2024年长沙市宁乡实验高三数学一轮复习总结性考试卷附答案解析

2024年长沙市宁乡实验高三数学一轮复习总结性考试卷

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．已知集合{|A x y ==，{}

2

|1B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（

）

A ．[)

0,1B ．(,1)

-∞C ．[)1,1-D ．[]

1,1-2．已知圆锥的底面面积为

3π，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（）

A ．

B

C ．2

D

3．设数列{}n a 满足12a =，2

1n n a a +=，数列{}n b 满足2log n n b a =，*n ∈N ，则（

）

A ．数列{}n a 是等差数列

B ．数列{}n a 是等比数列

C ．数列{}n b 是等差数列

D ．数列{}n b 是等比数列

4．设函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，将函数()f x 的图象先向右平移π

3

个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与sin y x =图象重合，则（）

A ．2ω=，π6

ϕ=

B ．2ω=，π3

ϕ=

C ．12ω=

，π6

ϕ=D ．1

2ω=

，5π6

ϕ=5．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女姓400人，为了获得该校高一全体学生的身高信

息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中错误的是（）A ．男生样本容量为50B ．抽样时某女生甲被抽到的概率为49

C ．抽取的样本的均值为166

D ．抽取的样本的方差为43

6．如图，设1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y

a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在

第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若222PF F Q =

，则直线1PF 的斜率为（）

A ．

3

B ．

13

C ．

2

D ．1

2

7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且()1f x '+也是奇函数，当(]0,1x ∈，()()2f x ax x =-，若()()121f f -+=-，则20232f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（）

A ．1-

B ．3

4

-

C ．1

D ．

32

8．已知11(,)M x y ，22(,)N x y 是圆()()2

2

:241C x y ++-=上的两个不同的点，若MN =1122x y x y -+-的取值范围为（）

A ．[]

10,14B ．[]

8,16C ．⎡⎣D ．⎡⎣二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知12,z z 为复数，则下列说法正确的是（）

A ．1212z z z z +=+

B ．1212

=⋅⋅z z z z C ．若22

12

0z z +=，则120z z ==D ．若120z z =，则10z =或20

z =10．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A ．抛物线的准线方程为=1

x -B ．若4AF BF +=，则线段AB 的中点P 到x 轴的距离为1C ．若直线AB 经过焦点F ，则121

y y =D ．若121y y =，则直线AB 过焦点F

11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，点Q 在线段11A C 运动，则（

）

A ．对任意的点P ，有1AD DP ⊥

B ．存在直线PQ ，使1

PQ CD ∥

C ．PQ 的最小值为

22

D ．过点P 可以作4条直线与1A B ，1A D 均成60︒角

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知向量()1,a m =

，()2,1b m =- ，若a b a b +=- ，则m 的值为

．

13．将5名大学生安排到3个不同的公司实习，要求每个公司至少有一名大学生，则不同的安排方式共有种．14．已知数列{}n a ，11a =，对任意正整数k ，21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，公差为k ，则100a =．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠A 的平分线交BC 于点D ，且()1

cos cos cos 02

A c

B b

C a ++=．

(1)求A ：

(2)若7a =，ABC 的周长为15，求AD 的长．

16．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角是π

4

，底面ABCD 是菱形，2AB =，π

3

ABC ∠=，点E ，F 分别为BC ，PD 的中点，Q 是直线PC 与平面AEF 的交

点．

(1)求证：平面PCD ⊥平面AEQF ；(2)求三棱锥A FDQ -体积．

17．某同学进行定点投篮训练，设该同学每次投中的概率均为()01p p <<，且每次投篮互不影响．(1)若0.5p =，该同学共进行三次投篮，规定：第一-次投中得2分，第二次投中得2分，第三次投中得3分．记X 为三次总得分，求X 的分布列及数学期望；

(2)若该同学共进行了2(2)n n ≥次投篮，其中投中k 次的概率为)2(0k P k n ≤≤，记20n

i i Q P ==∑，请比较Q

与1

2的大小．18．已知函数()()1

ln R f x x a x a x

=-+∈存在两个极值点，且极大值点为1x ．(1)求a 的取值范围；

(2)若函数()f x 最大的零点为2x ，求证：2

121x x x <<．