2017-2018学年高中数学必修二人教B版课件：1.1空间几何体1.1.7

[解析] 如图所示，在三棱锥S－ABC中，
SA＝SB＝SC＝13，
△ABC为直角三角形，且AB＝6，BC＝8， 过S作SO⊥平面ABC于O点，
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第一章 立体几何初步
连接 OA、OB、OC，则易知： Rt△SOA≌Rt△SOB≌Rt△SOC， 所以 OA＝OB＝OC. 于是 O 为 AC 的中点，在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝ 62＋82＝10，AO＝5， 则 SO＝ SA2－AO2＝ 132－52＝12， 根据棱锥的体积公式：
命题方向3 ⇨球的体积
典例 3 在球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA、PB、PC 两两垂直且
PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积. 导学号 92434232
[解析] ∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a， ∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体.
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12 这个铜球的半径为__________ cm. 导学号 92434225
[ 解析] 设铜球的半径为 R，
4 3 由题意，得3πR ＝π·162· 9，解得 R＝12.
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第一章 立体几何初步
5 ． 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 ： m) ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为
3 30 __________m . 导学号 92434226
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[ 解析]
由三视图知该几何体由一个棱长为 3,4,2 的长方体和一个底面是直角
2＋1 梯形高为 4 的直棱柱组成，则体积 V＝3×4×2＋ 2 ×1×4＝30.
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第一章 立体几何初步
6．已知三棱锥的三条侧棱长都等于 13，底面是直角三角形，且两直角边长 分别为 6 和 8，试求棱锥的体积. 导学号 92434227
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1 2 2 (4)V 圆台＝3π(r1＋r2＋r1r2) (5)正棱锥(棱台)的问题主要是将基本量转化到相应直角三角形(直角梯形)中 求解；棱锥问题要注意等积变换方法应用；棱台问题要注意还台为锥思想应用.
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第一章 立体几何初步
〔跟踪练习 2〕
导学号 92434231
2．V圆柱＝πR2h(r为底面半径，h为高) 3．V斜棱柱＝Sl(S为直截面面积，l为母线长)
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第一章 立体几何初步
〔跟踪练习 1〕 何体的体积为( )
导学号 92434229
如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几
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A．6 3 C．12 3
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6．(1)棱柱、棱锥、棱台的体积公式有何关系？
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积公式有何关系？
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第一章 立体几何初步
7．球的体积：
4 3 如果球的半径为R，那么球的体积V球＝___________. 3πR
8．祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相 等底面积 等高 等. 应用祖暅原理可说明：____________ 、________ 的两个柱体或锥体的体积相
1 4 2π 2×3π×1＝ 3 .
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第一章 立体几何初步
(一)转化思想在立体几何中的应用——割与补、等积变换 1．等积变换
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第一章 立体几何初步
(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD. (2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－
B．9 3 D．18 3
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第一章 立体几何初步
[ 解析]
由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高 h＝ 22－12＝ 3.
底面积：S＝4×3＝12，
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所以其体积 V＝12 3.
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第一章 立体几何初步
命题方向2 ⇨锥体(台体)的体积
典例 2 已知正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 6，侧棱长为 5，求四棱锥
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第一章 立体几何初步
〔跟踪练习 3〕
导学号 92434233
2π 3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.
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[ 解析]
1 4 3 由三视图可知，该几何体是半径为 1 的半球，其体积 V＝2×3πR ＝
[ 解析]
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由正方体的体积为 8 可知，正方体的棱长 a＝2. 又正方体的体对角
线是其外接球的一条直径，即 2R＝ 3a(R 为正方体外接球的半径)，所以 R＝ 3， 故所求球的表面积 S＝4πR2＝12π.
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第一章 立体几何初步
4．将一铜球放入底面半径为 16 cm 的圆柱玻璃容器中，水面升高 9 cm，则
ABC＝VP－ABC.
(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC. 2．割与补 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通 过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原
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几何体的体积，这种方法就称为割补法.
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1 四棱锥 P－ABCD 的侧面积 S＝2×6×4×4＝48.
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第一章 立体几何初步
『规律方法』
锥体体积的求法
1 (1)V 锥＝3Sh(S 为底面积，h 为高) 1 2 (2)V 圆锥＝3πr h(r 为底面半径，h 为高) 1 (3)V 台＝3(S 上＋S 下＋ S上S下)
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数 学
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第一章
立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1. 7 柱、锥、台和球的体积
1 2 3
自主预习学案 互动探究学案 课时作业学案
第一章 立体几何版
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第一章 立体几何初步
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空间几何体的体积是可以计算的，你知道常见几何体的体积公式吗？
径为 r，则 2πr＝a； a ∴r＝2π.
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∴圆柱的体积 V＝πr2· (2a) a2 a3 ＝π·4π2· 2a＝2π，故选 A．
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第一章 立体几何初步
3．(2016· 全国卷Ⅱ文，4)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为 导学号 92434224 ( A ) A．12π C．8π 32π B． 3 D．4π
体积为 V1， 以 b 为轴旋转一周， 所得柱体的体积为 V2， 则有 导学号 92434228 ( B ) A．V1>V2 C．V1＝V2
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B．V1<V2 D．V1 与 V2 的大小关系不确定
[思路分析] 小.
对于平面图形沿某条不同直线旋转成几何体，然后比较各几何
体体积的大小关系问题，首先找出对应关系，然后再计算出体积，最后比较大
4．棱锥和圆锥的体积： (1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S，高是 h，那么它的体积 V 锥体＝
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1 Sh 3 __________.
1 2 πr h 3 (2)如果圆锥的底面半径是 r，高是 h，则它的体积是 V 圆锥＝__________.
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1 1 1 1 V 三棱锥＝3Sh＝3S△ABC· SO＝3×2×6×8×12＝96.
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第一章 立体几何初步
互动探究学案
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第一章 立体几何初步
命题方向1 ⇨柱体的体积
典例 1 将长为 a，宽为 b(a>b)的长方形以 a 为轴旋转一周，所得柱体的
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第一章 立体几何初步
1．思考下列问题 (1)等底等高的两个三角形面积有何关系？等底等高的三角形与平行四边形 面积有何关系；
(2)等底面积等高的两个柱体体积有何关系？等底面积等高的柱体与锥体的
体积有何关系？
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2．长方体的体积： ab 长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝______.
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第一章 立体几何初步
3．棱柱和圆柱的体积：
(1) 柱 体 ( 棱 柱 、 圆 柱 ) 的 体 积 等 于 它 的 底 面 积 S 和 高 h 的 积 ， 即 V 柱 体 ＝
Sh ________. πr2h (2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝__________.
某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( D )
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A．3 [ 解析]
B．2 C． 3 D．1 本题考查了三视图及体积计算公式等. 由三视图可知， 该几何体的体
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1 1 积 V＝3Sh＝3× 3× 3＝1. 由三视图找出垂直关系是关键.