小学奥数数学原理汇总

组合模块
很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是组合模块中很小的一部分内容。

很多人说组合是考智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。

我不否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维，但是有许多方法和思路还是可以总结出来的，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何备考组合模块。

首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。

从大方向来说的话，组合基本可以用三组词语概括：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。

除此之外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽屉原理、概率等等。

可以看出来，内容还是挺多的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。

那么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？
一、枚举法和几何计数。

这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法也可以算是计数问题的万能解法（但未必是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数问题本身就容易考虑不全面，容易数重或数漏。

要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：1、分类。

分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中一类，就可以发现一些规律，很快搞定其他几类。

那么怎么分类呢？具体情况具体分析，总之，记住一点：抓住所要计算的东西的特点（属性）！比如几何图形的大小、形状、方向等等。

2、有序。

枚举的时候最怕杂乱无章，想到一个算一个。

最好是能像英文字典排单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举数字从小到大。

这样才不会乱，才能轻松做到不重不漏。

二、加乘原理。

加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法。

一个原则：类类相加，步步相乘。

说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么做，缺一不可，那么用乘法。

三、排列组合。

这一部分小学考得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一些题目，做一些难题也是可以体现出不小的优势的。

当然，想学好这部分内容可不是一朝一夕的事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧，最重要的是找到题目特点，进而使用相应的解题方法：
1、元素相邻，捆绑为一；
2、元素不相邻，插空处理；
3、特殊优先，一般在后；
4、元素定序，只选不排；
5、相同元素分组，用隔板法；
6、正难则反，间接作答。

四、容斥原理。

基本的公式相信大家都会，但是很多同学做这类题目还是容易出错，根据我的观察和了解，这主要是不画图造成的，大多数学生只知道去代公式，其实画个“韦恩图”（圈圈图）对解题会有很大帮助。

总之，记住一点，解题的时候能画图就画图，能在图上标数字就往上标。

五、归纳与递推。

归纳说白了就是从简单情况入手，去找规律，这是解题的一个简单省力的办法。

递推的技巧性就比较强了，举个最简单的例子：有10级台阶，一个人每次可以跨1级或2级台阶，请问这个人有多少种不同方法上这10级台阶。

枚举肯定可以解这个题，但是这种题可以把10换成100甚至更大，枚举就不好用了，而且可以猜测到，把10换成11、12、……，答案肯定有某种规律，所以同学们也可以找规律。

这种题往往就可以用递推来做，而规律呢就隐藏在不同的台阶数之间，不妨去想想，上10级台阶和上9级台阶、上8级台阶的方法数有没有什么关系。

归纳与递推常常出现的数列是斐波那契数列，同学们务必重视。

六、抽屉原理、构造与论证。

这类题目常常会问“能或不能”，不能就得说明原因，能就得构造出来。

论证不能的方法或思路我这里介绍常用的4种：
1、奇偶分析。

就一句话：奇数不可能等于偶数。

2、总量估计。

打个比方，有人让你造个房子，问你能不能，你要说明不能，怎么办，就告诉他，砖头不够。

3、染色法。

最常用的染色方法就是黑白间隔染色，有时候需要条形染色，然后去分析黑格和白格的数量关系。

4、抽屉原理。

很多同学分不清题目里什么对应抽屉，什么对应苹果，一般，论证不能的题目，苹果数往往是大于抽屉数的，所以那个数量更多的往往就是“苹果”。

另外，可以注意题目里的问题，例如“问能否够给出一种填法，使任意两个“梯形数”均不相同？”题中问的这个“梯形数”就是相应的“苹果”。

而如果是论证“能”，那么就需要构造＋论证，论证是要说明，最极端的情况只能达到什么结果，构造就是要证明，那个结果是可以达到的，两者结合，才算完美论证答案的可行性和最优性。

关于构造，就没有太多可讲的了，灵活性一般都比较强，有时候也需要拼拼凑凑。

数论模块
数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。

另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。

但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。

我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。

还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：
（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；
（2）154＝2×7×11，分解质因数；
（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；
以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。

下面我来详细讲讲每一个角度。

一、位值原理和整除。

其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。

言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。

考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。

利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。

这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。

借用薛威阳老师的理念，就是“把思路放在纸上”。

二、分解质因数。

这也是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。

所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究，题目中如果有具体数字，不妨对其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。

如果题目中没有给定具体数字，而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及其个数。

这部分内容的知识点最多，同学们务必熟练掌握，否则一切都是空谈。

三、余数。

常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”，解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。

下面我简单谈谈这四类问题：
1、带余除法。

最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。

出题者常常会在这里设置陷阱。

2、余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，要求第X个数除以某个数的余数）和次幂（求一个数的X次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。

