动力学中的临界问题

动力学中的临界问题
在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法。

一、极限法
如果题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。

例1 如图1所示，质量均为M 的两个木块A 、B 在水平力F 的作
用下，一起沿光滑的水平面运动，A 与B 的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A 与B 一起运动时的水平力F 的范围。

解析 当水平推力F 很小时，A 与B 一起做匀加速运动，当F 较大
时，B 对A 的弹力F N 竖直向上的分力等于A 的重力时，地面对A 的支
持力F NA 为零，此后，物体A 将会相对B 滑动。

显而易见，本题的临界条件是水平力F 为某一值时，恰好使A 沿A 与B 的接触面向上滑动，即物体A 对地面的压力恰好为零，受力分析如图2。

对整体有：Ma F 2=；
隔离A ，有：0=NA F ，Ma F F N =- 60sin ，060cos =-Mg F N 。

解得：Mg F 32=
所以F 的范围是0≤F ≤Mg 32 二、假设法 有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某
种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

例2 一斜面放在水平地面上，倾角 53=θ，一个质量为0.2kg 的
小球用细绳吊在斜面顶端，如图3所示。

斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s 2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。

（g 取10m/s 2）
解析 斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a 的增大而减小，当a 较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a 增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a 增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a
继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。

而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s 2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度
才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a 0，此时斜面对小球的支
持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。

对小球受力分析如图4所示。

易知 0cot ma mg =θ 代入数据解得20/5.7s m a =
图1
图2
图
3 0 图4
因为2/10s m a =＞0a ，所以小球已离开斜面，斜面的支持力0=N F 。

同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：N ma mg T 83.2)()(22≈+=
此时细绳拉力T 与水平方向的夹角为： 45arctan ==ma
mg θ 三、数学方法
将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。

例3 如图5所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动摩擦因
数4.0=μ，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为恒
力F ，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，
木块M 可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速
度最大？最大加速度为多少？
解析 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有
Ma F Mg F =--)sin (cos θμθ 整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos
令A =+θμθsin cos ，可知，当A 取最大值时a 最大。

利用三角函数知识有：
)sin(12ϕθμ++=A ，其中211arcsin
μϕ+=，而2max 1μ+=A ，与此相对应的角为 8.2111
arcsin 902≈+-=μθ 所以加速度的最大值为：22
max /8.61s m g M F a ≈-+=μμ
此时木块离定滑轮的水平距离为：cm h S 25cot ≈=θ
说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。

因此，F 、M 、μ必须满足θsin F ≤Mg 。

此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。

图5。