2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷(二十)理科数学

2020届河北衡中同卷新高考原创考前信息试卷（二十）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{|14,}A x x x =∈N 剟
，{}
|6233,x B x x =<<∈N ，则()U A B =I ð（ ）
A. {}0,5,6
B. {}0,5
C. {}1
D. {}5
【答案】D 【解析】 【分析】
先求括号中U A ð，再求()
U A B ⋂ð即可
【详解】因为{}1,2,3,4A =，{}3,4,5B =，所以{}0,5,6U A =ð，()
{}5U A B ⋂=ð. 答案选D
【点睛】本题考察集合交并补的基本运算，求解补集时，看清原集与补集的关系是正确解题的前提
2.复数3
2i 1i
z =+的虚部为（ ）．
A. 1-
B. 1
C. i -
D. i
【答案】A 【解析】 【分析】
化简复数得到答案.
【
详解】32i 2i 22i
1i 1i 1i 2
z ---====--++
虚部为-1
故答案选A 【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查计算能力，属于简单题型.
3.在公比为2的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且7621-=S S ，则15a a +=（ ）
A. 5
B. 9
C. 17
D. 33
【答案】C 【解析】 【分析】
可由公式11n n S a qS +=+，表示出762S S -，再进行求解
【详解】由11n n S a qS +=+，761661221S S a qS S a -=+-==，所以4
5216a ==，所以
1517a a +=.
答案选C
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本用法，需记住m
n m m n S S q S +=+
4.已知向量()1,1m λ=+u r ，()2,2n λ=+r
，若()()
22m n m n +-u r r u r r P ，则λ=（ ）
A 1- B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，首先求出2,2m n m n +-u r r u r r
，然后利用向量平行的坐标运算，写出λ的关系式，计
算求解即可.
【详解】因为2m n +u r r ()34,4λ=+，2m n -u r r
()3,3λ=---，且(2)//(2)m n m n +-u r r u r r
，所以
()()()334430λλ-⋅+-⋅--=，0λ=．
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，以及向量平行的坐标运算，属于基础题. 5.已知sin2cos αα=，2k π
α≠，k ∈Z ，则cos2=α（ ） A.
34
B. 34
-
C.
12
D. 12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
观察sin2cos αα=，可将sin2α表示成2sin cos αα，再进行化简，结合二倍角公式进行求值
【详解】由sin2cos αα=，则2sin cos cos ααα=，因为2k πα≠，k Z ∈，故1sin 2
α=，所以2
1
cos212sin 2
αα=-=. 答案选C
【点睛】三角恒等变换是常考类型，考生需熟记二倍角公式的基本形式sin 2α=2sin cos αα
cos2=α2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-，解题时需从公式的基本形式去分析
如本题中2
1cos212sin 2
αα=-=
6.“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
把题设0x R ∃∈，0sin 10a x +<进行化简，求出a 的范围，再根据充分必要条件进行判断即可
【详解】必要性：设()sin 1f x a x =+，当0a >时，()[]
1,1f x a a ∈-+，所以10a -<，即1a >；
当0a <时，()[]
1,1f x a a ∈+-，所以10a +<，即1a <-.故1a >或1a <-. 充分性：取02
x π
=，当1a <-时，0sin 10a x +<成立.
答案选A
【点睛】对于充分必要条件的判断的一般思路为：对于每一个命题进行化简，去伪存真，若最终判断问题为范围问题，则可简单记为：小范围推大范围成立；大范围推小范围不成立
7.函数()()()sin 102
f x x π
ωϕωϕ=++><，
的部分图像如图所示，将()f x 的图像向右平
移
4
π
个单位长度后得函数()g x 的图像，则()g x =（）
A. 2sin 23
x π⎛⎫+
⎪⎝
⎭
B. sin 23x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
C. sin 213x π⎛⎫++ ⎪⎝
⎭
D. sin 213x π⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
由图像可知，代入点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭和30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
则可计算出()f x 表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出()g x 表达式。

【详解】由函数()sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=++><
⎪⎝
⎭
的部分图象知3
1sin 2
ϕ+=
，即
1sin 2
ϕ=
. 因为||2ϕπ<
，所以6π=ϕ。

所以()sin 16f x x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
因为点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭在()f x 的图象上。

所以sin 166π
πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以
2(Z)6
62
k k π
ππ
ωπ+
=+
∈。

