2021-2022学年广东省广州二中八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年广东省广州二中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（）
A．B．
C．D．
3．如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．8B．7C．6D．5
4．小芳有两根长度为4cm和8cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
5．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
6．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．乙
7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（）
A．50°B．80°C．65°或80°D．50°或80°8．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点
D、E，则∠A的度数是（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是（）
A．20°B．35°C．40°D．70°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝7，DE＝3，则BC的长度是（）
A．9B．10C．11D．12
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是．
12．等腰三角形的两边长分别为1和5，则这个三角形的周长为．
13．一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°．则∠BFD的度数是．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝．
15．如图，△ABC中，BC＝16，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则△AFN的周长＝．
16．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，BC＝CD．有下列结论：
①∠ABC+∠ADC＝180°；②AB+AD＝2AE；③∠CBD＝∠CAB；④AD﹣AB＝2DE．其
中正确结论的序号是．
三、解答题：（本大题共有7小题，共72分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
18．如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△DEF（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F），则点D坐标为．
（2）在y轴上找一点P，使得PA+PC最短，请画出点P所在的位置，并写出点P的坐标．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
20．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
21．如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．（1）求∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，则∠BEF的度数
为．
22．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B（0，1）与点C关于x轴对称，BC＝BA．
（1）求∠OAB的度数；
（2）如图2，点D为线段AB上一动点，连接CD．
①在CD左侧以CD为边作等边△DCM，当点D在线段AB上运动时，点M随之运动，
当OM取得最小值时，求此时BM的长．
②如图3，若点E在线段CA的延长线上，BD＝AE，F为CD中点，连接BF，EF，请判
断BF与EF的位置关系并说明理由．
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．下列四个图形中，线段CE是△ABC的高的是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用三角形高的定义可得答案．
解：线段CE是△ABC的高的是B，
3．如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．8B．7C．6D．5
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
解：∵多边形外角和＝360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°＝8．
故选：A．
4．小芳有两根长度为4cm和8cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
【分析】设第三根木条的长度我xcm，利用三角形的三边关系可得8﹣4＜x＜8+4，再解不等式，进而可得答案．
解：设第三根木条的长度我xcm，由题意得：
8﹣4＜x＜8+4，
解得：4＜x＜12，
故选：B．
5．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
6．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．乙
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确．
故选：C．
7．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（）
A．50°B．80°C．65°或80°D．50°或80°【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点
D、E，则∠A的度数是（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝DC，进而得出∠BCD＝∠B＝45°，进而得出∠ACB的度数，进而解答即可．
解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BD＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝45°+20°＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：C．
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是（）
A．20°B．35°C．40°D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE＝∠ACB＝35°．
解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝7，DE＝3，则BC的长度是（）
A．9B．10C．11D．12
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝7，DE＝3，进而得出△BEM为等边三角形，△EMD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE＝EM
∵BE＝7，DE＝3，
∴DM＝EM﹣DE＝7﹣3＝4，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝2，
∴BN＝5，
∴BC＝2BN＝10，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
12．等腰三角形的两边长分别为1和5，则这个三角形的周长为11．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为1和51，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当腰长是1时，因为1+1＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是5时，因为1+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是11．
故答案为：11．
13．一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°．则∠BFD的度数是15°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDF＝60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，
∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝26°，则∠CDE＝71°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据折叠求出∠ECD和∠CED，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠B＝64°，
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠CED＝∠B＝64°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ECD﹣∠CED＝71°，
故答案为：71°．
15．如图，△ABC中，BC＝16，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则△AFN的周长＝16．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴FA＝FB，NA＝NC，
∴△AFN的周长＝FA+FN+NA＝FB+FN+NC＝BC＝16，
故答案为：16．
16．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，BC＝CD．有下列结论：
①∠ABC+∠ADC＝180°；②AB+AD＝2AE；③∠CBD＝∠CAB；④AD﹣AB＝2DE．其
