2020学年数学选修2-2人教B版新素养同步讲义：3.数系的扩充与复数章末复习提升课

章末复习提升课
(1)复数的概念
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(4)复数的模 向量OZ →的模r (r ≥0，r ∈R )叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.
(5)复数运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；
③乘法：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）
＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i(c ＋d i ≠0)．
z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.
复数的分类
对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数的概念知：若a ＋b i 为纯虚数，则必有a ＝0且b ≠0；若a ＋b i 为实数，则必有b ＝0；若a ＋b i 为虚数，则必有b ≠0.
复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时．(1)z ∈R ；(2)z 为虚数；
(3)z 为纯虚数？
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，①log 2（x －3）＝0.②
由②得x ＝4，经验证满足①式．
所以当x ＝4时，z ∈R .
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2（x －3）≠0. 解得⎩⎨⎧x >3＋
212或x <3－
212，x >3且x ≠4，
即3＋212
<x <4或x >4， 所以当3＋212
<x <4或x >4时，z 为虚数． (3)因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x 2－3x －3）＝0，log 2（x －3）≠0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1或x ＝4，x >3且x ≠4.
无解． 所以复数z 不可能是纯虚数．
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．复数问题实数化处理，主要根据复数的相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．
已知复数z 满足2z ＋|z |＝2＋6i ，求z .
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
代入已知方程得2(x ＋y i)＋
x 2＋y 2＝2＋6i ， 即(2x ＋x 2＋y 2)＋2y i ＝2＋6i.
由复数相等定义得⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2＋y 2＝2，2y ＝6， 解之，得x ＝4－313
，y ＝3. 所以z ＝4－313
＋3i. 已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，同时满足M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求实数a ，b .
[解] 依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①
或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.②
由①得a ＝－3，b ＝±2，
经检验，a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．
故a ＝－3，b ＝2.
由②，得a ＝±3，b ＝－2.
又a ＝－3，b ＝－2不合题意．
故a ＝3，b ＝－2.
综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝3，b ＝－2.
[点评] (1)由M ∩N
M ，M ∩N ≠∅，画出表示集合M ，N 关系的Venn 图如图．
由图知M ，N 有且只有1个公共元素．
(2)利用复数相等的充要条件，求出a 、b 的值．
(3)将a ＝－3，b ＝－2代入集合M ，N 得M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ＝N 与M ∩N M 矛盾．
复数的几何意义
1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
2．任何一个复数z ＝a ＋b i 与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一点Z (a ，b )又可以与以
原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几
何解法．特别注意|z |、|z －a |的几何意义——距离．
3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z ，Z 1间的距离．
已知复数z 1＝i(1－i)3，
(1)求|z 1|；
(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．
[解] (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)＝2－2i ，
所以|z 1|＝22＋（－2）2＝2 2.
(2)法一：因为|z |＝1，所以设z ＝cos θ＋isin θ，
|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
＝
（cos θ－2）2＋（sin θ＋2）2 ＝ 9＋42sin （θ－π4
）. 当sin(θ－π4
)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42， 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1.
法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0，0)的圆，
而z 1对应坐标系中的点(2，－2)．
所以|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的距离的最大值，
由图可知：|z －z 1|max ＝22＋1.
复数的四则运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子、分母有理化，要注意i 2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有：
(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；
(2)(1±i)2＝±2i ； (3)设w ＝－12±32i ，则w 3＝1，w 2＝w ，1＋w ＋w 2＝0，1w ＝w 2，w 3n ＝1，w 3n ＋1＝w (n ∈N ＋)等．
(4)(12±32
i)3＝－1. (5)复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝（a ＋b i ）i （b －a i ）i ＝（a ＋b i ）i a ＋b i
＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
计算：－23＋i 1＋23i
＋(21－i )2012. [解] －23＋i 1＋23i ＋(21－i
)2012 ＝（－23＋i ）i （1＋23i ）i ＋21006（－2i ）1006
＝（－23＋i ）i i －23＋1i 1006＝i ＋1i 1004·i
2＝i －1.
1．i 是虚数单位，(1＋i 1－i
)4等于( ) A ．i
B ．－i
C ．1
D ．－1
详细分析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（1＋i ）2
（1－i ）（1＋i ）4＝i 4＝1. 2．已知复数z 1＝cos θ－i ，z 2＝sin θ＋i ，则z 1·z 2的实部的最大值为__________，虚部的最大值为__________．
详细分析：z 1·z 2＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ)．
实部为cos θsin θ＋1＝1＋12sin 2θ≤32
， 所以实部的最大值为32
； 虚部为cos θ－sin θ＝2sin(π4
－θ)≤2， 所以虚部的最大值为 2.
答案：32
2 3．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.
解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，
(a ＋2z )2＝[(a ＋2)＋2i]2
＝(a ＋2)2＋4(a ＋2)i ＋4i 2
＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.
因为az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.。