因为0>ω，结合图象可知2ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
.
将()f x 的图象向右平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象。

则()sin 21sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
【点睛】根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算。

函数平移左加右减，注意平移的时候是x 整体变化，如果有系数记得加括号。

8.函数2019()13sin f x x a x =+--是R 上的奇函数，则()f x 的零点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇函数的特殊性质，当0x =能取到时，()00f =，再采用数形结合的方式找出交点即可
【详解】因为函数()2019
13sin f x x
a x =+--是R 上的奇函数，所以()010f a =-=，即
1a =，
所以()20193sin f x x x =-，结合函数2019
y x =与3y sinx =的图象，如图所示，()f x 的零点的个数为3.
答案选B
【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数零点与方程的转化思想，要求能够画出常见的基础函数图像，如一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、三角函数等 9.已知,(0,)a b ∈+∞，且291ab a b
+=+，则+a b 的取值范围是（ ） A. []1,9
B. []1,8
C. [)8,+∞
D.
[)9,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
通过基本不等式的变形可得2
2a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭
…，再将表达式转化成关于a b +整体的二次不等式，求出相应范围
【详解】∵(),0,a b ∈+∞，∴22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭
…，可得()214ab a b +…，当且仅当12a b ==或4a b ==时取等号. ∵291ab a b
+=+，∴()22981ab a b a b =-++…，化为
()
()2
980a b a b +-++„，解得18a b +剟
，则a b +的取值范围是[]1,8. 答案选B
【点睛】本题考查的是根据基本不等式求取值范围问题，代换中一定要注意等号是否成立，
题中将()2
14
ab a b +…这一步代换出来至关重要 10.已知正ABC △的边长为1，EF 为该三角形内切圆的直径，P 在ABC △的三边上运动，
则PE PF ⋅u u u r u u u r
的最大值为（ ）． A. 1 B.
1
2
C.
13
D.
14
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2PE PF PO +=u u u r u u u r u u u r 和PE P FE F -=u u u r u u u r u u u r
，平方相减得到2112
PE PF PO =-⋅u u u r u u u r u u u r ，计算得到
答案.
【详解】正ABC △的边长为1，内切圆圆心为O ，半径为6
r =
O 为EF 的中点，则2PE PF PO +=u u u r u u u r u u u r
得到(
)
2
2
4PE PF
PO +=u u u r u u u r
u u u r
即222
24PE PF PE PF PO ⋅++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
PE P FE F -=u u u r u u u r u u u r
得到()
2
2PE P F F
E -=u u u r u u u r u u u r
即22123
PE PF PE PF ⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r
两式相减得到：21443PE PF PO =-⋅u u u r u u u r u u u r 即21
12PE PF PO =-⋅u u u r u u u r u u u r
当P 为三角形顶点时，有最大值为111
3124
-
= 故答案选D
【点睛】本题考查了向量的最值问题，根据O 为EF 的中点得到2PE PF PO +=u u u r u u u r u u u r
是解题的关键，这是向量中中点问题常用的技巧，需要熟练掌握. 11.方程(
)()64
log 45log 6
5x x
x
x +=-的实根个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
先判断函数的定义域，由 65x x >得0x >，再利用指数函数和对数函数互化的性质，通过
整式加减456x x x +=，即25136x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()2536x x
g x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
通过判断函数的增减性，借鉴零点存在定理，可判断实数根的区间
【详解】由65x
x
>，解得0x >，令()()64log 45log 65x x x x
t =+=-，所以456654
x x t
x x t
⎧+=⎨-=⎩，两式相加得4646x x t t +=+，又函数46x x
y =+单调递增，故x t =，则456x x x +=，即
25136x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()2536x x
g x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，且()g x 在()0,+∞上单调递减，又()21g >，
()31g <，所以存在唯一()02,3x ∈，使得()01g x =.所以方程
()()
64log 45log 65x x x x +=-只有唯一实数解。

