5
【答案】B
【解析】解：双曲线x2
9−y2
16
=1的a=3，b=4，c=√9+16=5，
可得A(−3,0)，F(5,0)，
双曲线的渐近线方程为y=±4
3x，
可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为y=4
3
(x−5)，
即4x−3y−20=0，
则A到直线l的距离为d=
√16+9
=32
5
．
故选：B．
求得双曲线的a，b，c，求得A，F的坐标和渐近线方程，设出过F于渐近线平行的直线，运用点到直线的
距离公式，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础
题．
10.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次
反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离
心率e为()
A. 2
3
B. 3
4
C. 3
5
D. 5
7
【答案】D
【解析】解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a−c)；
(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2(a+c)；
(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，
经F1反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a−c)．
∴由题意可得4a=7×2(a−c)，即5a=7c，得c
a
=5
7
．
∴椭圆的离心率为5
7
．
故选：D．
利用椭圆的性质可得4a=7×2(a−c)，由此即可求得椭圆的离心率．
本题考查了椭圆的定义及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.已知点E是抛物线C：y2=2px(P>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物
线C上，在△EFP中，若sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，则μ的最大值为()
A. √2
2
B. √3
2
C. √2
D. √3
【答案】C
【解析】解：过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H，
则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，由sin∠EFP=μ⋅sin∠FEP，
则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|=μ|PF|，
∴|PE|=μ|PH|，
设PE的倾斜角为α，则cosα=PH PE=1μ，
当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM与抛物线相切，
设直线PM的方程为x=ty−p
2
，则，
即y 2−2pty +p 2=0， ∴△=4p 2t 2−4p 2=0，
∴k =1，即tanα=1，则cosα=√2
2，
则μ的最大值为√2， 故选：C ．
设PE 的倾斜角为α，则cosα=PH
PE =1
μ，当μ取得最大值时，cosα最小，此时直线PM 与抛物线相切，将直线方程代入抛物线方程，△=0，求得k 的值，即可求得λ的最大值．
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查正弦定理，考查直线与抛物线相切，考查计算能力，属于中档题．
12. 已知椭圆M ：
x 2a 2
+y 2=1，圆C ：x 2+y 2=6−a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜
率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取值范围为( )
A. (1,6)
B. (1,5)
C. (3,6)
D. (3,5)
【答案】D
【解析】解：设P(x 0,y 0)， 由椭圆M ：
x 2a
2+y 2=1
，圆C ：x 2+y 2=6−a 2在第一象限有公共点P ， 当焦点在x 轴时，即a >1时，
则{√6−a 2<a
√6−a 2>1
，解得：3<a 2<5， 当焦点在y 轴，即0<a <1时，显然圆与椭圆无交点，
圆x 2+y 2=6−a 2在P 点的切线方程为x 0x +y 0y =6−a 2，则切线斜率k 1=−x
y 0，
椭圆M ：
x 2
a 2
+y 2=1在P 点的切线方程为x 0x a 2+y 0y =1，则切线斜率k 2=−x
0y 0a 2， 则k
1
k 2
=a 2， ∴
k 1k 2
的取值范围(3,5)，
故选：D ．
由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，则{√6−a 2<a √6−a 2>1
，求得3<a 2<5，根据椭圆及圆的切线方程，求得切线的斜率，即可求得k 1k 2
=a 2，求得k
1
k 2
的取值范围．
本题考查椭圆及圆的切线方程，考查圆与椭圆的交点问题，考查计算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若椭圆
x 236
+y 2
16=1的焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 上任意一点，则|PF 1|+|PF 2|=______．
【答案】12 【解析】解：椭圆
x 2
36
+y 2
16=1的焦点分别是F 1，F 2，点P 是C 上任意一点， ∴a =6．
则|PF 1|+|PF 2|=2a =12．
故答案为：12．
利用椭圆的定义即可得出．
本题考查了椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽为______
米.
