2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件教学案理(含解析)

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若p⇒q，且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；

(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；

(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[常用结论]

1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.

2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔A B；p是q的必要不充分条件⇔A B；p是q的充要条件⇔A＝B.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )

(3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．

( ) (4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．(教材改编)命题“若α＝π3，则sin α＝3

2”的逆否命题是( )

A ．若α≠π3，则sin α≠3

2

B ．若α＝π3，则sin α≠3

2

C ．若sin α≠

32，则α≠π

3 D ．若sin α≠

32，则α＝π3

C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则 綈p ”，显然綈q ：sin α≠32，綈p ：α≠π

3

，所以该命题的逆否命题是“若sin α≠

32，则α≠π

3

”．] 3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则

x ＝1或－2.]

4．(教材改编)下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2

＞0, 则x ＞1”的逆否命题

A [令a ＝c ＝0，b ＝d ＝－1，则ac ＜bd ，故

B 错误；当a ＝2时，a 是素数但不是奇数，故

C 错误；取x ＝－1，则x 2

＞0，但x ＜1，故D 错误．]

5．已知命题“若x ＞1，则2x

＜3x

”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

B [原命题“若x ＞1，则2x

＜3x ”，则它的逆命题：若2x

＜3x

，则x ＞1，若x ＝1时也满足2

x

＜3x

，所以逆命题是假命题；否命题：若x ≤1，则2x

≥3x

，由逆命题与否命题真假性相同知，

否命题是假命题；逆否命题：若2x ≥3x

，则x ≤1，为真命题．故选

B.]

四种命题的关系及其真假的判断

1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福

D ．不拥有的人们不幸福

D [原命题与其逆否命题等价，故选D.]

2．若命题A 的逆命题为B ，命题A 的否命题为C ，则B 是C 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题

D ．都不对

C [根据题意，设命题A 为“若p ，则q ”，则命题B 为“若q ，则p ”，命题C 为“若綈p ，则綈q ”；

显然，B 与C 是互为逆否命题．故选C.] 3．下列命题中的真命题是( )

①“若x 2

＋y 2

≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m ＞0，则x 2

＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x ＝312

，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④

D ．①④

B [①“若x 2

＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题为“若x 2

＋y 2

＝0，则x ，y 全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m ＞0，则x 2

＋x －m ＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x ＝312，则x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.] 写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p ，则②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提判断一个命题为真命题，根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假