3、同余问题。

很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。

举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。

”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。

这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数。

4、“物不知其数”。

与同余问题对应的，举个例子：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

”已知除数和余数，求被除数。

接这种问题又两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。

但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。

考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。

最后我把小学数论里需要掌握的知识点列个简单的大纲，务必拿出来复习一下，如果这些基础都没有，那上面的这些都是空谈，甚至都看不懂。

1、奇偶性质；
2、特殊数（2、5、
3、9、11、13、……）的整除特定和余数特性；
3、质数、合数相关性质，判断一个数是质数或合数的方法，分解质因数；
4、约数、倍数、最大公约数、最小公倍数的求法和相关性质，约数个数定理；
5、完全平方数的性质；
6、带余除法，弃九法，同余问题和“物不知其数”问题的几个处理方法。

几何模块
南京的学生几何普遍比较薄弱，归根究底，还是因为没有系统地去学习，好在国内杯赛的几何题难度普遍不算太高，出题规律也比较明显。

当然，也有的杯赛中的几何体技巧性比较强，比如华杯赛，还有传说中的日本奥赛。

所以，在这里，我想系统地来说说如何应对杯赛中的几何题。

如果让我用几个词来总结一下解小学几何题的关键，我给出这三个词：模型、辅助线、变换。

下面我把几何分成三块来具体谈一谈。

一、直线型。

此类题目常常是给出某一部分图形的面积或某些线段比例关系，求另一部分图形面积或线段长度。

而线段比例和面积比例是可以相互转化的，这也是解题的关键。

那么转化要靠什么来实现呢？就是模型！直线型图形中的模型很多，我个人对它们分级如下：
初级：等积变换模型、一半模型；
中级：蝴蝶模型、鸟头模型、燕尾模型；
高级：金字塔模型、沙漏模型。

只有对这些模型足够熟悉，并在解题过程中善于观察、发现这些模型，解题才能更有思路。

那么如何在图形中寻找这些模型呢？最关键的还是抓住模型的核心，比如鸟头模型就需要去寻找公角关系，金字塔模型和沙漏模型就要寻找平行关系。

当然，有的图形并不是很容易找到这些模型，这种情况往往就需要我们去添加辅助线，将陌生的图形变为熟悉的模型。

还有一些图形需要比较高级的变换技巧，比如：翻转、旋转、对称。

这就需要同学们有较好的动态思维。

这里我和大家分享一条我做题的小经验：题中若出现相等线段（或中点）、直角，那么不妨尝试下这三种变换技巧。

二、曲线型。

这类题目一般就是给出一个图形，让求阴影部分的周长或面积，这需要同学们对各种常见图形的周长、面积公式了如指掌。

在此基础上，我总结了以下几个方法：
1、直接求。

如果所求图形就是我们熟悉的图形，并且知道所需数据，那么就可以直接代公式求；
2、间接求。

如果阴影部分是我们陌生的图形，总的图形和白色部分确实我们熟悉的图形，那就可以用总面积去减白色部分面积；
3、割补法。

有时候前两个方法都不太好用，这时候就可以想想，能否将所求图形分割成几块我们熟悉的图形，或者补成我们熟悉的图形；
4、差不变原理。

有的题目求的不是某一块图形的面积，而是要求某两块图形的面积的差，根据差不变原理我们可以将这两块图形同时加上或去掉一块同样面积的图形，从而变成我们擅长处理的图形；
5、翻转、旋转、对称。

三、立体几何。

较好的空间想象能力对解此类问题会有较大优势。

当然，除此之外，还有一些方法可以辅助自己更好地解题：
1、学会画图。

一个好的图可以帮助我们更好地理解和处理题目。

2、熟悉各种立体图形，会算它们的体积和表面积（了解它们的展开图）；
3、割补、旋转、翻转。

和前面一样，一个目的：将陌生化为熟悉；
4、化立体为平面。

例如：三视图、切片法。

相比之下，我们更擅长处理平面图形；
5、试着身临其境。

不妨把自己想象成一只小蜜蜂，飞到立体图形旁边甚至里面观察观察，这可以帮助自己锻炼空间想象能力。

总之，做几何题需要同学们有一双善于观察和发现的眼睛。

不要畏惧陌生的图形，它一定是由你熟悉的图形和模型组成的。

事实上不只是几何题如此，很多数学难题只要经过分解，就会变成很多简单的小问题，所以，试着把它们打回原形，然后逐个击破吧！
介绍简单的立体图形展开图
立体几何在小学奥数几何部分中占了一定的比例，其中书人大比拼就曾经考过立体几何（03年大比拼的第7题），基本题型是求立体图形的表面积和体积，但是立体图形的展开图也是立体几何的重要部分，这需要我们有一定的空间想象能力，在此简单介绍一下几种立体图形的空间展开图以及一些知识点，希望对大家有所帮助。