答案选B
【点睛】本题考察了指数函数和对数函数互化的性质，函数零点存在定理的迁移应用，整个解题过程，函数与方程的转化思想贯穿始终，体现了函数与方程的整体性与统一性
12.设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*11
1,2,21,21,n n n a n k k a a n k k --⎧+=∈=⎨+=+∈⎩N N ，若
2020m S >，则正整数m 的最小值为（ ）
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
【答案】C 【解析】 【分析】
通过表达式的整体代换，可构造出()2121323k k a a +-+=+，通过构造数列求出21k a -的表达式，再通过2211k k a a -=+求出2k a 的表达式，进而可表示出2k S ，通过赋值可求出k 【详解】由题意知2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，所以2211k k a a -=+，
()21212121123k k k a a a +--=++=+，即()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，所以数列
{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，12422k k a -=⋅-， 所以(
)2
132141232
4312
k k k S
a a a k k +--=++⋯+=
-=---奇
，
2242242k k S a a a k +=+++=--L 偶，所以32285k k S S S k +=+=--奇偶.
当8k =时，1620002020S =<，又171021a =，所以1730212020S =>，故正整数m 的最小值为17. 故选：C
【点睛】本题主要考查递推数列通项公式的推导及前n 项和公式的求解，考察了推导代换能力，计算能力，难度中等偏上
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．
13.若x ，y 满足约束条件10050y x y x y +⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
……„，则3z x y =+的最大值为_________.
【答案】10 【解析】 【
分析】
根据线性规划限定条件画出可行域，再通过30x y +=平移找出最值即可
【详解】
画出可行域知，当:30l x y +=平移到过点55,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时，max 10z =. 则3z x y =+的最大值为10 【点睛】本题主要考察了根据线性规划求目标函数的最值问题，相对简单，解题方法一般为先画出可行域，再将目标函数转化为斜截式，通过判断目标函数值与截距的关系，找出目标
点，求出最值即可
14.已知α为第二象限角，则221sin 1cos sin 11sin tan ++=-ααα
_________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
通过通分的方法去掉二次根式，转化成绝对值再进行化简即可 【详解】因为α为第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<.
所以1sin cos cos cos 1sin cos α
ααα
+==⋅
=--，
221sin sin sin sin ααα=⋅=，所以2
cos sin 1=-. 所以答案为：1-
【点睛】本题考察了三角函数的化简，易错点为去掉二次根式转化为绝对值时符号的判断问题，此时需要结合三角函数在四个象限的正负值进行判断
15.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且
cos sin =+b a C c A ，则
sin =b B
c
_________.
【解析】 【分析】
利用正弦公式将b cos sin a C c A =+代换，求出A ，再用a ，b ，c 成等比数列表示出b a c b
=，分析
sin b B
c
特点，再次采用正弦定理即可求得 【详解】由正弦定理可知，()sin sin sin cos sin cos B A C A C C A =+=+，易得
ccos sin A c A =，4
A π
=
，又a ，b ，c 成等比数列，所以
b a
c b =，sin sin sin b B a B A c b ===.
则
sin b B c =
【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑
16.已知直线y kx b =+是曲线e x y =的一条切线，则k b +的取值范围是_________.
【答案】(],e -∞ 【解析】 【分析】
根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应关系表示出k 和b 值，表示出
()00e 2x k b x +=-，再采用构造函数求导的方法可求得k b +的范围
【详解】设()e
x
f x =，切点为
()
,e x x ，()e
x
f x '=，所以0e x k =，
()0000e e 1x x b kx x =-=-，所以()()00000e e 1e 2x x x k b x x +=+-=-
令()()e
2x
g x x =-，()()()e 2e e 1x x x g x x x =--=-'，
当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减
又()1e g =，所以k b +的取值范围是(],e -∞.
【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为()()000'y y f x x x -=-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且562S =，4a ，5a 的等差中项为
33a 。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()2221
log log n n n b a a +=
，数列{}n b
的前n 项和为n T ，求n T 。

【答案】(1) 2n
n a = ；(2) 23234264
n n T n n +=
-++ 【解析】 【分析】
（1）通过4a ，5a 的等差中项为33a ．求出数列的公比，然后求解数列{}n a 的通项公式； （2）化简2221
(log )(log )
n n n b a a +=
，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】解：（1）因为4536a a a +=，所以3421116a q a q a q +=，即2
60q q +-=。

解得2q =或3q =-（舍去）。

所以()515
112316212
a S a -===-，12a =，
所以1222n n
n a -=⋅=。

（2）因为()()()22211111log log 222n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
所以12n n T b b b =+++L
1111111
1111112324352112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2211111323323
1221222324264
n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫=+--=-=- ⎪ ⎪
++++++⎝⎭
⎝⎭。