【答案】2√6
【解析】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ， 将A(2,−2)代入x 2=my ， 得m =−2
∴x 2=−2y ，代入B(x 0,−3)得x 0=√6， 故水面宽为2√6m.故答案为：2√6．
先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y =−3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．
本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
15. 设双曲线
y 2a
2−
x 2b 2
=1(a,b >0)的一条渐近线为y =−2x ，
且一个焦点与抛物线x 2=4√10y 的焦点相同，则此双曲线的标准方程为______． 【答案】
y 28
−
x 22
=1
【解析】解：双曲线y 2a
2−
x 2b 2
=1(a,b >0)的渐近线方程为y =±a
b x ，
由题意可得a
b =2，
抛物线x 2=4√10y 的焦点为(0,√10)，
可得a 2+b 2=c 2=10， 解得a =2√2，b =√2， 则双曲线的方程为y 28
−
x 22
=1．
故答案为：
y 28
−
x 22
=1．
求得双曲线的渐近线方程，可得a =2b ，求得抛物线的焦点，可得a 2+b 2=c 2=10，解方程可得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16. 已知直线l 过椭圆C ：x 2
2
+y 2=1的左焦点F 且交椭圆C 于A 、
B 两点，O 为坐标原点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，过点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ，则点H 为______． 【答案】(−2
3,√2
3)，或(−2
3,−√23)
【解析】解：由椭圆C ：
x 22
+y 2=1，可得F(−1,0)，
①若直线l 无斜率，直线l 方程为x =−1，此时A(−1,√2
2)，B(−1,−√
2
2
)，
∴k OA =−
√2
2
，k OB =
√2
2
，∴k OA ⋅k OB =−1
2.不符合题意．
②若直线l 有斜率，设直线l 的方程为y =k(x +1)，
联立方程组{x 2+2y 2=2y=k(x+1)
，消元得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2=
2k 2−21+2k
2
，x 1+x 2=−4k 21+2k 2
，
∴y 1y 2=k 2(x 1+1)(x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]， ∴k OA ⋅k OB =y 1x 1
⋅y
2x 2
=−1，
∴(k 2+1)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0， ∴(k 2
+1)
2k 2−21+2k
2−
4k 21+2k
2⋅k 2+k 2=0
， 化为：k 2=2．
解得k =±√2．
∴直线l 的方程为√2x −y +√2=0，或√2x +y +√2=0， 经过O 且与直线l 垂直的直线方程为：y =√2 联立{
√2x −y +√2=0y =√
2，{√2x +y +√2=0
y =√
2． 解得H(−23
,√2
3
)，或(−23
,−√2
3
)． 故答案为：(−2
3,√2
3)，或(−2
3,−√2
3
)．
对直线l 的斜率分类讨论，可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，结合斜率计算公式，利用数量积运算性质
可得直线l 的斜率，进而得出答案．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 命题p ：方程
x 2m+2+y 24−m =1表示椭圆；命题q ：双曲线C ：x 2m 2−
y 24
=l(m >0)的虚轴长于实轴．
(1)当简单命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；
(2)当复合命题“p ∧q ”为真命题时，求实数m 的取值范围．
【答案】解：(1)若p 是真命题，则{m +2>04−m >0m +2≠4−m ，得{m >−2
m <4m ≠1，得−2<m <4且m ≠1，
即实数m 的取值范围是−2<m <4且m ≠1．
(2)当q 是真命题时，4>2m >0，得0<m <2，
若“p ∧q ”为真命题，则p ，q 同时为真命题，即{−2<m <4且m ≠10<m<2
得0<m <2且m ≠1
【解析】(1)根据椭圆方程的特点进行求解即可
(2)求出命题p ，q 为真命题的等价条件进行求解即可
本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p ，q 为真命题的等价条件是解决本题的关键．
18. 过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角为45∘的直线，交抛物线于A 、B 两点.求：
(1)被抛物线截得的弦长|AB|；
(2)线段AB 的中点到直线x +2=0的距离．
【答案】解：(1)抛物线y 2=8x ，焦点为(2,0)，x =−2，
∴直线l 方程为y =x −2， 直线AB 即为x +y −2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
{y 2=8x y=x−2
：整理得：x 2−12x +4=0
由韦达定理可知：x 1+x 2=12，x 1x 2=4，
弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√122−4×4=16， 被抛物线截得的弦长|AB|=16； 中点(x,y)满足：x =
x 1+x 22
=6，y =6−2=4，
∴：AB 的中点为(6,4)，
到直线x +2=0，即抛物线的准线x =−2的距离为6−(−2)=8 ∴线段AB 的中点到直线x +2=0的距离为8．
【解析】(1)由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，由直线的倾斜角为45∘，则直线的斜率k =1，求得直
线AB 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2=12，x 1x 2=4，由弦长公式可知|AB|=√1+k 2⋅
√(x 1+x 2)2−4x 1x 2；
(2)由中点坐标公式求得线段AB 的中点坐标，由抛物线的定义，即可求得中点到直线x +2=0的距离． 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
19. 2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台SCTV −4“新闻现场”播报，近日四川省人民医
院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6
20该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^
=b ^
x +a ^
；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ (参考公式：b ̂
=
∑(n i=1x i −x −
)(y i −y −
)
∑(n i=1x i −x −)
2=
∑x i n i=1y i −nxy
−
∑x i 2n i=1−nx
−
2，a ̂
=y −−b ̂
x −)
【答案】解：(1)由表中2月至5月份的数据， 得x −
=1
4(11+13+12+8)=
444
=11，y −
=14(25+29+26+16)=
964
=24，
故有∑(5i=2x i −x −
)(y i −y −
)=0×1+2×5+1×2+(−3)×(−8)=36，
∑(5i=2
x i −x −)2
=02+22+12+(−3)2=14， 由参考公式得b ̂
=87
，由a ̂
=y −−b ̂
x −得a ̂
=−307，
即y 关于x 的线性回归方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
=87x −307．
(2)由1月份数据得当x =10时，y ̂
=87×10−307=1507． |
1507
−22|=4
7<2，
由6月份数据得当x =6时，y ̂
=87×6−307=787．
|
787
−22|=6
7<2，
则该小组所得线性回归方程是理想的．