附：华杯赛的立体几何体汇总
一.正方体展开图
大家都知道正方体展开有六个小正方形，但是具体有多少种呢？答案是11种
几种常见的不能折叠成正方体的图形：
（1）包含由五个正方形组连成的“五子连”、“七字形”和“凹字形”
（2）包含由四个正方形组连成的“田字形”
一.其他立体图形的展开图
（1）圆柱的展开图上下底面为两个圆，侧面展开为长方形。

（2）圆锥的展开图底面为圆，侧面展开为扇形
（2）棱柱的展开图侧面展开为棱柱，底面为两个多边形
小练习：1.下面的图形经过折叠能否围成棱柱？
答案：（1）第一个，侧面数为4个，边数三条，两者不相等，所以不行。

（2）第二个，两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以不行。

（3）第三个，可以。

小练习：2.如图，正方体的展开图，如果将其还原成正方体，那些点与P点重合？
2011-9-29 12:44 上传
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答案：V、T两点
已知共有鸡和兔15只，共有40只脚，问鸡和兔各有几只.
算法：
1、假设鸡和兔训练有素
2、吹一声哨，它们抬起一只脚，(40-15=25)
3、再吹一声哨，它们又抬起一只脚，(25-15=10)
4、这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着
5、所以，兔子有10/2=5只，鸡有15-5=10只。

先以一道杯赛试题为例：
洋洋老师家养了鸡和兔子一共10只，洋洋老师数了一下，一共26条腿，问鸡和兔子各有多少只？
一、假设法
1、抬腿法
假如洋洋老师家的鸡和兔子都训练有素，老师吹一声哨，鸡和兔子就都抬起一条腿，那么老师吹第一声哨的时候，地上应该还剩下多少条腿呢？
26-10＝16（条）
那老师吹第二声哨之后呢，（这时，鸡两脚就都离地了，所以一屁股就坐地上了，而兔子又抬起一条腿之后，每只兔子地上应该还有两条）这时地上应该还剩下多少条腿呢？
16-10＝6（条）
而这些腿都是兔子的，每只兔子还剩两条，那么兔子的只数就是6÷2＝3（只）鸡的只数就是10-3＝7（只）
2、拄拐法
这次洋洋老师家的鸡变聪明了么，你不让我抬腿么，这次我买副拐，哼！
╭(╯^╰)╮你吹哨我就抬拐。

老师往上一看，还是10个头（鸡带着个兔子头的面具），往下一看40条腿，见鬼了~老师想了想，小样我还收拾不了你们了！我喊1~2~3，鸡和兔子就都往前跑，一跑不要紧，鸡就把拐掉了
那我们来数一数地上有多少条拐呢，一共40条腿，其中26条是真腿，那地下就应该有40-26＝14（条），每只鸡买了两条拐，那么这些拐应该是14÷2＝7（只）鸡买的，所以兔子就是10-7＝3（只）
其实抬腿法就是假设全部都是鸡，拄拐法就是假设全部都是兔子
假设全是鸡，那么应该有2×10＝20条腿，实际上有26条腿，为什么少了6条呢，那是因为我们把一部分兔子看成了鸡，每把一只兔子看成一只鸡，就少算两条腿，所以一共把6÷2＝3（只）兔子看成了鸡，也就是有3只兔子，鸡就是10-3＝7（只）
假设全是兔子，那么应该有4×10＝40条腿，实际上只有26条，为什么多了14条呢，那是因为我们把一部分鸡看成了兔子，每把一只鸡看成一只兔子，就多算两条腿，所以一共把14÷2＝7（只）鸡看成了兔子，也就是有7只鸡，兔子就是10-7＝3（只）
既然可以假设头都是鸡或者兔子的头，那么是不是也可以假设腿都是鸡或者兔子的腿呢，我们来试一试
3、假设腿都是鸡的腿
那么应该有26÷2＝13（只）鸡，而只有10只，每把兔子的腿看成鸡的腿，那么就相当于把4条腿看成了两只动物，其实只有1只，这样一共多算了3只，所以就有3只兔子
4、假设腿都是兔子的腿
那么应该有26÷4＝6……2，余下的两条腿是一只鸡，就应该是6只兔子1只鸡，这样少了3只，为什么会少算呢，那是因为每把鸡的腿看成兔子的腿，那么就相当于把4条腿看成了一只动物，其实4条腿是两只鸡，我们算成了一只兔子，这样就少算了一只动物，一共少算了3只，那就是把6只鸡看成了3只兔子，所以兔子的只数就是6-3＝3（只），或者直接求鸡的只数，6＋1=7（只）（这个＋1不要忘记了）
这个假设腿的要好好想一想，比较绕
二、砍足法
这个方法很残忍，O(∩_∩)O~
说把鸡和兔子的腿各砍掉一半（鸡砍掉1条，兔子砍掉2条），那么还剩下多少腿呢26÷2＝13（条）10只动物为什么剩13条腿呢，因为每只兔子剩2条，鸡只剩1条，一共10只动物，每只残疾兔都多一条腿，那么兔子的只数显然就是13-10=3（只），鸡10-3=7（只）
三、面积法
每只鸡2条腿，每只兔子4条腿，如图，那么兔子腿的总数就是图中蓝色阴影的面积，鸡腿的总数就是图中灰色阴影的面积，而兔子和鸡的腿的总数是26，也就是两块阴影部分面积是26，鸡和兔子一共10只，也就是大长方形的长是10，宽又是4，面积就可以求10×4＝40，空白部分面积就可以求40-26＝14，空白部分长方形的宽是2，那么长就是14÷2=7，也就是鸡的只数是7，那么兔子的只数就是10-7=3
四、方程法
进而可以表示出鸡和兔子的腿
的条数，根据腿总数的等量关系，列出一元一次方程，简单就可以求解，得出
x=7
要解决多变量鸡兔同笼总共分两步——1、消元；2、假设
说得通俗一点就是——1、把多个变量变成两个变量；2、把两个变量变成一个变量
那么我们以几个题目为例，讲解一下这类题目该如何求解
例1．有一堆硬币，面值为1分、2分、5分，共120枚，其中5分硬币是2分硬币个数的2倍。