【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用，裂项相消法求数列求和的方法，考查计算能力，属于基础题．
18.已知函数41,0,()0,0,14,0.x x x f x x x -⎧->⎪
==⎨⎪-<⎩
（1）判断()f x 在(,)-∞+∞上的奇偶性，并证明； （2）求不等式()41log 3-<f x …的解集.
【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2）1
,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
.
【解析】 【分析】
(1)根据奇偶函数的定义，分段判断函数的奇偶性；（2）由（1）知函数()f x 为奇函数，根据奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，可得函数()f x 的单调性，用函数的单调性将""f 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解即可. 【详解】（1）函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数.
证明如下：
任取0x >，则0x -<，所以(
)
()1441()-=-=--=-x
x
f x f x , 再任取0x <，则0x ->，所以()()4
114()---=-=--=-x x f x f x .
又当0x =时，则x 0-=，所以()00()-==-=-f x f x . 故()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数.
（2）当0x >时，()41=-x
f x 是增函数，
所以()f x 是(,)-∞+∞上的增函数. 又112⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
f ，(1)3f =. 所以41lo
g 12-
<x „，所以1
42
<x „， 所以不等式()41log 3-<f x „的解集为1
,42
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】函数性质综合应用问题的3种常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 19.已知函数2
()sin 4f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
.
（1）若126
f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan β=，,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan(2)αβ+的值；
（2）若动直线[]
(0,)x t t π=∈与函数()f x 和函数()cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的图象分别交于P ，Q 两点，求线段PQ 长度的最大值，并求出此时t 的值.
【答案】（1）；（2）最大值为32，712t p =
【解析】 【分析】
（1）先对()f x 进行化简，求出sin α，再根据同角三角函数求出tan α，再根据()tan 2αβ+特点，求出tan2α，利用和角公式求值即可 （2）先表示出()()1sin 223PQ f t g t t π⎛
⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭，再根据绝对值特点和三角函数的最值特点，求出对应的t 值即可 【详解】（1）()1111cos 2sin22222f x x x π⎡⎤⎛
⎫=
--=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，11
1sin 222
6f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
则2sin
3α=
，又,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故cos α=，tan α=.
22tan tan21tan α
αα
=
=-
()tan2tan tan 21tan2tan αβαβαβ++=
==-.
（2）()g x x =
由题意可知()()1sin 223PQ f t g t t π⎛
⎫=-=
-+ ⎪⎝
⎭ 当sin 213t π⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭时，PQ 取到最大值3
2
. 当PQ 取到最大值时，()3223
2t k k Z π
ππ+
=
+∈，又[]0,t π∈，所以712
t π
=. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单
20.如图，在平面四边形ABCD 中，1=
AB ，1=BC ，3CA =，且角D 与角B 互
补，3
2
⋅=uuu r uu u r AD CD .
（1）求ACD V 的面积； （2）求ACD V 的周长. 【答案】（1）315
4
；（2）263 【解析】 【分析】
（1）通过角D 与角B 互补，先求出cos ABC ∠，采用正弦定理的面积公式求解ACD S V 即可 （2）要求ACD V 的周长，即求AD CD +，结合余弦定理进行整体求解即可
【详解】（1）在ABC V 中，由余弦定理得2221
cos 24
AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.
所以15
sin ABC ∠=
. 因为角D 与角B 互补， 所以15
sin sin ADC ABC ∠=∠=
，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=
又
3
2
AD CD ⋅=u u u v u u u v ， 所以3
cos 2
AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=u u u v u u u v u u u v u u u v ，即6AD CD ⋅=u u u v u u u v ，
所以1315
sin 2ACD S AD CD ADC =
⋅⋅∠=
V u u u v u u u v （2）在ACD V 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=， 所以26AD CD +=
所以ACD V 的周长为263AD CD AC ++=.
【点睛】本题考查解三角形的具体应用，第一问正弦定理求面积，第二问利用余弦定理求周
长，解三角形的核心思想为：将边角关系转化到同一个三角形，利用正弦余弦定理进行求解，一般是先正弦再余弦
21.设a R ∈，命题p ：函数(
)
3