【解析】(1)根据数据求出x −
，y −
以及b ^
，a ^
的值，即可求出y 关于x 的线性回归方程y ^
=bx +a ； (2)分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．
本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出x −
，y −
以及b ^
，a ^
的值是解决本题的关键.考查学生的运算能力．
20. 已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2，点P 坐标为(2,−1)，过点P 作圆C 的切线，切点为A ，B ．
(1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆的切线长； (3)求直线AB 的方程． 【答案】解：(1)设切线的斜率为k ， ∵切线过点P(2,−1)，
∴切线方程为：y +1=k(x −2)即：kx −y −2k −1=0，
又圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2的圆心坐标为(1,2)，半径为√2， 由点到直线的距离公式，得：√2=
√k 2+(−1)2
，
解得：k =7或k =−1，
则所求的切线方程为：x +y −1=0和7x −y −15=0． (2)圆心C 到P 的距离为：√(2−1)2+(−1−2)2=√10． ∴切线长为：√(√10)2−(√2)2=2√2．
(3)以P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为：(x −2)2+(y +1)2=8…① 由圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2，…②
②−①可得AB 的方程：(x −1)2+(y −2)2−(x −2)2−(y +1)2=−6， 可得x −3y +3=0．
【解析】(1)设切线方程斜率为k ，由切线过点P ，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C 坐标与半径r ，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，即可确定出切线方程．
(2)通过p 到圆心C 的距离、圆的半径以及切线长满足勾股定理，求出切线长即可． (3)利用(2)写出圆心为P 的圆的方程，通过圆系方程写出公共弦方程即可．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标
准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
21. 某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n 人，回答问题“本区内著名旅游景点
有哪些”，统计结果如图表所示：
(2)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数．
(3)若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
【答案】解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为9
0.36=25， 再结合频率分布直方图可知n =25
0.025×10=100，…(1分) a =100×(0.010×10)×0.5=5，
b =100×(0.030×10)×9=27，…(2分) x =18
100×(0.020×10)=0.9，…(3分) y =
3
100×(0.015×10)
=0.2.…(4分)
(2)设中位数为x ，由频率分布直方图可知x ∈[35,45)， 且有0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=05， 解得x ≈41.67，…(6分)
故估计这组数据的中位数为41.67， 估计这组数据的平均数为：
x −
=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5.…(8分)
(3)由(1)知a =5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性， 男性分别记为a ，b ，c ，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，
共有：(a,b)，(a,c)，(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(1,2)，(b,c)10个基本事件， 记“至少抽中一名女性”为事件A ，
共有(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(1,2)7个基本事件， ∴至少抽中一名女性的概率p =7
10．
【解析】(1)由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n =100，由此有求出a ，b ，x ，y ．
(2)设中位数为x ，由频率分布直方图可知x ∈[35,45)，且有0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=05，得x ≈41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数．
(3)第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a ，b ，c ，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．
本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．
22. 已知椭圆C ：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P(1,3
2)，两个焦点分别为F 1，F 2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为3√2
7
，求以F 2为圆心且与直线l
相切的圆的方程． 【答案】解：
(Ⅰ)∵椭圆C ：x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的离心率为12，
且经过点P(1,3
2)，两个焦点分别为F 1，F 2． ∴c
a =1
2，a =2c ，∴a 2=4c 2，b 2=3c 2， 将点P(1,3
2)的坐标代入椭圆方程得c 2=1， 故所求椭圆方程为
x 24
+
y 23
=1.…(6分)
(Ⅱ)设直线l 的方程为x =ty −1，代入椭圆方程得(4+3t 2)y 2−6ty −9=0，
判别式大于0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，
则有y 1+y 2=6t
4+3t 2，y 1y 2=−9
4+3t 2，r 0=3√2
7
∴S △AF 2B =S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=12
|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12
|F 1F 2|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=
12√t 2+14+3t 2
，
而S △AF 2B =12|AB|r 0+12|BF 2|r 0+12|AF 2|r 0=1
2r 0(|AB|+|BF 2|+|AF 2|)
=12r 0(|AF 1|+|BF 1|+|BF 2|+|AF 2|)=1
2
r 0⋅4a =1
2×8×3√2
7
=
12√27
，
∴
12√t 2+14+3t 2=
12√2
7
，解得t 2=1，
∵所求圆与直线l 相切，∴半径r =√t 2+1=√2， ∴所求圆的方程为(x −1)2+y 2=2.…(12分)
【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为1
2，且经过点P(1,3
2)，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆方程．
(Ⅱ)设直线l 的方程为x =ty −1，代入椭圆方程得(4+3t 2)y 2−6ty −9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．
本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切的性质的合理运用．。