九年级思维拓展：类比探究(一)(讲义及答案)

九年级思维拓展：类比探究（一）
【知识点睛】
➢引言：
类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．
探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．
学习过程的本质 类比与探究．
处处皆类比！！！
➢综合几何题中的类比探究问题：
1.解题策略：
①类比——类比字母、辅助线、思路
②不变特征——相同或相似的性质（可类比的关键）
③应用——类比思路、应用结论
④作图——关注待确定点的特征及轨迹，尝试分析转化
2.类比探究常见结构：
①旋转结构：找“等线段共端点”，借助全等整合条件
②直角结构：斜直角放正，找全等或相似
③平行结构：作平行，造相似，转比例（A型、X型）
④中点结构：构造全等或中位线，转移、整合条件
【精讲精练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且
正方形的对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为________．
第1题图第2题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作等腰直角三角形
ABO，∠AOB=90°，连接OC，已知AC=5，OC=2BC的长
为________．
3.如图，抛物线27
2 2
y x x 与直线
1
2
2
y x交于C，D两点．点P是y
轴右侧抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．若存在点P，使∠PCF=45°，则点P的坐标为________________．
4.（1）阅读理解：
如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证
△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为_____________；
（2）问题探究：
如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）问题解决：
如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE:EC=2:3，点D在线段AE上，且
∠EDF=∠BAE，试判断
AB，
DF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
C
D
B
A O
y
x P
C F
D
B
E
A O
y
x
5. 【问题背景】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在
边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．
（1）【观察猜想】观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是_________．
（2）【拓展探究】把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =4，BC =8，请直接写出线段AP 长的取值范围．
图1
E
D
C B
A P
P
A
B
C
D
E
图2
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，
BC m
AC n
，CD ⊥AB 于点D ，点E 是直
线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ．
（1）探究发现：
如图1，若m =n ，点E 在线段AC 上，则DE DF
__________．
（2）数学思考：
①如图2，若点E 在线段AC 上，则DE
DF
_______（用含m ，n 的代数式表
示）；
②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．
（3）拓展应用：若AC
BC
=DF
=CE 的长．
图1
F E D
C
B
A
图2
B
C
F E A
D
图3
D
A
E
F
C B
备用图
D
C
B
A
7. 在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过点G 的直线分
别交AB ，AC 于点E ，F ．
（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：
1=+AF
CF
AE BE ． （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB ，AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图1
G F E D C
B
A 图2
A
B
C
D E F
G 图3
G
F
E
D C
B
A
8.（1）问题发现
如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．填空：①∠AFB的度数是________；
②线段AD，BE之间的数量关系为__________．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，0)，点B为y轴上任意一点，连接AB，将BA绕点B逆时针旋转90°至BC，连接OC，请直接写出OC的最小值．
F
E
D
C
B
A
图2
F
E
D C
B
A
图3
图1
【参考答案】
1. 7
2. 7
3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1813,62327,21或
4. （1）AD =AB ＋DC （2）AB =AF ＋CF
（3）DF CF AB +=2
3
5. （1）BE =2AP ；BE ⊥AP
（2）成立
（3）232≤≤AP 6. （1）1
（2）①
m
n
；②成立 （3）525
5
2或=
CE 7. （1）证明略
（2）成立 （3）不成立，
理由：当点E 在AB 的延长线上时，1＞AF
CF
；点F 在AC 的延长线上时，
1＞AE BE 8. （1）60°；AD =BE
（2）45°；AD =BE （3）22。