中正确结论的序号是①②③④．
【分析】过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，证Rt△CDE≌Rt△CBF（HL），进而得出①③正确，再证Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），进而得到②④正确即可．
解：如图，过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF，
又∵BC＝CD，
在Rt△CDE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CBF（HL），
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，故①正确；
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣∠BCD）＝∠DAB，
又∵∠CAB＝∠DAB，
∴∠CBD＝∠CAB，故③正确；
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+AD＝AF﹣BF+AE+DE＝AE+AF＝2AE，故②正确；
AD﹣AB＝AE+DE﹣（AF﹣BF）＝DE+BF＝2DE，故④正确；
故答案为：①②③④．
三、解答题：（本大题共有7小题，共72分）
17．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
【分析】先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可．
解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8，
答：该多边形的边数为8．
18．如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△DEF（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F），则点D坐标为（﹣4，﹣4）．
（2）在y轴上找一点P，使得PA+PC最短，请画出点P所在的位置，并写出点P的坐标．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点，再连接即可；
（2）画出C点关于y轴的轴对称C'，连接AC'，交y轴于点P，即可确定P点位置．解：（1）如图所示：
D（﹣4，﹣4）；
故答案为：（﹣4，﹣4）；
（2）如图所示．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】先根据等式性质证明BF＝EC，再利用SAS证明△ABF≌△DCE即可．【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝FC+EF，
即BF＝EC，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．
【分析】（1）证明Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），得出∠CAB＝∠DBA，即可得出OA＝OB．
（2）由（1）得∠CAB＝∠DBA，则AO＝BO，由直角三角形的性质得∠OBC＝∠CBA ﹣∠DBA＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AO＝BO＝2OC，即可得证．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
即△OAB是等腰三角形；
（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
∴AO＝BO＝2OC，
∵AC＝AO+OC，
∴AC＝3OC．
21．如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．（1）求∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上任意一点，当△EFC为直角三角形时，则∠BEF的度数为58°或20°．
【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
（2）分∠EFC＝90°和∠FEC＝90°两种情况解答即可．
解：（1）∵BE为△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠EBA＝32°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠C，
∴∠C＝70°﹣32°＝38°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝52°；
（2）当∠EFC＝90°时，∠BEF＝90°﹣∠CBE＝58°，
当∠FEC＝90°时，∠BEF＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：58°或20°．
22．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α．（1）如图1，若AB∥ON，
①求∠ABO的度数；
②当α为何值时，D为OB中点，并说明理由．
（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据
∠ABO＝∠AOB＝20°可得AO＝AB，∠OAB＝140°，由D为OB中点，根据等腰三角形的性质可得AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，可得α的值；
（2）分两种情况进行讨论：①当∠BDC＝2∠BFC时，②当∠DBF＝2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得α的值．
解：（1）如图，
①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当α＝70°时，D为OB中点，理由如下：
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴AO＝AB，∠OAB＝140°，
∵D为OB中点，
∴AD⊥OB，∠OAD＝∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAC＝70°，
∴α＝70°时，D为OB中点；
（2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝100°﹣70°＝30°，
∴α＝30°；
②当∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝80°﹣50°﹣55°＝75°，
∴α＝75°．
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°．
23．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、C在y轴上，且点B（0，1）与点C关于x轴对称，BC＝BA．
（1）求∠OAB的度数；
（2）如图2，点D为线段AB上一动点，连接CD．
①在CD左侧以CD为边作等边△DCM，当点D在线段AB上运动时，点M随之运动，
当OM取得最小值时，求此时BM的长．
②如图3，若点E在线段CA的延长线上，BD＝AE，F为CD中点，连接BF，EF，请判
断BF与EF的位置关系并说明理由．
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得结论；
（2）①如图2中，连接BM，过点O作OJ⊥BM于点J．证明∠CBM＝∠CAD＝60°，推出点M在射线BM上运动（∠CBM＝60°），推出当点M与J重合时，OM的值最小，解直角三角形求出BM即可；
②延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，先证△ABC是等边三角形，得CB ＝AB，∠BCA＝60°，由SAS证得△BDF≌△GCF，得出CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，则BD∥CG，得出∠GCA＝∠BAC＝60°，证明∠BCG＝∠BAE，由SAS证得△BCG≌△BAE，得∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，再证明△GBE是等边三角形，即可得出结论．解：（1）如图1中，
∵B，C关于x轴对称，
∴AO垂直平分线段BC，
∴AB＝AC，
∵BC＝BA，
∴AB＝BC＝CA，
∴∠BAC＝60°，
∵OA⊥BC，
∴∠OAB＝∠BAC＝30°；
（2）①如图2中，连接BM，过点O作OJ⊥BM于点J．
∵△ABC，△CDM都是等边三角形，
∴∠MCD＝∠BCA＝∠CAB＝60°，CM＝CD，CB＝CA，
在△MCB和△DCA中，
，
∴△MCB≌△DCA（SAS），
∴∠CBM＝∠CAD＝60°，
∴点M在射线BM上运动（∠CBM＝60°），
∴当点M与J重合时，OM的值最小，此时BM＝OB＝．
②结论：BF⊥EF．
理由：延长BF到点G，使BF＝FG，连接CG、EG、BE，如图3所示：
∵点B和点C关于x轴对称，
∴AB＝AC，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OAC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CB＝AB，∠BCA＝60°，
∵F为DC中点，
∴DF＝CF，
在△BDF和△GCF中，
，
∴△BDF≌△GCF（SAS），
∴CG＝BD＝AE，∠CGF＝∠DBF，
∴BD∥CG，
∴∠GCA＝∠BAC＝60°，
∴∠BCG＝∠BCA+∠GCA＝60°+60°＝120°，
∵∠BAE＝180°﹣∠OAB﹣∠EAx＝180°﹣∠OAB﹣∠OAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BCG＝∠BAE，
在△BCG和△BAE中，
，
∴△BCG≌△BAE（SAS），
∴∠CBG＝∠ABE，BG＝BE，
∵∠CBG+∠GBA＝60°，
∴∠ABE+∠GBA＝60°，即∠GBE＝60°，
∴△GBE是等边三角形，
∵F是BG的中点，
∴EF⊥BG，
∴BF⊥EF．。