log (0,1)=->≠a y x ax a a 在1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递增；q ：函数()432
1411432
+=
++a x x x f x 仅在0x =处有极值. （1）若命题q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若命题()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围. 【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）11|22a a a ⎧
⎫<->⎨⎬⎩
⎭或.
【解析】 【分析】
(1)函数()f x 仅在0x =处有极值，则()
2
()41'=++f x x x ax 在0x =左右两侧导数符号相
反，可得2410++x ax …恒成立，转化为求解二次不等式的恒成立问题；（2）当p 是真命题时，利用复合函数“同增异减”研究(
)
3
log =-a y x ax 的单调性问题，求出相应a 的范围，又()p q ∨⌝是真命题，则,p q ⌝至少有一个是真命题，所以取p 是真命题时a 的取值集合与q ⌝是真命题时a 的取值集合的并集即可.
【详解】（1）由题意知，(
)
2
()41'=++f x x x ax ，显然0x =不是方程2410++=x ax 的根,
为使()f x 仅在0x =处有极值，必须2410++x ax …恒成立，即()
2
4410∆=-a „，
解不等式，得1
1
22
-a 剟
，这时(0)1f =是唯一极值， 因此满足条件的a 的取值范围是11,22⎡⎤
=-
⎢⎥⎣⎦
. （2）当p 是真命题时，30x ax ->对1,02x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
恒成立,则14a >，记3()g x x ax =-，
则()2g x 3x a '=-
当1a >时，要使得(
)
3
log =-a y x ax 是增函数，则需有()0g x '…对1,02x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
恒成立，所以0a „，与1a >矛盾； 当
114a <<时，要使得()3log =-a y x ax 是增函数，则需有()0g x '„对1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
恒成立，所以2
13324⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭
a …，所以314<a „.
记当p 是真命题时a 的取值集合为A ，则3|
14⎧
⎫=<⎨⎬⎩⎭
A a a „； 记当q ⌝是真命题时a 的取值集合为
B ，则11|22⎧
⎫
=<->⎨⎬⎩
⎭
或B a a a . 因为()p q ∨⌝是真命题，
所以a 的取值范围是1
1|2
2⎧⎫⋃=<-
>⎨⎬⎩
⎭
或A B a a a . 【点睛】函数()f x 在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 22.已知0a >，函数2()ln 1(1)f x x x ax a x =-++-，1ln ()32x
g x x
+=-.
（1）求()g x 的单调区间 （2）讨论()f x 零点的个数 【答案】（1）在区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）先求导，再根据导数正负判断函数增减性
（2）先对()f x 求导，可判断()f x '单调递增，再通过赋值1e f ⎛⎫
⎪⎝⎭
'和()e f '可判断存在实数
01,e e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x '=，再通过讨论在零点处的最小值是小于零还是大于零来进一
步判断()f x 零点个数
【详解】（1）()g x 的定义域为330,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()()232ln 32x x g x x x '+=-，则()32ln h x x x =+，()()21ln h x x ='+,
当10,e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
x 时，()'0h x >，()h x 是增函数
所以()min 1230e e h x h ⎛⎫==-
> ⎪⎝⎭，所以在330,,22⎛⎫⎛⎫
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上，()0g x '>， 所以()g x 在区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.
（2）由题意知()()1ln 211ln 23f x x a a x x ax a =+-+-=++-'， 令()1ln 23k x x ax a =++-，因为0a >， 所以()k x 在()0,∞+上单调递增. 又111221ln
330e e e e e f k a a ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
'， ()()()()e e 1lne 2e 322e 30f k a a ==++-=+->'.
所以存在实数01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00k x =.
在()00,x 上，()0f x '<，()f x 是减函数；在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 是增函数. 所以()f x 的最小值是()0f x ，其中0x 满足()00f x '=，即001ln 230x ax a ++-=， 所以
()()()()()()
22
00000000000ln 113121111f x x x ax a x x a ax ax a x x a ax =-++-=---++-=-++
①当01x =，即1a =时，()f x 的最小值为0，此时()f x 有一个零点；
②当011e
x <<时，()00f x >，()f x 没有零点，此时
001ln 32x a x +=-. 由()g x 的单调性，可得01a <<；
③当01e x <<时，()00f x <，()f x 有两个零点 又0a >，所以03
12
x <<
， 由()g x 的单调性，可得1a >.
综上所述，当01a <<时，()f x 没有零点； 当1a =时，()f x 只有1个零点； 当1a >时，()f x 有2个零点.
【点睛】本题主要考察利用导数来判断函数的增减性，利用导数来求解函数的零点个数问题。

第二问中对于导数值为零的点的确定相对计较棘手，若题型中涉及ln y x =型复合函数，一般通过借鉴零点定理来进行判断，常取1
,=
x e x e
=来进行判断算。