已知这堆硬币面值总和是3元，则5
分的硬币有多少个？
【分析】给了总枚数，给了总面值，跟最基本的“鸡兔同笼”差不多——给了总头数和总脚数，区别在什么地方呢，呃！这里是有三种东西了，怎么办，我们只会解两种东西的“鸡兔同笼”，那我们就要想办法，把三个变两个！注意有个条件还没用到“5分硬币是2分硬币个数的2倍”，这个倍数关系很好用，也就是说我们可以把2个5分的，1个2分的归为一组，这样肯定是恰好分完，1分的我们动不了，就想办法把5分和
2分的变成一个，2个5分的，1个2分总面值是12分，这样就可以把它们看成3个4分的（为什么不可以看成4个3分的，或者其他的，这是因为我们要保证硬币的枚数不变，否则，转化成两个变量的“鸡兔同笼”也无法求解，因为这样枚数就不知道了）
这样问题就变成了“有一堆硬币，面值为1分、4分，共120枚，面值总和是3元，每种硬币各有多少个？”
这样就变成最简单的鸡兔同笼问题了吧！很容易求出4分的是60枚，这样5分的就应该是60÷3×2=40（枚）（注：三枚4分的硬币需要2枚5分硬币和1枚2分硬币）
【总结】“倍数”关系很好用，要学会如何转化
例2．犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？
【分析】这道题有三种不同的动物混合在一起，还是无法应用假设法求解，我们可以观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”．
假设26只都是孔雀，那么就有脚：26×2=52（只），比实际的少：80-52=28（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4-2=2（只）．所以，孔雀有26-28÷2=12（只），犀牛和羚羊总共有26-12=14（只）．
假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14×1=14（只），比实际的少：20-14=6（只），这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：2-1=1（只），所以，羚羊的只数：6÷1=6（只），犀牛的只数：14-6=8（只）．
【总结】这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼”问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．
例3．有2角、5角、1元的硬币人民币共20张，共计12元，问三种面值的人民币各多少张？ {:soso__1114748530602928728_3:}（一小-4B-鹏妈提供）
【分析】条件比例1少了，没有倍数关系了，怎么转化啊，当然可以枚举，孩子们都习惯这种方法，但是我们能不能优化一下呢，把范围尽可能地缩小，否则全部枚举出来，不知道要做多久了。

注意观察题目中数的特点，5和10都是5的倍数，而总面值12元（120角）也是5的倍数，那么2角的张数也一定是5的倍数，2角的必须有，
那么2角可以是5张、10张（再多了就符合题意了，假设2角15张，剩下5张全是1元的，都不够12元；20张更不可能了）然后我们再进行讨论：
①2角5张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共15张，共计11元”
又是最简单的鸡兔同笼了，很容易得到，5角8张，1元7张
②2角10张时，题目可以变为“5角、1元的硬币人民币共10张，共计10元”
这样也变成简单的“鸡兔同笼”问题了，但是这种情况全部是1元的了，没有5角的，可以排除（题目的意思是三种面值的人民币都存在）
综上，2角5张，5角8张，1元7张
例4．某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数，有25题,或者16题，或者20题。

那么,其中考25题的有多少次？（Z A妈妈提供）
【分析】16和20都是偶数，而总题数426也是偶数，这样考25题的次数也一定是偶数，这样根据25题考的次数的情况就可以分类讨论了①如果25题考了0次，那剩下的就可以应用鸡兔同笼去解了，没有整数解（如果考25题的情况一定出现，这种情况其实不用考虑，直接排除就可以了）。